上海国税-湖南出国留学

100所名校高考模拟金典卷·数学（二）
（120分钟 150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目
要求的．
x1}
，
B

x|x
1．设集合
A{x|0剟

1


2


1

,1


2


< br>1


，则
AB
（ ）
2

C．
(0,1)
D．

0,


A．

,1

B．



1

2

2．复数
z i

1

（
i
为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限


1< br>
i

x
2
y
2
3
3．设双曲线< br>C:
2

2
1(a0,b0)
的实轴长为8，一条渐近 线为
yx
，则双曲线
C
的方程为（ ）
ab
4
x
2
y
2
1

A．
6436
x
2
y
2
1
B．
3664
x
2
y
2
1
C．
916
x
2
y
2
1
D．
169
4．已知正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，
M
，
N
分别是下底面的棱
A1
B
1
，
B
1
C
1
的中点，
P
是上底
面的棱
AD
上的一点，
AP
1
，过P
，
M
，
N
的平面交上底面于
PQ
，
Q
在
CD
上，则
PQ
等于（ ）
3
C．
A．
22

3
B．
3

2
2

3
D．
23

3
5．函数
f(x)xln(x
2
1x)1
的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行 业从业者年龄分布饼状图、90后从事互
联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中是正确的是（ ）
（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指197 9年及以前出生）．

A．互联网行业从业人员中80前占3%以上
B．互联网行业90后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多
C．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
7．已知函数
f
(
x
)

2sin


x

< br>


的最小正周期
T

，下列说法正确的是（ ）
3

A．函数
f(x)
在



5


,

上是减函数
1212


5


,0


12

B．函数
f(x)
的图象的对称中心为

C．函数
f

x





是 偶函数
6



2


,
< br>上的值域为
[0,2]

63

D．函数
f(x)
在区间

2
8．抛物线
yx
上的点到直线
4x 3y80
距离的最小值是（ ）
A．
4

3
B．
7

5
C．
8

5
D．3
9．程序框图如下图所示，若程序运行的结果
S60
，则判断框中应填入（ ）

A．
k„4?
B．
k„3?
C．
k„2?
D．
k„1?

10．在《九章算术》中，将有三条 棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图
所示，
DA
平面
ABFE
，四边形
ABFE
，
CDEF
均为等腰梯形， 四边形
ABCD
为正方形，
AB∥EF
，
AB2
，
EF6
，点
F
到平面
ABCD
的距离为2，则这个羡除的表面积 为（ ）

A．
10122
B．
12122
C．
12142
D．
12102

11．已知偶函数
f(x)
的图象经过点
(1,2)
，且当
ab„0
时，不等式
f(b)f(a)
0
恒成立，则使得
b a
f(x1)2
成立的
x
的取值范围是（ ）
A．
(2,0)

C．
(0,2)

B．
(,2)(0,)

D．
(,0)(2,)

a
2
b
2< br>c
2
ab

c
，12．已知
△ABC
的内 角
A
，且
，若
ab2
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
B
，
cacosBbcosA
则c
的最小值为（ ）
A．1 B
3

2
C．
5

4
D．
3

4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
r
rrrr
13．若向量
a(1,m)
，
b(2,1)，且
b(ab)
，则实数
m
等于_________．
1 4．已知
cos


25



，


,


，则
sin2


__________．
5

2


xy 20

15．若
x
，
y
满足

xy 0
，则
zx2y
的最大值为________．

2xy 40

16．将函数
ylnx
的图象绕点
(0,1)
逆时针旋转





0,








后与
y
轴相切，则


_______．

2


三、解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须 作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．已 知数列

a
n

满足
a
1
2,a
n1
a
n
22nN
n

*

．
（1）判断数列
a
n
2

n

是否 为等差数列，并说明理由；

（2）记
S
n
为 数列

a
n

的前
n
项和，求
S
n
．



CC
1
2
．
18 ．如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，< br>BC2
，点
P
在平面
ABB
1
A
1
中，且
PA2
．
1
PB
1


