成都招考网-幼儿园大班班级总结

2020
年宁夏银川一中高考数学二模试卷（二）（全国）

一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.

如果复数（
a
∈
R
，
i
为 虚数单位）的实部与虚部相等，则
a
的值为（ ）
A.
1

B.
-1

C.
3

D.
-3

D.
{1
，
2
，
4}

2.

若
A={0
，
1
，
2}
，
B={x|x=2
a
，
a
∈
A}
，则
A< br>∪
B=
（ ）
A.
{0
，
1
，
2}

B.
{0
，
1
，
2
，
3}

C.
{0
，
1
，
2
，
4}

3.

向量，，若的夹角为钝角，则
t
的范围是（）
A.
t
＜
B.
t
＞
C.
t
＜且
t≠
﹣
6

D.
t
＜
﹣
6

4.

直线
kx-2y+1=0
与圆的位置关系是（

）
A.
相交
B.
相切
C.
相离
D.
不确定
5.

有
6
名男医生、
5
名女医 生，从中选出
2
名男医生、
1
名女医生组成一个医疗小组，
则不同的 选法共有（ ）
A.
60
种
B.
70
种
C.
75
种
D.
150
种
6.

已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是
（ ）

A.
C.


B.
D.


7.

下列函数中最小正周期是
π
且图象关于直线
x=
对称的是（ ）
A.
y=2sin
（
2x+
）
C.
y=2sin
（
+
）
B.
y=2sin
（
2x-
）
D.
y=2sin
（
2x-
）
8.

我国古代名著《 庄子•天下篇》中有一句名言“一尺
之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木
棍，每 天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此
规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取
20
天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可
分别填入的是（ ）
A.
B.


第1页，共16页

C.
D.





9.

已知
α
是第二象限角，且


的值为（ ）

A.

10.

已知函数
f
（
x
）
=
B. C.

D.

，则
y=f
（
x
）的图象大致为（ ）
A.

B.

C.

D.

11.

已知抛物线
x
2
=4y
焦点为
F
，经过
F
的直线交抛物线与
A
（
x
1
，< br>y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），
点
A
、
B
在抛物线准线上的投影分别为
A1
，
B
1
，以下四个结论：①
x
1
x
2
=-4
，
②
|AB|=y
1
+y
2
+1
，③
其中正确的个数为（ ）
A.
1

B.
2

12.

已知函数
f
（
x
）
=
，④
AB
的中点到抛物线的准线的距离的最小值为
2
，< br>C.
3

D.
4

＜
0
恒成立 ，
，
x
∈（
0
，
+∞
），当
x
2
＞
x
1
时，不等式
则实数
a
的取值范围为（ ）
A.
（
-∞
，
e]

B.
（
-∞
，
e
）
C.

D.

二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.

(x
＋
y)(2x
－
y)
5的展开式中
x
3
y
3
的系数为
__________(
用数字填写答案
)
．
14.

在锐角△
ABC< br>中，
a
，
b
，
c
分别为角
A
，B
，
C
所对的边，且
a=2csinA
，
c=
△
ABC
的面积为，则
a+b=______
．
，且
15.

如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按
下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（
1
）每次只能移动一个金属片；
（
2
）在每次移动过程 中，每根针上较大的金属片不能放
在较小的金属片上面．将
n
个金属片从
1< br>号针移到
3
号针最少需要移动的次数记为
f
（
n
）；
①
f
（
3
）
=______
；
②
f
（
n
）
=______
．
16.

一个四面体的顶点在空间直角坐标系
O-xyz
中的坐标分 别是，
C1
，
0
），（
0
，，，则该四面体的外接球的体积 为
______
．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
第2页，共16页

17.

设数列
（
1
）求证
满足，
.

是等比数列，并求；

的前项和
.

（
2
）求数列







18.

为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测 考试，并随机抽
取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图

（
1
）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩
u
0
；（精确到
个位）
（
2
）研究发现，本次检测的理科数学成绩
X
近似服从正态分布
N
（
u
，
σ
2
）（u=u
0
，
σ
约为
19.3
），按以往的统计数据，理 科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学
约占
40%
．
（
i）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精
确到个位）
（
ii
）从该市高三理科学生中随机抽取
4
人，记理科数学成绩能达到自主 招生分数
要求的人数为
Y
，求
Y
的分布列及数学期望
E（
Y
）．
（说明：
P
（
0.6554
）
=0.4
）

表示
X
＞
x
1
的概率．参考数据
φ
（0.7257
）
=0.6
，
φ







第3页，共16页

19.

