知识竞赛题-福建省会考成绩查询

武昌区2019届高三元月调研考试
数学理 试题
一、选择题： 本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1i
3i
（ ）
1i
A．
i
B．
2i

1．
C．
13i
D．
13i

2．已知集合
A{x|log
2
(x 1)1
若
AB
，则实数
a
的取值范围为（ ）
},B{x|xa2}
，
A．
(1,3)
B．
[1,3]
C．
[1,)
D．
(,3]

r
r
r
rr
r
3． 已知向量
a(2,1),b(2,x)
不平行，且满足
a2bab
，则
x
（ ）

A．

1

2
B．
1

2
C．1或

1

2
D．1或
1

2
x
2
e
x4．函数
f(x)
的图象大致为（ ）
x
开始
n 1,s0
s2
n
s
nn2
n≥8?
是
输 出s

5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的
s
（ ）
A．26 B．102 C．410 D．512
否
结束

x4 y3≤0

6．设
x,y
满足约束条件

x2y9≤ 0
，则
z2xy
的取值范围为（ ）

x≥1

A．
[2,6]
B．
[3,6]
C．
[3,12]
D．
[6,12]

7．已知函数
f(x)3sin

xcos

x(

0)
的最小正周期为
2
< br>，则
f(x)
的单调递增区间是
（ ）
A．
2k





6
,2k




(kZ)


6

B．

2k





3
,2k


2


(kZ)


3


C．

2k
< br>


2


,2k



(kZ)

33

D．

2k
< br>
2



6
,2k


5


(kZ)

6


8．已知a、b
是区间
[0,4]
上的任意实数，则函数
f(x)axbx 1
在
[2,)
上单调递增的概率
为
（ ）
A．
1

8
B．
3

8
C．
5

8
D．
7

8< br>9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为
（ ）
A．
32

3
B．
48
C．32

D．48
3


10．已知正三棱 锥
SABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，棱锥的底面是边长为
2 3
的正三角形，
侧棱长为
25
，则球
O
的表面积为（ ）
A．
10

B．
25

C．
100

D．
125


x
2
y
2
11．已知
M
为双曲线
C:
2
2
1(a0,b0)
的右支上一点，
A,F
分别为双曲线
C
的左顶点
ab
和右焦点，线段
FA
的垂直平分线过点
M< br>，
MFA60
，则
C
的离心率为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
12．已知函数
f(x)
1
3

1

xa

x
2
x2

，则
f(x)
的零点个数可能有（ ）
3

2

A．1个 B．1个或2个 C．1个或2个或3个 D．2个或3个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．
(x1)(x2)
的展开式中
x
的系数为 ．（用数字填写答案）
14．已知
f(x)
是定义域为
R
的奇函数 ，且函数
yf(x1)
为偶函数，当
0≤x≤1
时，
f(x) x
，
则
f

3
3
2

5



．

2


15．设
{a
n
}
是公差不为零的等差数列，
S
n
为其前
n
项和．已知S
1
,S
2
,S
4
成等比数列，且
a
3
5
，
则数列
{a
n
}
的通项公式为 ．
16．过点
M(m,0)
作直线
l
1
、l
2< br>与抛物线
E:y4x
相交，其中
l
1
与
E
交于
A、B
两点，
l
2
与
E
交
于
C、D
两点，
AD
过
E
的焦点
F
．若
AD 、BC
的斜率
k
1
、k
2
满足
k
1
2k
2
，则实数
m
的值
为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在
△ABC
中，角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
，且
sinAsinBcos
2
2C
，
2
(c3b)sinC(ab)(sinAsinB)
．
（1）求
A
和
B
的大小；
（2）若
△ABC
的面积为
3
，求
BC
边上中线
AM
的长．

18．（本小题满分12分）
如图，三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
ABACAA30,BC6
．
1
BC
1
2,ACA
1
（1）求证：平面
A BC
1