（1）求证：
PC
1
AB
．
（2）求点
P到平面
A
1
B
1
C
的距离．




19．“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”…江南梅雨的 点点滴滴都流露着浓烈的诗情．每
年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节， 如图是江南
Q
镇2009～2018年梅雨
季节的降雨量（单位：
mm
）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：

（1）计算
a
的值，并用样本平均数估计
Q
镇明年梅雨季节的降雨量；
（2）
Q
镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）．而乙品种杨梅这10年的亩产量（
kg
亩）与降雨量的发生频数（年）如
22
列联表所示（部分数
据缺失）．请你完善
22
列联表，帮助老李排解 忧愁，试想来年应种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？

并说明理由．
亩产量降雨量 200～400之间 200～400之外 合计
600
2



1



10
…600

合计

P

K
2
…k
0


0.50
k
0

0.40 0.25 0.15 0.10
0.455 0.708 1.323 2.072 2.703
2
n(adbc)
2
,nabcd
） （参考公式：
K
(ab)(cd)(ac)(bd)




20．若函数
f(x)
在定义域
D
内的某个区间
I
上是增函数，且
F(x)
f(x)
在
I
上也是增函数， 则称
x
x
yf(x)
是
I
上的“完美增函数”．已知f(x)ex
，
g(x)lnx1
．
（1）判断函数
f(x)
是否为区间
(0,)
上的“完美增函数”；
（2）若函数g(x)
是区间
(0,m]
上的“完美增函数”，求实数
m
的最 大值．





x
2
y
2< br>2

1
上不同的两点，
MN
的中点坐标为
1,
21．已知
M
、
N
是椭圆
C:

．
84

2

（1）证明：直线
MN
经过椭圆< br>C
的右焦点．
（2）设直线
l
不经过点
P(0,2)
且与椭圆
C
相交于
A
，
B
两点，若直线
PA与直线
PB
的斜率的和为1，试
判断直线
l
是否经过定点，若经 过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．

（二）选考题： 共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]


xm2t,
在 平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为

（
t
为参数）．以原点
O
为极点，以
x
轴非

< br>y52t
负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．圆
C
的 方程为

25sin

，直线
l
被圆
C
截
得的弦长为
2
．
（1）求实数
m
的值；
（2 ）设圆
C
与直线
l
交于点
A
、
B
，若点< br>P
的坐标为
(m,5)
，且
m0
，求
|PA|| PB|
的值．



23．[选修4-5：不等式选讲]
已知
f(x)2|x1||2x1|
．
（1）若
f(x)f(1)
，求实数
x
的取值范围；
（2）
f(x)…













114
(m0,n0 )
对任意的
xR
都成立，求证：
mn…
．
mn3

100所名校高考模拟金典卷·数学（二）
（120分钟 150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．答案 B
命题意图 本题考查集合的交集；考查学生的运算求解能力．
解题分析 由题知，
AB

x|
2．答案 A
命题意图 本题考查复数的几何意义；考查学生的运算求解能力．
解题分析 因
zi
1

1i
，所以复数
z
在复平面上对应的点位于第一象限 ．
3．答案 D
命意图本题考查双曲线的性质；考查学生的数据分析能力．


1

x
„
1

．
2



1

i

x
2
y
2
b3
1
． 解题分析 由题知，
2a8
，< br>
，所以
a4
，
b3
，所以双曲线的方程为
16 9
a4
4．答案 A
命题意图 本题考查面面平行的性质；考查学生的数学运算与直观想象能力．
解题分析 如图所示，易知平面< br>ABCD∥
平面
A
1
B
1
C
1
D< br>1
，则
MN∥PQ
，因为
AP
11
，所以
CQ
，
33
所以
DPDQ
2
22
22
，所以
PQDPDQ
．
3
3