如图，
PA
⊥矩形
ABCD
所在平面，
PA=AD
，M
、
N
分别是
AB
、
PC
的中点
.

（
1
）求证：
MN
平面
PCD;
,
求二面角
N-MD-C
的正弦值
.

（
2
）若直线
PB
与平面
PCD
所成角的正弦值为







20.

动点
M（
x
，
y
）满足
（
1
）求
M
的轨迹并给出标准方程；
（
2
）已知，直线
y=kx-k
交
M
的轨迹于
A
，
B
两点，设且
1
．
＜
λ
＜
2
，求
k
的取值范围．








21.

已知函数，，（
a
∈
R
）．
（
1
）讨论函数
f
（
x
）的单调性；
（
2
）若函数
g
（
x
）有两个极值点，试判断函数
g
（
x
）的零点个数．








2
x
轴正方向为极轴，
+y
2
=1< br>，已知曲线
C
1
的方程为（
x-1
）
22.

以直角坐标系原点
O
为极点，
C
2
的方程为
x+y =3
，
C
3
是一条经过原点且斜率大于
0
的直线．
第4页，共16页

（
1
）求
C
1
与
C
2
的极坐标方程；
（
2
）若
C
1< br>与
C
3
的一个公共点为
A
（异于点
O
），< br>C
2
与
C
3
的一个公共点为
B
，求
|OA|-
的取值范围．








23.

已知
a
，
b
，
c均为正实数，且
已知
a
，
b
，
c
均为正实数， 且
，证明
，证明
；
．







第5页，共16页

-------- 答案与解析 --------

1.
答案：
D

解析：解：复数
解得
a=-3
，
故选：
D
． < br>求出复数的代数形式，根据复数的实部与虚部相等列出方程，解方程即可得到
a
的
==
，复数的实部与虚部相等，所以
1-a=-2a+1
，
值．
本题考查了复数的代数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题．
2.
答案：
C

解析：【分析】
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集性质的合理运用．
根据
A
求出
B
，由此利用并集的定义能求出
A
∪
B
．
【解答】
解：∵
A={0
，
1
，
2}
，
B={x|x=2
a
，
a
∈
A}=
，
则
A
∪
B={0
，
1
，
2
，
4}< br>，
故选：
C
．
3.
答案：
C

解析：解：
∵与的夹角为钝角；
∴
∴
∴
，且不平行；
；
，且
t≠-6
．
；
故选：
C
．
可先求出
得出
，根据，的夹角为钝角即可得出
，解出
t
的范 围即可．
，且不平行，从而
考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，向量坐标的数量积 运算，以及平行向量
的坐标关系．
4.
答案：
A

第6页，共16页

解析：【分析】
根据直线过圆内的定点（
0
，）可得．
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
【解答】
解：因为直线
kx -2y+1=0
过定点（
0
，），且
0+
（
所以点（
0
，）在圆内，故直线与圆恒相交．
故选：
A
．
5.
答案：
C
）
2
＜
1
，

解析：【分析】
本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
根据 题意，分
2
步分析，先从
6
名男医生中选
2
人，再从
5
名女医生中选出
1
人，由组
合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步 计数原理计算可得答案．
【解答】

解：根据题意，先从
6
名男医 生中选
2
人，有
C
6
2
=15
种选法，
再从
5
名女医生中选出
1
人，有
C
5
1
= 5
种选法，
5=75
种
.
则不同的选法共有
15×
故选
C
．