平面
AAC
11
C
；
（2）求二面角
B
1
AC
1
C
的余弦值．
B
1
C
1
B
C



A
1
A


19．（本小题满分12分）
某公司 开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l，单位：cm），先从中随机抽取100件，
测量 发现全部介于85cm和155cm之间，得到如下频数分布表：
分组
频数
[85，95)
2
[95，105) [105，115) [115，125) [125，135) [135，145) [145，155]
9 22
2
33 24 8 2
2
已知该批产品的质量指标值服从正态分布
N(

,

)
，其中

近似为样本的平均数
x
，

近似为样
本方差
s
（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．
（1）求
P(132.2l144.4)
；
2

（2）公司规定：当
l≥115
时，产品为正品；当
l115
时， 产品为次品．公司每生产一件这种产品，
若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记

为生产一件这种产品的利润，求随机变量

的分布列和数学期望．
参考数据：
15012.2
．
若
X～N(

,

)
，则
P(



X≤
< br>

)0.6826,P(

2

X≤

2

)0.9544
，
2
P(

3

X≤

3

)0.9974
．

20．（本小题满分12分）
x
2
y
2
1
的左、右焦点，动点
P(x
0
,y
0
)(y
00,y
0
1)
在
E
设
F
1
、F
2
分别为椭圆
E:
2
上．
F
1
PF2
的平分线交
x
轴于点
M(m,0)
，交
y
轴 于点
N
，过
F
1
、N
的直线
l
交
E
于
C、D
两点．
1
，求
x
0
的值；
2
x
（2）研究发现
0
始终为定值，写出该定值（不需要过程），并 利用该结论求
△F
2
CD
面积的取值范
m
（1）若
m
围．




21．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)lnx
1
2
13
axx
．
424
（1）当
a1
时，求
f(x)
的单调区间； < br>（2）若
f(x)
存在两个极值点
x
1
,x
2
，且
x
1
x
2
，证明：
f(x
1
) f(x
2
)
1
2a
．
x
1
x
2
4



（二）选考 题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计
分．
22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在直角坐标系
xO y
中，曲线
C
1
的参数方程为


xt
（
t
为参数）．在以坐标原点为极点，
x
轴正
y3t

半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
2
的极坐标方程为

4 cos

．

（1）写出
C
1
的 普通方程和
C
2
的直角坐标方程；
（2）若
C
1
与
C
2
相交于
A、B
两点，求
△OAB
的面积．
23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）
已知
f(x)x1axa1
．
（1）当
a1
时，求不等式
f(x)≥3
的解集；
（2 ）若
x≥1
时，不等式
f(x)≥x2
恒成立，求
a
的取 值范围．


武昌区2019届高三年级元月调研考试理科数学参考答案
1
B
13

17．解析：（1）因为
(c3b)s inC(ab)(sinAsinB)
，所以
(c3b)c(ab)(ab)< br>，
所以
abc3bc
，即
cosA
因为
s inAsinBcos
2
222
2
B
6
3
A
4
A
14
5
B
6
C
7
B
15
8
D
9
A
10
B
16
11
B
2
12
A
1


8
a
n
2n1

3
，所以
A30
，
2
C1cosC
，所以
sinAsinB
，即
sinB1cosC
，
22
因为
BC150
，所以
sinB1cos(150B)1cos1 50cosBsin150sinB
，
即
分
13
sinB cosBsin

B60

1
，所以
B30
． ……………………6
22
（2）
a b,C120
，因为
S
△ABC

13
2
ab sinCa3
，所以
ab2
，
24

1


7
，

2
在
△ACM
中，
AMACCM2ACCMcos1204 1212


所以
AM
222
7
．… …………………………………………………………………………………12分

C
M
A
B

18．解析：（1）记
A
1< br>CIAC
1
O
，连结
BO
．因为
ABBC
1
，所以
BOAC
1
．
由题意知
△ACC
1
为正三角形，求得
CO3
，在
△ABC
1
中求得
BO3
，又
BC6
，
222
所以
BCCOBO< br>，所以
BOCO
．因为
COIAC
1
O
，所以< br>BO
平面
AAC
11
C
．
因为
BO< br>平面
ABC
1
，所以平面
ABC
1