5．答案 A
命题意图 本题考查函数图象；考查学生的逻辑推理能力．

解题分析 因为
f(0)1
，排除B项，C项，又因为
f(1)l n(21)11
，排除D项．
6．答案 C
命题意图 本题考查统计图；考查学生的数据分析及逻辑推理的能力．
解题分析 由题知，互联网行业从业人员 中80前占3%，故选项A错误；互联网行业90后中，从事设计岗
位的人数占12.3%，从事市场岗 位的人数占13.2%，故选项B错误；在90后中，从事技术岗位的人数占总
人数的比例为
5 6%39.6%20%
，故选项C正确；互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后的无法确定，故选项D错误．
7．答案 D
命题意图 本题考查三角函数的性质；考查学生的数学运算的能力．
解题分析 因为函数
f(x)2 sin


x




2
< br>

，得

2
，所以

的最小正周期T

，
3



5

< br>
5


f(x)2sin(2x)
，故函数
f (x)
在

,

上是增函数，其对称轴为
x
， 所以A，B选项错
1212
312

误．又因为
f
x








2


2sin2xfxx,
2x[0,

]< br>，，所以函数是奇函数．当时，


6

6

3

63



2sin


x

[0,2]
．
3

8．答案 A
命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系；考查学生的运算求解能力．
解题分析 设 平行直线
4x3y80
的直线
l
的方程为
4x3yt0
，联立方程


4x3yt0,
得
2
yx,
4
3x
2
4xt0
，由
(4)
2
43(t)0
，解得
t
，
3
所 以抛物线
yx
上的点到直线
4x3y80
距离的最小值为两平行直 线间的距离
2
d
4
(8)
3
3
2
4
2

4
．（也可利用函数求导，求切点坐标，利用点到直线的距离求解）
3
9．答案 C
命题意图 本题考查程序框图；考查学生的数学运算及逻辑推理的能力．
解题分析 循环前，
S1< br>，
k5
，第一次循环：
S5
，
k4
，继续循环 ，第二次循环：
S20
，
k3
，

继续循环，第三次循环：
S60
，
k2
，循环终止，输出的
S 60
．
10．答案 B
命题意图 本题考查立体几何；考查学生的空间想象及数学运算的能力．
解题分析 因为
DA
平面
ABFE
，点
F
到平面
ABCD
的距离为2，所以等 腰梯形
ABFE
的高为2，腰
AE22
，因为四边形
ABCD为正方形，且
AB2
，所以等腰梯形
CDEF
的高为
22，所以该羡除
的表面积为
22
11．答案 C
命题意图 本题考查函数的性质；考查学生的数学运算的能力．
解题分析 因为当
ab„0
时，不等式
111
(26)2(26)22222212122< br>．
222
f(b)f(a)
0
恒成立，所以函数
f(x )
在区间
(,0]
上单调递减，
ba
又因为
f(x)
的图象经过点
(1,2)
，所以
f(1)2
，又因为
f(x)
为偶函数，所以
f(x1)2
等价于
f(x1)f(1)
，所以
|x1||1|
，解得
0x2
．
12．答案 A
命题意图 本题考查解三角形；考查学生的逻辑推理及运算求解能力．
a
2
b
2
c
2
ab
2abcosCa b


解题分析 因为，所以，
cacosBbcosA
ca cosBbcosA
所以
2cosC11
1

．又因为
sin(AB)sinC0
，所以
cosC
，
sinCsinAco sBsinBcosAsin(AB)
2
因为又
C(0,

)
，所以
C

3
2
，又因为

ab
当且仅当
ab1
时
c
2
a
2
b
2
2abcosCa
2
b
2
ab(ab)
2
3ab
…
(ab)
2
3

1
，

2

取等号，故
c
的最小值为1．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．答案
7

命题意图 本题考查向量的数量积运算；考查学生的数学运算的能力．
r
rrrrrr
解题分析 因为
a(1,m)
，
b (2,1)
，所以
ab(3,m1)
，因为
b(ab)
，所以
2(3)1(m1)0
，解得
m7
．

