三角函数图像公式大全
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幂函数的图形
指数函数的图形
对数函数的图形
三角函数的图形
各三角函数值在各象限的符号
sinα·cscα
三角函数的性质
函数
定义域
R
y=sinx
R
［-1,1］
x=2kπ 时
y
max
=1
x=2kπ+π 时 y
min
=-1
R
无最大值
无最小值
周期为 π
奇函数
y=cosx y=tanx
｛x｜x∈R 且
x≠kπ+
,k∈Z｝
2
y=cotx
｛x｜x∈R 且
x≠kπ,k∈Z｝
cosα·secα tanα·cotα
值域
［-1，1］x=2kπ+
y
max
=1
x=2kπ-
2
时
R
无最大值
无最小值
2
时 y
min
=-1
周期为 2π
偶函数
周期性
周期为 2π
奇偶性 奇函数
周期为 π
奇函数
在［2kπ-
,2kπ+
］
2
2
上都是增函数；在
单调性
2
［2kπ+
,2kπ+ π］上
2
3
都是减函数(k∈Z)
反三角函数的图形
在［2kπ-π，2kπ］上都是
在(kπ，kπ+π)内都
在(kπ-
，kπ+ )内都
增函数；在
是减函数(k∈Z)
2
2
［2kπ，2kπ+π］上都是
是增函数(k∈Z)
减函数(k∈Z)
反三角函数的性质
名称
反正弦函数
,
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
y=sinx(x∈〔-
y=cosx(x∈〔0,π〕)
的反函数，叫做反
余弦函数，记作
x=arccosy
定义
2 2
y=tanx(x∈(-
2 2
,
)
y=cotx(x∈(0,π))的
反函数，叫做反余
x=arccoty
〕的反函数，叫做反
正弦函数，记作
x=arsiny
的反函数，叫做反正切
切函数，记作
函数，记作 x=arctany
arcsinx
表示属于［-
arccosx 表示属于
［0，π］，且余弦
值等于 x
的角
理解
2 2
,
arctanx 表示属于(-
］
2
,
arccotx 表示属于
(0，π)且余切值等于
x
的角
且正弦值等于 x 的角
2
［-1，1］
)，且正切值等于 x
的角
定义域
［-1，1］
［- ， ］
(-∞，+∞)
(- ， )
(-∞，+∞)
性
质
值域
单调性
奇偶性
周期性
2 2
［0，π］
2 2
(0，π)
在(-∞，+∞)上是减
函数
arccot(-x)=π-arccotx
在〔-1，1〕上是增函
数
arcsin(-x)=-arcsinx
都不是同期函数
在［-1，1］上是减
在(-∞，+∞)上是增数
函数
arccos(-x)=π-
arccosx
arctan(-x)=-arctanx
sin(arcsinx)=x(x∈［-
cos(arccosx)
1，1］)arcsin(sinx)
=x(x∈［-1,1］)
恒等式
=x(x∈［-
arccos(cosx)
2
,
2
］)
=x(x∈［0,π］)
互余恒等式
arcsinx+arccosx=
2
(x∈［-1,1］)
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)
= cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) =
cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) =
tanA
tanB
1 - tanAtanB
tan(A-B) =
tanA tanB
1 tanAtanB
cot(A+B)
=
cotAcotB -1
cotB cotA
cot(A-B) =
cotAcotB 1
cotB
cotA
倍角公式
tan2A =
2tanA
1 tan
2
A
Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A = Cos
2
A-Sin
2
A=2Cos
2
A-1=1-2sin
A
2
三倍角公式
sin3A =
3sinA-4(sinA)
3
cos3A =
4(cosA)
3
-3cosA
tan3a = tana·tan(
3
+a)
·tan(
3
-a)
半角公式
sin(
A
1 cos A
2
)=
1
cos(
A
1 cos
A
2
)=
1
tan(arctanx)=x(x∈R)arc
cot(arccotx)=x(x∈R
)
tan(tanx)=x（x∈(-
2
arccot(cotx)=x(x∈(0
,
,π))
2
)）
arctanx+arccotx=
2
(X∈R)
tan(
A
1
cos A
2
)=
1 cosA
cot(
A
2
)=
1 cos A
1 cosA
tan(
A
)=
1 cos A
=
sin A
2
sin A 1 cos A
和差化积
sina+sinb=2sin
a b
cos
a b
sina-sinb=2cos
a
2
b a
2
b
2
sin
2 a
cosa+cosb = 2cos
b
cos
a
b
cosa-cosb = -2sin
a
2
b
2
sin
a b
tana+tanb=
sin( a
2
b)
2
cos a cos
b
积化和差
sinasinb = -
1
2
[cos(a+b)-cos(a-b)]
cosacosb
=
1
2
[cos(a+b)+cos(a-b)]
sinacosb =
1
2
[sin(a+b)+sin(a-b)]
cosasinb =
1
2
[sin(a+b)-sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a) = -sina
cos(-a) = cosa
sin(
2
-a) = cosa
cos(
2
-a) = sina
sin(
2
+a) = cosa
cos(
2
+a) = -sina
sin(π-a) =
sina
cos(π-a) = -cosa
sin(π+a) =
-sina
cos(π+a) = -cosa
tgA=tanA
=
sin a
cos a
万能公式
2 tan
a
sina=
2
1 (tan
a
2
1
)
1 (tan
a
)
2
cosa=
1
1 (tan
a
)
2
1
2 tan
a
tana=
2
1
(tan
a
2
1
)
其它公式
a•sina+b•cosa=
(a
2
b
2
) ×sin(a+c)
[其中
tanc=
b
a
]
a•sin(a)-b•cos(a) =
(a
2
b
2
) ×cos(a-c)
[其中 tan(c)=
a
b
]
1+sin(a) =(sin
a a
2
2
+cos
2
)
1-sin(a) = (sin
a a
2
2
-cos
2
)
其他非重点三角函数
csc(a) =
1
sin a
sec(a) =
1
cos a
双曲函数
sinh(a)=
e
a
- e
-a
2
cosh(a)=
e
a
e
-a
2
tg h(a)=
sinh(
a)
cosh(a)
公式一
设 α
为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα
cos（2kπ＋α）= cosα
tan（2kπ＋α）= tanα
cot（2kπ＋α）= cotα
公式二
设 α 为任意角，π+α
的三角函数值与 α 的三角函数值之
间的关系：
sin（π＋α）=
-sinα
cos（π＋α）= -cosα
tan（π＋α）=
tanα
cot（π＋α）= cotα
公式三
任意角 α
与 -α 的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）=
-cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之3
tan（
+α）= -cotα
间的关系： 2
sin（π-α）= sinα
3
cot（ +α）= -tanα
cos（π-α）= -cosα
