全国会计专业排名-消防演习总结

【精品】人教版中考数学《锐角三角函数》
专题及答案
一、选择题
1
1. 如图，在△ABC中，CA = CB = 4，cosC=
4
，则sinB的值为（▲）
10
A．
2

15
B．
3

6
C．
4

10
D．
4


【答案】D

2..如 图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，A D=b，
∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx

【答案】D
【解析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠
AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵A B=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选D．
3．如图，一个人 从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点.已知坡角为20°，山高BC＝2千米.
用科学计 算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
2 ÷ sin 2 0 =
A.
2 × sin 2 0 =
B.

C.
2 ÷ cos 2 0 =
D.
2 × tan 2 0 =
20°
2

BC
BC2

【答案】A【解析】．根据锐角三角函数的定义，得sinA＝
AB
，所以AB＝
sin20sin20
.故按键顺序为
2 ÷ sin 2 0 =

1
4.已知∠α为锐角，且sinα=
2
，则∠α=（）
A.30° B.45° C.60° D.90°
1
【答案】A【解析 】∵∠α为锐角，且sinα=
2
，∴∠α=30°．故选A.
5.矩形OABC在 平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（
23
，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC交x轴于点D，下列结论：①O A=BC=
23
；②当点D运动到OA的中点处时，PC
2
+PD
2
=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP
23
为等腰三角形时，点 D的坐标为(
3
,0)，其中正确结论的个数是（）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个

【答案】D【解析】已知B（
23
，2），所以OA=BC=
23
，故①正确；当点D运动到OA的中点处时，
222
OD=
3
，而OC=2，所以OC=7，在直角三角形CPD中，PC+PD=7，故 ②正确；过点P作PD⊥
PC交x轴于点D，所以在运动过程中，∠CDP是一个定值，故③正确；当△ ODP为等腰三角形时，
2323
OC
3
OC⊥BD，∠CDO=60°所 以
OD
，即OD=
3
，所以点D的坐标为(
3
,0).
1
6. 如图，在△ABC中，CA = CB = 4，cosC=
4
，则sinB的值为（▲）
10
A．
2

15
B．
3

6
C．
4

10
D．
4


【答案】D
1
【解析】 过点A作AD⊥BC于点D，∵cosC=
4
，AC=4，∴CD=1，∴BD=3，
A
AD=
B
D
C

AD1510

4
，故选D.
4
2
1
2
15
，在Rt△AB D中，AB=
(15)326
，∴sinB=
AB
26
22
7.2sin60°的值等于
(A) 1 (B)
2
(C)
3
(D)2
1
3
【答案】C【解析】常 用特殊角三角函数值sin60°=
2
，再乘以2，可得答案C.
8.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，下列结论错误的是（）
m
m
A. ∠BDC=∠α = m·tanα =
2sin

=
cos


A
m
B
α
O
C
D

【答案】C．
BC
BC
【解析】由锐角三角函数的定义，得sinα=
2OA
，∴AO=
2sin

，故选C．

9. 如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B
外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 米．（sin70 °
≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
【答案】1.02
【解析】∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.9 4，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，
DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77， 解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度
约为1 .02米．故答案为：1.02．

10.在直角三角形ABC中，若2AB=AC则cosC=___________.
【答案】或
【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以c osC===；若
∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===； 综上所述，
cosC的值为或．故答案为或．

1
11.如图,在Rt △ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,DE为△ABC的中位线,延长BC至F,使CF＝
2
BC,连接FE
并延长交AB于点M,若BC＝a,则△FMB的周长为________.

9
【答案】
2
a
1131
【解析】∵BC＝a ,∴CF＝
2
BC＝
2
a,∴BF＝
2
a∵DE为△ABC 的中位线,∴DE∥BF,DE＝
2
a,∴△MED∽△
MDED1

MFB,∴
MBFB
,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,∴∠A＝30 °,AB＝2a,BD＝a,∴MD＝
2
a,MB＝
39
2
a,∵M B＝FB,∠B＝60°,△BMF是等边三角形,周长＝
2
a.
12.如图，以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不
与点A，C重 合）处，折痕是EF.
13
ACtan

1
;
4
如图1，当CD＝< br>2
时，
15
ACtan

2
;
12
如图2，当CD＝
3
时，
17
ACtan

3
;
24
如图3，当CD＝
4
时，
……
1
AC
tan

n

n1
依次类推，当CD＝（n为正整数）时 ，

……
2n1
.
2n(n1)
【答案】 < br>【解析】当n＝1时，
tan

1

3355
;t an

2
;
414
当n＝2时，
1226

当n＝3时，
tan

3

2n12n1
77
tan

n
.
;
n(2n2)2n(n1)2438
……∴

cosC
A
13.
如图，在△< br>ABC
中，
B30
，
AC2
，
3
5
.则
AB
边的长为▲.
30°
BC

16【答案】
5
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ ADC中，∵∠ADC＝90°，
3
36
ADAC
2
CD
2
2
2