平面< br>AAC
11
C
．………………………………6分
（2）建立如图所示 的空间直角坐标系，则
A(0,1,0),C
1
(0,1,0),C(3,0,0 ),B
1
(3,1,3)
，
uuuruuur
AC(0,2 ,0),AB
1
(3,2,3)
．
ur
因为
BO< br>平面
AAC
11
C
，所以平面
AAC
11
C
的法向量为
m(0,0,3)
．
r
设平面
AB
1
C
1
的法向量为
n(x,y,z)
，则
ruuur
nAC2y0

，取
x1
，则

ruuur


nAB
1
3x2y3z0
y0 ,z1
，
r
所以
n(1,0,1)
．
urr< br>urr
mn32

所以
cosm,n
u
，因 为所求二面角的平面角为钝角，
rr

2
32
mn
所 以所求二面角
B
1
AC
1
C
的余弦值为
2
．………………………………………………12分
2
z
B
1
C
1
O
A
1
A
B
C
x
y

19．解析：（1）抽取产频质量指标值的样本平均数为：

x900.021000.091100.221200.331300.2414 00.081500.02120
，
抽取产品质量指标值的方差为：
< br>2
9000.024000.091000.2200.331000.2 44000.089000.02150
，
因为
l～N(120,150),

15012.2
，
1
P(

l≤



)P(120l≤ 132.2)0.68260.3413,
2

1
P(
l≤

2

)P(120l≤144.4)0.9544 0.4772,
2
P(132.2l144.4)P(120l≤144.4)P( 120l≤132.2)0.1359
．………………6分
（2）由频数分布表得：P(l115)0.020.090.220.33,p(l≥115)10.330.6 7
．
随机变量

的取值为
90,30
，且
P(

90)0.67,P(

30)0.33
．
则随机变量

的分布列为：


P
90
0.67
30

0.33
所以
E

900.67300.3350.4
． ……………………………………………………………12
分
20．解析：（1）由题意知F
1
(1,0),F
2
(1,0)
．
直线
PF
1
的方程为
y0
y
0
0
(x1)，即
y
0
x(x
0
1)yy
0
0，
x
0
1
y
0
0
(x1)
， 即
y
0
x(x
0
1)yy
0
0
．
x
0
1
直线
PF
2
的方程为
y0< br>由点
M


1

,0

到
PF
1
和
PF
2
的距离相等，得

22
2

y
0
(x
0
1)
1
y
0
y
0
2
1
y
0
y
0
2
y(x
0
1)
2
0
2
． （*）
其 中
2
y
0
(x
0
1)
2
1
1
2
2
x
0
(x
0
1)
2
x
0
2
，
22
2
y
0
(x
0
1)
2
1
1
2
2
x
0
(x
0
1)
2
x
0
2
，且
2 x
0
2
．
22

所以（*）式可化为
分
（2）定值为2，即
31

，解得
x
0
1
．……………………………………………………4
x
0
22x
0
x
0
2
．
m
y0
0
(xm)
，令
x0
，并考虑
x
0< br>2m
，得
yy
0
．
x
0
m
直线
PM
的方程为
y0
所以点
N
的坐标为
( 0,y
0
)
，从而过
F
1
、N
的直线
l
的方程为
y0
0y
0
(x1)
，即
1 0
yy
0
(x1)
，
x
2
22
) y
2
2y
0
yy
0
0
．设
C(x< br>1
,y
1
),D(x
2
,y
2
)
，
y
2
1
，消去
x
，得
(12y
0< br>代入
2
2
2y
0
y
0
则
y1
y
2

．
,y
1
y
2

22
12y
0
12y
0
222

 2y
0

4y
0
8y
0
(y
0
 1)
2
所以
y
1
y
2
(y
1
y
2
)4y
1
y
2


，

2

222
12y12y(12y)
0

00

22
8y
0
(y
0
1)
1F
1
F
2
y
1
y
2

．
22
2(12y
0
)
2
所以
S
△F
2
CD
2222

8y
0
(y
0
1)2[(12y
0
)1]
1
21
因为，其中
y
0
0,y
0
1
，

222222
(12y
0
)(12y
0
)

