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2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、选择 题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求 的．

1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3
x
＜1}，则（ ）

A．A∩B={x|x＜0}

B．A∪B=R

C．A∪B={x|x＞1}

D．A∩B=∅

2．（5分）如 图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆
中的黑色部分和白色部分关于正方形 的中心成中心对称．在正方形内随机取
一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）


A．

B．

C．

D．

3．（5分）设有下面四个命题

p
1
：若复数z满足∈R，则z∈R；

p
2
：若复数z满足z
2
∈R，则z∈R；

p< br>3
：若复数z
1
，z
2
满足z
1
z
2
∈R，则z
1
=
p
4
：若复数z∈R，则∈R．

其中的真命题为（ ）

A．p
1
，p
3

B．p
1
，p
4

C．p
2
，p
3

D．p
2
，p
4

；

4．（5分）记 S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和．若a
4
+a
5
=24，S
6
=48，则{a
n
}的公差
为（ ）

A．1

B．2

C．4

D．8

5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （1）=﹣1，
则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）

A．[﹣2，2]

6．（5分）（1+
B．[﹣1，1]

C．[0，4]

D．[1，3]

）（1+x）
6
展开式中x
2
的系数为（ ）

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A．15

B．20

C．30

D．35

7．（5分） 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰
直角三角形组成，正方形的边长为2 ，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的
各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）


A．10

B．12

C．14

D．16

8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3
n
﹣2< br>n
＞1000的最小偶数n，那么在
和两个空白框中，可以分别填入（ ）


A．A＞1000和n=n+1

C．A≤1000和n=n+1

B．A＞1000和n=n+2

D．A≤1000和n=n+2

），则下面结论正确的是（ ）

9．（5分）已知曲线C
1
：y =cosx，C
2
：y=sin（2x+
A．把C
1
上各点的横坐标 伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
向右平移个单位长度，得到曲线C
2

B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
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向左平移个单位长度，得到曲线C
2

C．把C
1
上各点 的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向
右平移个单位长度，得到曲线C
2< br>
D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向
左平移个单位长度，得到曲线C
2

10．（5分）已知F为抛物线C： y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l
1
，l
2
，
直线l
1
与C交于A、B两点，直线l
2
与C交于D、E两点，则 |AB|+|DE|的最
小值为（ ）

A．16

B．14

C．12

D．10

11．（5分 ）设x、y、z为正数，且2
x
=3
y
=5
z
，则（ ）

A．2x＜3y＜5z

B．5z＜2x＜3y

C．3y＜5z＜2x

D．3y＜2x＜5z

12．（5分） 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大
家学习数学的兴趣，他们推出了“解数 学题获取软件激活码”的活动．这款软
件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2 ，4，1，2，4，
8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2
0
，接下来的两 项是2
0
，2
1
，再接下
来的三项是2
0
，21
，2
2
，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100
且该数 列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）

A．440



二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．

B．330

C．220

D．110

14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．

15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆
心，b为半径作圆A ，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠
MAN=60°，则C的离心率为 ．

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16．（5分）如图， 圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的 点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以
BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分 别以BC，CA，AB为折
痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥． 当△ABC
的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm
3
）的最大值为 ．




三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据 要
求作答．

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知△ABC的面积
为．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．


< br>18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．



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19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产
线上随机抽取16个零件，并测量 其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，
可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态 分布N（μ，σ
2
）．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的1 6个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，
μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就
认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产
过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95

10.26

经计算得=
10.12

9.91

9.96

10.13

=9.97，s=
9.96

10.02

10.01

9.22

=
9.92

10.04

9.98

10.05

10.04

9.95

≈0.212，
其中x
i
为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．

用样本平均数作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值
﹣3
，利用估
+3）之计值判断是否需对当天的生产 过程进行检查？剔除（
外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附 ：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ
2
），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.997 4，
0.9974
16
≈0.9592，









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≈0.09．

20．（12分）已知椭圆C：
P
3
（﹣1，），P
4
（1，
+=1（a＞b＞0），四点P
1
（1，1），P
2
（0，1），
）中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于A ，B两点．若直线P
2
A与直线P
2
B的斜
率的和为﹣1，证明：l 过定点．








< br>21．（12分）已知函数f（x）=ae
2x
+（a﹣2）e
x
﹣x ．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．














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[选修4-4，坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
直线l的参数方程为 ，（t为参数）．

，（θ为参数），
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为








[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（ x）=﹣x
2
+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．




，求a．

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