14．答案

4

5
命题意图 本题考查三角恒等变换；考查学生的运算求解能力．
解题分析 因 为
cos


25
5



，



,


，所以
sin
< br>
，
5
5

2

所以
sin2< br>
2sin

cos

2
15．答案 3
5

25

4





．
5

5

5
命题意图 本题考查线性规划；考查学生的运算求解的能力．
解题分析 作出约束条件表示的可行域，如图所示，

当直线
zx2y
经过点
A
时，
z
取得最大值，

xy0

x1
，解得

，即点
A
的坐标为
(1,1)
，故
z
取得最大值为3．

xy20y1

16．答案：


4
命题意图 本题考查导数的几何意义；考查学生的逻辑推理及运算求解能力．
解题分析 设直线
ykx1
与函数
ylnx
的图象相切，切 点坐标为

x
0
,lnx
0

，
y


1
1
，所以
k
，
x
0
x
又因为
kx
0
1lnx
0
，解得
x
0
1
，所以
k1
，故



2


4


4
．
三、解答题：共70分．解答应 写出文字说眀、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、2 3题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．命题意图 本题考查等差及等比数列的综合应用；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．
n
n1
解题分析 （1）设
b
n
a
n
2
，则
b
n1
a
n1
2
，所以
b
n1
b
n
a
n1
2

n 1

a
n
2
n



a
n
2
n
22
n1


a
n
2
n

2
，所以数列
< br>a
n
2
n

是首项为0，公差为2的等差数列．
n
n
（2）由（1）知，
a
n
202(n1)
，所 以
a
n
22(n1)
，
所以
S
n

2

12
n

12

n[02 (n1)]
2
n1
n
2
n2
．
2
18．命题意图 本题考查线线垂直及点到平面的距离；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．
解题分析 （1）证 明：设
A
1
B
1
的中点为
D
，连接
PD< br>与
DC
1
，因为
PA
1
PB
1
， 所以
PDA
1
B
1
，同理
得
DC
1A
1
B
1
，所以
A
1
B
1

平面
PDC
1
，所以
A
1
B
1
PC
1
，又因为
AB∥A
1
B
1
，所以
PC
1
AB
．
（2）因为
PA2
，三棱柱
AB CA
1
B
1
C
1
是正三棱柱且
BC2
，所以等腰直角三角形
PA
1
B
1
的
1
PB1

面积为
1
221
，点
C
2
到平面
PA
1
B
1
的距离为
3
，所以
13
V
PA
1
B
1
C
V
CPA
1
B
1
V
C
1
PA
1
B
1< br>13
，又因为
ACBC
1
22
，所以
△ CA
1
B
1
的面积为
1
33
1
13
2(22)
2
1
1
7
，设点
P
到平面< br>A
1
B
1
C
的距离为
h
，所以
V< br>PA
1
B
1
C
7h
，解得
33< br>2
h
2121
，故点
P
到平面
A
1
B
1
C
的距离为．
77
19．命题意图 本题考查独立性检验；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．
解题分析 （1）频率分布直方图知 ，
100(0.0020.0040.003a)1
，解得
a0.001
，
所以用样本平均数估计
Q
镇明年梅雨季节的降雨量为
150 0.22500.43500.34500.13010010545280(mm)< br>．
（2）根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为
10100(0.0030.004)7
，进而完善列联表如图．
亩产量降雨量 200～400之间 200～400之外 合计
600
2
5
7
2
1
3
4
6
10
…600

合计
2
10(2152)
2
8 0
K1.2701.323
，
734663

故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%．
而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅．
20．命题意图 本题考查函数与导数的综合运用；考查学生的运算求解能力．
解题分析 （1）由
f(x) ex
，求导得
f

(x)e10
，所以
f(x)
在
(0,)
上是增函数；
xx
f(x)e
x
xe
x
e
x
(x1)
1
，求导得
F
(x)
又
F(x)
，
2
xxxx
0< br>不恒成立，即
F(x)
在
(0,)
上不是增函数． 当
x (0,)
时，
F