(12 y
0
)


161
4

所以
0 y1,112y3,02

1
，所以，
0S
△ F
2
CD
22

3
(12y)9
0

2
0
2
0
所以
△F
2
CD
面积的 取值范围为

0,

．……………………………………………………………… 12
分


4

3

P
CF
1
O
N
D

M
F
2

21．解析：当
a1
时，
f(x)lnx
1
2
13
xx
，
f( 1)0
．
424
111x
2
x2(x2)(x1)f

(x)x
．当
x1
时，
f

(x)0
；当
0x1
时，
x222x2x
f
(x)0
．
在
(0,1)
单调递增，在
(1, )
单调递减．………………………………………………4分
111ax
2
x2
1
2
13
（2）因为
f(x)lnxaxx
，所以
f

(x)ax
．
x222x
424< br>因为
f(x)
存在两个极值点，所以
axx20
在
(0 ,)
有两根．
2

a0
112
所以
，所以
0a
，且
x
1
x
2
,x
1
x
2

．
8aa

18a0
11
2
(lnx
1
lnx
2
)a(x
12
x
2
)(x
1
x
2
)
f(x
1
)f(x
2
)lnx
1
lnx
2
1
42

． 因为
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
4

x< br>
2

1
1

f(x
1
)f( x
2
)lnx
1
lnx
2
12
x
x
2

．
2a
，只需证
2a
要证， 即证
ln
1

x
1
x
1
x
2< br>4x
1
x
2
x
1
x
2
x
2
1
x
2
令
x
1
2(t1)
t 1
，只需证
lnt
．
x
2
t1
14(t1 )
2
2(t1)
≥0
， 令
g(t)lnt,g(1)0
，所以
g

(t)
t(t1)
2
t(t1 )
t1
所以
g(t)
在
(1,)
单调递增，因为t1
，所以
g(t)g(1)
，即
lnt
所以，
2(t1)
0
．
t1
f(x
1
)f(x
2
)
1
2a
．
x
1
x
2
4
2
22．解析：（1）
C
1
的普通方程为
xy30
，由

4cos

，得

4

cos

，
又因为

xy,

cos
x
，所以
C
2
的直角坐标方程为
xy4x0
．……………………
4分
（2）原点
O
到直线
xy3 0
的距离
d
22222
3
22
，
C
2
的标准方程为
(x2)y4
，表示圆心为
2

C
2
(2,0)
，半径
r2
的圆．
C
2
到直线
xy30
的距离
d
2

2
A B2r
2
d
2
14
．
32
，所以
2
所以
S
△OAB

分 4
11337
．………………………………………………………10
ABd1 4
222
2
3
2
A
1
O
1
2
C
2
46810
B
2

3
23．解析：（ 1）当
a1
时，不等式
f(x)≥3
化为
x1x≥3
．
4
当
x1
时，
x1x≥3
，解得
x ≤2
，所以
x≤2
；
当
1≤x≤0
时，
x1x≥3,1≥3
，无解；
当
x≥0
时，
x1x≥3
，解得
x≥1
，所以
x ≥1
．
所以，不等式
f(x)≥3
的解集为
(,2]U[1 ,)
．…………………………………………………4
分
（2）当
x≥1
时，不等式
f(x)≥x2
化为
x1axa1≥x2
， 即
axa1≥1
．
由
axa1≥1
，得
axa 1≤1
或
axa1≥1
，即
a(x1)≤2
或
a(x1)≥0
．
当
x≥1
时，不等式
a(x1)≤2
不恒成立；
当< br>x≥1
时，若不等式
a(x1)≥0
恒成立，则
a≥0
．
所以，所求
a
的取值范围为
[0,)
．…………………………… ……………………………10分

5