2
tan（π-α）= -tanα 3
sin（ -α）=
-cosα
cot（π-α）= -cotα 2
3
cos（ -α）= -sinα
公式五
2
利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之3
tan（
-α）= cotα
间的关系： 2
sin（2π-α）= -sinα
3
cot（ -α）= tanα
cos（2π-α）= cosα
2
tan（2π-α）= -tanα
(以上 k∈Z)
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大
cot（2π-α）=
-cotα
家有用
A•sin(ωt+θ)+
B•sin(ωt+φ)
=
A
2
B
2
2AB cos(
Bsin)
)×sin
t arcsin[(Asin
公式六
A
2
cos(
B
2
2AB
)
3
±α 及 ±α 与 α 的三角函数值之间的关系：
2
2
三角函数公式证明（全部）
sin（ +α）=
cosα
2
cos（ +α）= -sinα
2
tan（ +α）= -cotα
2
cot（ +α）= -tanα
2
sin（ -α）=
cosα
2
cos（ -α）= sinα
2
tan（ -α）= cotα
2
cot（ -α）= tanα
2
3
sin（ +α）= -cosα
2
3
cos（ +α）= sinα
2
公式表达式
乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|
sin(A2)=√((1-cosA)2)
sin(A2)=-√((1-cosA)2)
一元二次方程的解
cos(A2)=√((1+cosA)2)
cos(A2)=-√((1+cosA)2)
-b+√(b2-4ac)2a
-b-b+√(b2-4ac)2a
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA))
cosA)((1+cosA))
tan(A2)=-√((1-
根与系数的关系
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA))
ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-
cosA))
和差化积
X1+X2=-ba
X1*X2=ca
注：韦达定理
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-
判别式 b2-4a=0
注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注：方程有一个实根
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
cos(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-
b2-4ac<0
注：方程有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2
cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB
B)cosAcosB
tanA-tanB=sin(A-
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
B)=cosAcosB+sinAsinB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-
某些数列前 n 项和
-
cos(A-
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2
tan(A-B)=(tanA-
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB)
tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA)
B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)
倍角公式
ctg(A-
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R
tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
正棱台侧面积
注： 其中 R
表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB
注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角
正切定理
[(a+b)(a-b)]={[Tan(a+b)2][Tan(a-b)2]}
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程
y2=2px y2=-2px
x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积
S=c*h
斜棱柱侧面积
S=c'*h
正棱锥侧面积
S=12c*h'
S=12(c+c')h'
圆台侧面积
S=12(c+c')l=pi(R+r)l
球的表面积
S=4pi*r2
圆柱侧面积
S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积
S=12*c*l=pi*r*l
弧长公式
l=a*r
a 是圆心角的弧度数 r >0
扇形面积公式
s=12*l*r
锥体体积公式
V=13*S*H
圆锥体体积公式
V=13*pi*r2h
斜棱柱体积
V=S'L
注：其中,S'是直截面面积，
柱体体积公式
V=s*h
L 是侧棱长
圆柱体
V=pi*r2h
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三角函数 积化和差 和差化积公式
记不住就自己推，用两角和差的正余弦：
cos(A+B)=cosAcosB-
sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
这两式相加或相减，可以得到 2 组积化和差:
相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]2
相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]2
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
这两式相加或相减，可以得到 2 组积化和差:
相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]2
相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]2
这样一共 4 组积化和差，然后倒过来就是和差化积了
正加正 正在前
正减正 余在前
余加余 都是余
余减余 没有余还负
正余正加 余正正减
余余余加 正正余减还负
3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)
(1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A2)cos(B2)cos(C2)
(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A2)·sin(B2)·sin(C2)+1
(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC
(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1