6


8
cos C

5

5

5
，
55
AC ＝2，∴DC=×2=，，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
AD1
16
∠B＝30°．∵sin B=
AB2
，
AB
=2AD=
5
．
2

14.
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC绕点A逆 时针旋转得到△ADE，使得

点D落在AC上，则tan∠ECD的值为_______ __．

3
22
【答案】
2
【解析】在Rt△ABC中， ∠B=90°，AB=5，BC=12，∴AC=
512
=13，∵△ABC绕点A
ED
旋转到△ADE，∴ED=BC=12，AD=AB=12，∠ADE=90°，∴CD=AC-A D=13-5=8，∴tan∠ECD=
DC
1233
=
8
=
2
，故答案为：
2
.

15
.如图，在由10个完全相 同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)=.

【答案】
【解析】连接BC，
∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成，
∴AD=DE=CE=BE，∠ADE=∠BEC=1200，
∴△ADE≌△BEC，∴∠EBC=α.
∵∠BEC=1200，BE=CE，∴∠BCE=(1800-1200)÷2=300，
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=600+300=900，
设小正三角形的边长为a，则AC=2a，BC=
√
3a，
在Rt△ACB 中，AB=
√AC
2
+BC
2
=
√
7a.
∴cos∠ABC=
AB
=
BC
√
3a
√
7a< br>=
√
21
.
7
√
21
.
7
又∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=α+β，∴cos(α+β)=
三、解答题
16.
如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路 CD平行.在C
处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方 向.已知CD=120m，BD=80m，

求木栈道AB的长度（结果保留整数）. < br>1752739
17
（参考数据：sin32°≈
32
，cos32° ≈
20
，tan32°≈
8
，sin42°≈
40
，cos 42°≈
4
，tan42°≈
10
）

【解题过程】解： 过
C
作
CEAB
于
E
，
DFAB
交< br>AB
的延长线于
F
，
则
CEDF
，
QAB CD
，

四边形
CDFE
是矩形，
EFCD120< br>，
DFCE
，
在
RtBDF
中，
QBDF 32
，
BD80
，
DFcos32gBD80
17 1785155
68BFsin32gBD80BEEFBF
20322
，
2
， ，
在
RtACE
中，
QACE42 
，
CEDF68
，
AECEgtan4268
9 306155306
ABAEBE134m
105
，
25，
答：木栈道
AB
的长度约为
134m
．

17
. 图9是一种淋浴喷头，图10是图9的示意图，若用支架把喷头固定在A点处，手柄长 AB＝25cm，
AB与墙壁D
D

的夹角∠
D

AB＝37°，喷出的水流BC与AB行程的夹角∠ABC＝72°，现在住
户要求：当人站在E处淋浴 时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：
安装师傅应将支架固定 在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°
≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0 .57，cos35°≈0.82，tan35°
≈0.70）．

D'
B
A
C
D
图10
E

【解题过程】过B点作MN∥DE，分别交直线AD和直线EC于点M、N，由题意
可知AD∥ CE，∠ADE＝90°
∴四边形DMNE为矩形，∴∠AMB＝∠BNC＝9 0°，MN＝DE， MD＝NE．在
MB
Rt△ABM中，∠
D

AB＝37°， si n∠MAB＝
AB
，∴MB＝AB·sin37°＝25
AM
×0.6＝15 ，cos∠MAB＝
AB
，∴AM＝AB·cos37°＝25×0.8＝20，∵MN＝
D'
M
A
B
N
C
D
E
图1 0
DE＝50，∴NB＝50－15＝35，∵∠ABM＝90°－37°＝53°，∠ABC＝72° ，
∴∠NBC＝180°－53°－72°＝55°，∴∠BCN＝90°－55°＝35°．在Rt< br>BN35
△BNC中，tan∠BCN＝
CN
，∴CN＝
0.75＝50，∴EN＝CN+CE＝50+130＝180＝MD，∴AD＝MD－
AM＝180－20 ＝160（cm）．
答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm高的位置．

18.
如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的 中点M．连
接MD，MG，MB．
MB
(1)试证明DM⊥MG，并求
MG
的值；
MB
(2 )如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α(0°＜α＜90°)．其它条件不变，问(1)中< br>MG
的值有变
化吗?若有变化，求出该值(用含α的式子表示)；若无变化，说明理由．

E
M
D
F
E
M
G
A
B
图2
D
F
C
G
A
图1
B
C
解：(1)延长GM交DE于H，∵EF的中点M，∴EM＝FM，∵正方形ABDE、正方形BCFG，∴ AB∥DE