6.
答案：
B

解析：解：几何体为四棱锥
P-ABCD
，
PA
⊥平面
ABCD
，
底面
ABCD
为直角梯形，
AD
∥
BC
，
AB
⊥
BC
， 且
PA=AB=BC=2
，
AD=4
．
∴
S
△< br>PAD
=
S
梯形
ABCD
=
=4
，
S
△
PAB
=
=6
，
=2
，
由
PA
⊥平面
ABCD
可得
PA
⊥
BC
，
PA
⊥
CD
，
PA∩AB=A
，又
BC
⊥
AB
，故
BC
⊥平面
PAB
，于是
BC
⊥
PB
，
∵
PA=AB=2
，故
PB=2
，
∴
S
△
PBC
==2
，
连接
AC
，则
AC=2
，∠
CAD=
∠
BAC=45°
，
=2
，∴
AC
2
+CD
2
=AD
2
，
∴
CD=
∴
CD
⊥
AC
，又
CD
⊥
PA
，
PA∩AC=A
，
∴
CD
⊥平面
PAC
，于是
CD
⊥
PC
，
又
PC==2
，∴
S
△
PCD
==2
．
故四棱锥的表面积为
S=4+2+6+2+2=12+2+2
．
故选：
B
．
作出直观图，根据三视图中的尺寸计算各个面的面积．
本题考查了棱锥的三视图与表面积计算，属于中档题．
7.
答案：
B

第7页，共16页

解析：解：
C
的周期
T==4π
，不满足条件． < br>当
x=
时，
A
，
y=2sin
（
2×+=2 sinπ=0≠±2
，
B
．
y=2sin
（
2×-
）
=2sin=2
，
D
．
y=2sin
（
2×-=2sin≠±2
，
故满足条件的是
B
，
故选：
B
．
根据函数的周期性和对称性分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性和周期性的定义和公式是解决本题的
关键．
8.
答案：
D

解析：解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第 二次剩下，…由此得出第
20
次剩
下，
可得①为
i≤20
？
②
s=
，
③
i=i+1
，
故选：
D
．
由图可知第一次剩 下，第二次剩下，…由此得出第
20
次剩下，结合程序框图即可
得出答案．
本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义
是解题的关键，属 于基础题．
9.
答案：
C

解析：解：由
sin
（
π+α
）
=-sinα=-
，得到
sinα=
，又α
是第二象限角，
所以
cosα=-
则
tan2α==
=-
，
tanα=-
，
=-
．
故选：
C
．
根据诱导公式由已知的等式求出
sinα
的值 ，然后由
α
是第二象限角得到
cosα
小于
0
，利
用同角三角函数间的基本关系即可求出
cosα
的值，进而求出
tanα
的值 ，把所求的式子
利用二倍角的正切函数公式化简后，把
tanα
的值代入即可求出值．
此题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用二倍
角的正切 函数公式化简求值，是一道基础题．
10.
答案：
B

解析：解：设
则
g
′（
x
）
=


第8页，共16页

∴
g
（
x
）在（
-1
，
0
）上为增函数，在（
0
，
+∞
）上为减 函数
∴
g
（
x
）＜
g
（
0
）< br>=0
∴
f
（
x
）
=
＜
0
得：
x
＞
0
或
-1
＜
x
＜
0< br>均有
f
（
x
）＜
0
排除
A
，
C
，
又
f
（
x
）
=
中，，能排除
D
．
故选：
B
．
考虑函数
f
（
x
）的分母的 函数值恒小于零，即可排除
A
，
C
，由
f
（
x）的定义域能排除
D
，这一性质可利用导数加以证明
本题主要考查了函数解析式 与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除
法解图象选择题，属基础题
11.
答案：
C

解析：解：抛物线
x
2
=4y
焦点为
F
（
0
，
1
），准线
方程 为
y=-1
，
可设过
F
的直线方程为
y=kx+1
，
代入抛物线方程可得
x
2
-4kx-4=0
，
即有
x
1
+x
2
=4k
，
x
1
x
2
=-4
，
|AB|=y
1
+y
2
+2
；
AB
的中点纵坐标为（
y
1
+y
2
）
=[
（
kx
1
+x
2
）
+2]=1+2k
2< br>，
AB
的中点到抛物线的准线的距离为
2k
2
+2
，
k=0
时，取得最小值
2
；
由
F
（
0
，
1
），
A
1
（
x
1
，
-1
），
B
1
（
x
2
，
-1
），
可得
k
即有
•
k=
•
，
==-1
，
综上可得①③④正确，②错误．
故选：
C
．
求得人品微信的焦点和准线方程，设过
F
的直线方程为
y=kx+1
，联立抛物线方程，运
用韦达定理，以及弦长公式，以及中点坐标公式，两直线垂直的条件：斜率之积为
-1
，
二次函数的最值求法，即可判断．
本题考查抛物线的定义和方程、性 质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，
以及直线的斜率公式的运用，考查化简运算能力， 属于中档题．
12.
答案：
D

