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正余弦定理的综合应用教学设计
课题名称
科目
正余弦定理的综合应用
数学（高三） 授课人 耿向娜
一、教学内容分析
本节课为高三一轮复习中的解三角形部分的习题课。解三角形的知识在历年
的高考中与三角函数向量等 知识相结合，频繁出现在选择、填空和17题的位
置，是学生们的重要得分点之一。本节课对2013年 中出现的解三角形问题的
分析解答，强化学生对解三角形的理解和巩固，同时消除他们对高考的畏惧感，提升其自信心。
二、教学目标
1、知识目标：熟练掌握正余弦定理、三角形面积公 式、边角关系互化，同时
熟练结合三角函数知识求相关函数的最值等。
2、能力目标：培养学生分析解决问题的能力，提高学生的化简计算能力
3、情感目标：让学 生在直接面对高考真题的过程中，体会解决问题的快乐，
提升他们的自信心，提高他们的备战能力！
三、学情分析
我所任课的班级是高三22班是文科普通班，他们的数学基础整体上很薄弱，< br>计算能力有待提高。通过三个多月的一轮复习，越来越多的学生对数学产生
了兴趣，同时也品尝到 数学成绩提高带来的喜悦，具有了一定的函数知识和
解决问题的能力。
四、教学重点难点
重点
难点

正余弦定理的应用
公式的转化和计算
1

五、教法分析
本节课我利用多媒体辅助教学，采用的是教师引导下的学生自主探究式学习
法。
六、教学过程
教学环节
一、基
础
知
识
回
顾
回顾正弦定理：
余弦定理：

bca
cosA

2bc

222
acb

< br>a
2
b
2
c
2
2bccosA
cosB
2ac

2

22

bac 2accosB

a
2
b
2
c
2
< br>c
2
a
2
b
2
2abcosC


cosC

2ab


222
教学内容
abc
k
;
sinAsinBsinC
aksinA,bksinB,cksinC

设计意图
通过对公式的
回顾，为本节
课解答问题提
供工具。 三角形面积公式：
S
1
absinC
1
acsinB1
bcsinA

222
二、例



题


讲


解

类型一：判定三角形形状
该题的设置目
1、设在
ABC
中，若< br>acosAbcosB
,判定该三角形
的在于训练学
的形状。
解析：法一：（边化角）sinAcosAsinBcosB

11
sin2Asin2B
22


AB或2A 2B

，AB
2
为等腰三角形或直角三角形.
b
2
c
2
a
2
a
2
c
2
b< br>2
法二：（角化边）ab
2bc2ac
a
2
(b
2
c
2
a
2
)b
2
(a
2
c
2
b
2
)
a
4
b
4
 (a
2
b
2
)c
2
(a
2
b
2
c
2
)(a
2
b
2
)o
a< br>2
b
2
c
2
或ab
直角三角形或等腰三角形
2

生对边角混合
式的转化。此
题可以边化
角，也可角化< br>边，让学生体
会正余弦定理
的应用和边角
转化的魅力。

例


题


讲


解











练习：（2013年辽宁卷文科9题）设在
ABC
中，

角
ABC
所对的边为
abc
，

asinBcos CcsinBcosA
1
b,
ab
，则B值为（ ）

2
A B C

6

3
2

5


D

36


1
sinB
,
2
解析：由已知可得:
sinAsinBsinCsinCsinBsinA


化简得
sin(AC)sinB
类型二：求角、面积
1
2
1

5

B,
（舍）

266
本题的第一问
是对边角转化
的一个巩固，
学生同样可以
从两个角度思
2A、B、C,

、在ABC中，a、b、c所对的角分别为
cosBb
且.
2ac

cosC
(1)求角B的大小；< br>（2）b13,ac4,求ABC的面积。


解析：（1）法一（角化边）：由余弦定理可知：

a
2
c
2
b
2
a
2
b
2
c
2
c osB，cosC
2ac2ab

cosBb
将上式带入
cosC2ac

a
2
c
2
b
2
2abb

2

2ac ab
2
c
2
2ac

整理得a
2
 c
2
b
2
ac
222
acbac1

cosB
2ac2ac2

B
2

3
cosBsinB

法二（边化角）：
cosC2sinAsinC

2sinAcos BcosBsinCsinBcosC
2sinAcosBsin(BC)0

2sinAcosBsinA0
12

cosBB

23
考，第二问训
练三角形面积
公式的应用，
强调公式的应
用中选择适当
的边角确定面
积值。




3

(2) 将b13,ac4,B
代入b
2
a
2
c
22

3
2accosB

通过前两题的
训练，学生已
经初步掌握了
边角的转化、
以及三角形面
积的求法。本
题的设计意图
在强化练习，4
题对三角形面
积最值的求法
b
2
（a c)
2
2ac2acosB
1
13162ac(1)ac3
2
133
S
ABC
acsinB
24
练习 ：（2013新课标全国卷理）在
ABC
中，角
ABC
所对的边为
abc
，且
abcosCcsinB
.
（1）求B;
（2）
b2,
求
S
ABC
的最大值。
解析：(1)由已知得
sinAsinBcosCsinCsinB

sin(BC)sinBcosCsinCcosB
+
sinBcosBB

4

体现学科内综
a
2
c
2
b
2
2
（2）由
cosBa< br>2
c
2
42ac

2ac2
合，提升学生
的理解、计算
能力。
1122
acsinBacS(422)21


2224
又因为
a
2
c
2
2ac2ac42ac ac422

由
S





三、小结


1、熟练掌握正余弦定理，寻找合适的边角进行转化；
2、三角形面积公式的应用。
4

四、作
业
1、（2010年辽宁卷）在
ABC
中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边且
2asinA(2bc)sinB(2Cb)sinC
.
(1)求A的大小；
(2)（理）求
sinBsinC
的最大值；
（文）若
sinBsinC1
，试判断
ABC
的形状
2、（2009年安徽卷）在
ABC
中，
CA
（1）求sinA的值 ；
（2）设AC=
6
，求
ABC
的面积


2
,sinB
1
。
3
板书设计 “解三角形”高考真题演练
一、复习导入
二、例题讲解
三、学生板演
四、课堂小结
课后反思 本课从复习正余弦定理的内容入手，让学生掌握解题工具，通过一道课后习题的讲解，使学生理解边角转化，在练习中提高计算
能力；在例二的面积求值中，让学生 体会转化的思想和求最值的
方法。通过本节课提升学生解决三角问题的能力！


5