(x)…
所以函数
f(x)
不是区间
(0,)
上的“完美增函数”．
（2）由
g(x)lnx 1
，求导得
g

(x)
即
g(x)
在区间(0,)
上单调递增．
1
0
，
x
又
G(x)
g(x)lnx12lnx

，求导得
G

(x)
，
xxx
2
2
0
，则
2lnx…若
G

(x)…
0
，解得
0x„e
， 2
2


G(x)…0
G(x)
0,e
即当< br>x0,e

时，恒成立，在


上单调递增．


于是实数
m
的最大值为
e
.
21．命题意图 本题考查直线与椭圆的综合应用；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．
2

x
1
2
y
1
2
1
< br>
84
解题分析 （1）由题知，
F(2,0)
，设
M
x
1
,y
1

，
N

x< br>2
,y
2

，则

，两式相减得
22

x
2

y
2
1

4
8
2
y
1
y
2
4xx412
2
 
2
，所以直线
MN
经过椭圆
C
的右焦，又因为
 
12

212
x
1
x
2
8y
1
y
2
82
2
2
0
点．
（2）当直线
AB
斜率存在时，设直线
AB
的方程为
ykxm
，

x
2
y
2
1,
4km


222
xx
12kx4kmx2m80
由

8
得，设，，所以，
Ax,yBx,y


4
34
3344
2
12k

ykxm


2m
2
8
kx
3
m2kx< br>4
m2
y
3
2y
4
2
kk1< br>x
3
x
4

1
，所
1
，又 因为，所以，即
PAPB
2
x
3
x
4
12kx
3
x
4
以
2k(m2)
x
3
x
4
2
1
，化简得
m4km8k40
，所以< br>(m2)(m4k2)0
，又因为
m2
，
x
3x
4
所以
m4k2
，所以直线
AB
的方程为
ykx4k2k(x4)2
，经检验，符合题意，所以直线
AB
过定点
(4,2)
，又当直线
AB
斜率不存在时，直线
AB
的 方程为
xn
，
y
A
2y
B
2
1
，又因为
nn
y
A
y
B
0
，解得n4
，也过点
(4,2)
．综上知，直线
AB
过定点< br>(4,2)
．
【归因导学】错

学
错点
1．无法说明直线
MN
过右焦点
2．出线过定点的处理
错因
1．不能充分理解斜率相等证明三点共线
2．不能把动曲线中的参数消掉
对应学法 ：1．与中点有关的斜率问题常用点差法；2．曲线方程含有参数，要使曲线过定点，与参数无关，
则整 理出参数，使其系数为0
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多 做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
命题意图 本题考查坐标与参数方程；考查学生运算的能力．
2222
解题分析 （1）由

25sin

得
xy25y0
，即
x(y5) 5
，
直线
l
的普通方程为
xym50
，直线< br>l
被圆
C
截得的弦长为
2
，
所以圆心到直线
l
的距离为
|05m5|3
3

，即，解得
m3
或
m3
．
22
2
（2）∵
m0
， ∴
m3
，将直线
l
的参数方程代入圆
C
的直角坐标方程得 ，
(32t)
2
(2t)
2
5
，即
2t< br>2
32t20
，
2
∵
(32)4420
，设
t
1
，
t
2
是上述方程的两个实数根， 
32
,

t
1
t
2

∴

2
又因为直线
l
过点
P(3,5)
，故由上式及
t
的几何意义，

tt1,

12
得
|PA||PB|2t
1
t
2
2

t
1< br>t
2

32
．
23．[选修4-5：不等式选讲]


命题意图 本题考查解绝对值不等式；考查学生分类讨论得思想．
解题分析 （1）
f(x)f(1)
，即
2|x1||2x1|5
，
①当
x
1
时，
2(x1)(2x1)5
，得
x 1
；
2
1
时，
2(x1)(2x1)5
，得< br>35
，不成立；
2
3
．
2
②当
1 x
③当
x1
时，
2(x1)(2x1)5
，得x
综上，所求
x
的取值范围是

,


3


(1,)
．
2

（2 ）因为
2|x1||2x1||2x2||2x1|…|(2x2)(2x1)| 3
，
所以
112
1111
2
„
3
，得
mn…
，所以
„3
，因为
m0
，
n0
时，
…
，所以
2
mnmnmn
mn3
4
．
3
mn厖2mn