解析：【分析】
本题 考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，
属于中档题． 根据题意可得函数
g
（
x
）
=xf
（
x
）
=e
x
-ax
2
在
x
∈（
0
，
+∞
）时是单调增函数，求导，分离
参数，构造函数，求出最值即可
.
【解答】
解：∵
x
∈（
0
，
+∞
），
∴
x
1
f
（
x
1
）＜
x
2
f
（
x
2
）．
即函数
g
（
x
）
=xf
（
x
）
=e
x
-ax
2
在
x
∈（
0
，
+∞
）时是单调增函数．
则
g
′（
x
）
=e
x
-2ax≥0
在x
∈（
0
，
+∞
）恒成立．
第9页，共16页

∴
2a≤
，
令
则
，
，
x
∈（
0
，
1
）时
m'
（
x
） ＜
0
，
m
（
x
）单调递减，
x
∈（1
，
+∞
）时
m'
（
x
）＞
0
，
m
（
x
）单调递增，
∴
2a≤m
（
x
）
min
=m
（
1
）
=e
，
∴．
故选：
D
．
13.
答案：
40

解析：【分析】
本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中档题
.
由二 项式定理及分类讨论思想得：（
2x-y
）
5
的展开式的通项为
T< br>r
+1
=
（
2x
）
5-
r
（
-y
）
r
，
则（
x+y
）（
2x-y
）
5
的展开式中
x
3
y
3
的系数为
-22
+
【解答】
解：由（
2x-y
）
5
的展开 式的通项为
T
r
+1
=
（
2x
）
5-r
（
-y
）
r
，
=40
，
=40
，得解
.
则（
x+y
）（
2x-y
）
5
的展开式中
x
3
y
3
的系数为
-2
2
+
故答案为
40.
14.
答案：
5

解析：解：∵
∵
S
△
ABC
=
a=2csinA< br>，∴
=ab=
sinA=2sinCsinA
，∴
sinC=
．
，∴
ab=6
．
∵△
ABC
是锐角三角形，∴
cosC=
，
由余弦定理得：
cosC====
，
解得
a+b=5
．
故答案为：
5
．
利用正弦定理将边化角求出
sinC
，根 据面积公式求出
ab
，代入余弦定理得出（
a+b
）的
值．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．
15.
答案：
7 2
n
-1

解析：解：设
h
（
n
）是把
n
个盘子从
1
柱移到
3
柱过程中移动盘子之最少次数
n=1
时，
h
（
1
）
=1
；
n =2
时，小盘
→2
柱，大盘
→3
柱，小柱从
2
柱< br>→3
柱，完成，即
h
（
2
）
=3=2
2-1
；
n=3
时，小盘
→3
柱，中盘
→2
柱 ，小柱从
3
柱
→2
柱，
[
用
h
（
2
）种方法把中、小两盘
移到
2
柱，大盘
3
柱；再用
h
（
2
）种方法把中、小两盘从
2
柱
3
柱，完成
]
，
第10页，共16页

h
（
3
）
=h
（
2
）
×h
（
2
）
+1 =3×2+1=7=2
3
-1
，
h
（
4
）
=h
（
3
）
×h
（
3
）
+1=7×2+ 1=15=2
4
-1
，
…
h
（
n-1
）
+1=2
n
-1
， 以此类 推，
h
（
n
）
=h
（
n-1
）
×
故答案为：
7
；
2
n
-1
．
根据移动方 法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减
1
的移动次数都移动 到
2
柱，然后把最大的盘子移动到
3
柱，再用同样的次数从
2
柱移
动到
3
柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计
数是解题的关 键．
16.
答案：