∠AMH=∠FMG


EMFM

∠HEM=∠GMF

∥GF，∴∠HEM＝∠GFM，在△EHM和△FGM中，，∴△E HM≌△FGM(ASA),∴HM
＝MG，GF＝EH，∵AB＝2BC，∴GF＝EH＝DH＝DG ，∴DM是△HDG底边上的中线，∴DM⊥MG；
2
11
2
MB210< br>==
24
2
5
5

5
设AB＝4，BC ＝2，易求MB＝
2
EF＝
2
，MG＝
2
BC＝
2
，∴
MG
E
M
G
A
图1
D
F< br>E
M
T
G
Q
B
图2
D
F
C B
CA

MB
(2)
MG
比值会随着α的变化而变化，理由如下：
连接AM、EB、EF、GC，DF，交点为T、Q
由题知AD⊥EB、EF⊥GC，DF⊥BF，∠EAT＝∠BAT＝∠GBQ＝∠CBQ＝α
∴四边形TBFD为矩形
∴DF＝TB
∵G为BD的中点
11
DFTB
2
∴MG＝
2

由题设AB＝2，BC＝1
∴EB＝2BT＝4sinαFB＝2BQ＝2cosα
11
DFTB
2
∴DF＝TB＝2sinαMG＝
2
＝sinα
E
M
G
A
图1
D
F
E
M
T
G
Q
B
图2
D
F
CB
CA

2
在RT△EBF中由勾股定理得
EFEB
2
FB
2


2TB

2


2QB



4sin


2


2co s


=24sin
2

cos
2
< br>2

EF
22
4sin

cos


2
∴MB＝＝
4sin

cos

1
M B
4
sin

tan
2

∴
MG
＝

第二批

二、填空题
22
19.
在
ABC
中
C90
，
1
【答案】< br>2

tanA
3
3
，则
cosB
． < br>【解析】解：
Q
在
RtABC
中，
C90
，
设
a3x
，
b3x
，则
c23x
，
a1

c2
．
1
故答案为
2
．
cosB
tanA
3
3
，
【知识点】特殊角的三角函数值

20.
如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，则AC的长为 ．

【答案】
【解题过程】过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sinB＝，AB ＝3，∴AD＝AB•sinB＝1，在Rt△ACD
中，tanC＝
为：．
，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案
【知识点】解直角三角形


21.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA= ___________．

4
【答案】
5

BC4 4

【解析】根据正弦的定义直接求解，sinA=
AB5
，故答案为
5
．
【知识点】锐角三角函数


22.
如图：正方 形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接
PD，则 tan∠APD=.

答案：2
解析：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判 定与性质、直角三角形的性质和三角函数的概念等，由
正方形ABCD和点E，F分别为BC，CD边的 中点，易证△ABE≌△BCF,证得AE⊥BF,延长BF交AD的延
1
长线于点G,可证△ BCF≌△GDF,∴DG=CB=AD,根据直角三角形的性质AD=DP=
2
AG,∴∠A PD=∠DAE=
∠AEB，∴tan∠APD=tan∠AEB=2.因此本题填2．

三、解答题
3
4
．
23..
如图，在
RtA BC
中，
C90
，
D
为
BC
上一点，
AB5
，
BD1
，
（1）求
AD
的长；
（2）求
sin

的值．
tanB
3
Qtan B
222
222
(3x)(4x)5
QACBCAB
A C3xBC4x
4
解：（1），可设，得，，，

x 1AC3
，
BC4
，
CD3
，
QBD1，解得，（舍去），或
x1
，
ADCD
2
AC
2
32
；
（2）过点作
DEAB
于点
E
，
3
QtanB 
4
，可设
DE3y
，则
BE4y
，
222
QAE
2
DE
2
BD
2
，
(3y) (4y)1
，
1
13DE1
y
DEsin
< br>2
)
5
55AD10

解得，（舍，或，，．
【知识点】解直角三角形的应用
y
24
如图，在
A
处 的正东方向有一港口
B
．某巡逻艇从
A
处沿着北偏东
60
方向巡逻，到达
C
处时接到命
令，立刻在
C
处沿东南方向以20海里

小时的速度行驶3小时到达港口
B
．求
A
，
B间的距离．
(31.73
，
21.4
，结果保留一位小数）．


【解题过程】解：过点
C
作
CDAB
，垂足 为点
D
，则
ACD60
，
BCD45
，如图所 示．
在
RtBCD
中，
sinBCD
BDCD
co sBCD
BC
，
BC
，
BDBCgsinBCD20 3
22
42CDBCgcosBCD20342
22
，；
在
RtACD
中，
tanACD
AD
CD
，
ADCDgtanACD42372.2
．
ABADBD72.242114.2
．
A
，
B
间的距离约为114.2海里．