解析：解：由题意，四面体的外接球就是长 方体的外接球，其直径为长方体的对角线
OD==3
，
可得四面体的外接球的半径
R=
，
可得四面体的外接球的体积为
V=π
•（）
3
=
．
故答案为：．
由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线
OD
，求出半
径，即可求出四面体的外接球的体积
本题考查四面体的外接球的体积，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于基础题．
17 .
答案：解：（
1
）数列
{a
n
}
满足
a
n
+1
=
所以：
故：
，
（常数），
，
故：数列
{a
n
}
是以
a
1
-3=4-3 =1
为首项，为公比的等比数列．
则：
故：
（
2
）由于：
故：
，
（首项符合通项）．
，
，
=
，
=
．

解析：（
1
）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（
2
）利用（
1
）的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．
第11页，共16页

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分 组求和在数列求和中的应用，
主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
18.< br>答案：解：（
1
）
u
0
=65×0.05+75×0.08+ 85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05 +145×0.0
3≈103
．
（
2
）（
i
）设 本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为
x
1
，
则
P
（
x
＞
x
1
）
=1-φ
（
∴φ
（）
=0.6
，∴
）
=0.4
，
=0.7257
，解得
x
1
≈117
．
∴本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是
117
分．
（
ii
）由题意可知
Y
～
B
（
4
，），∴< br>P
（
Y=k
）
=
∴
Y
的分布列为：

Y

P

0


1

2

3

4

•（）
k
（
1-
）
4-
k
，
k=0
，
1
，< br>2
，
3
，
4
．







∴
E
（
Y
）
=4×=
．

解析：（
1
）根据加权平均数公式计算；
（
2
）（
i
）令
=0.7257
计算
x
1
的值；
（
ii
）根据二项分布的概率公式得出
Y
的分布列和数学期望．
本题考查了频率分布直方图，二项分布列与数学期望，属于中档题．
19.
答案：解 ：（
1
）证明：如图，取
PD
中点
E
，连接
EN< br>，
AE
．
∵
M
，
N
，
E
为中点，
∴
EN
∥
CD
∥
AM
，
EN==AM
，
∴
AMNE
是平行四边形，
∴
MN
∥
AE
，
∵
PA
⊥平面
ABCD
，
CD
平面
ABCD
，
∴
PA
⊥
CD
，
又∵
CD
⊥
A D
，
PAAD=A,PA
平面
PAD,AD
平面
PAD，
∴
CD
⊥平面
PAD
，又
AE
平面
PAD
，
∴
CD
⊥
AE
，
∵
PA=AD
，
E
为中点，
∴
AE
⊥< br>PD
，
PDCD=D,PD
平面
PCD,CD
平面
P CD,
∴
AE
⊥平面
PCD
，
∴
MN
⊥平面
PCD
；

（
2
）建立如图所示坐标系，
第12页，共16页

设
PA=AD=2
，
AB=2t
，
则A
（
0
，
0
，
0
），
B
（< br>2t
，
0
，
0
），
C
（
2t
，
2
，
0
），
D
（
0
，
2< br>，
0
），
P
（
0
，
0
，
2
），
M
（
t
，
0
，
0
），N
（
t
，
1
，
1
）．
∴，
， ∵直线
PB
与平面
PCD
所成角的正弦值为
且由（1
）知
MN
⊥面
PCD
，
∴，解得
t=2
．
∴
M
（
2
，
0
，
0
），
N
（
2
，
1
，
1
），
，
设
，
平面
NMD
，
由

，
，
，
得
取
∵
AP< br>⊥面
CMD
，
设二面角
N-MD-C
为
θ
，
θ
为锐角，
则
∴．
=
，
∴二面角
N-MD-C
的正弦值为．

解析：（
1
）取
PD
的中点
E
，则
AMNE
为平行四边形，然后去证
AE
⊥平面
PCD
，进而
得
MN
⊥平面
P CD
；
（
2
）以
A
为原点建立空间坐标系，利用直线PB
与平面
PCD
所成角，可确定各点的坐
标，进而通过公式求得二面角 的余弦值，正弦值．
此题考查了线面垂直，二面角的向量求法，难度适中．
20.
答案：解：（
1
）由动点
M
（
x
，
y
）满 足
可得动点
M
到点（
2
，
0
），（
-2< br>，
0
）的距离之和为常数，且
4
故点
M
的轨迹为椭圆 ，且
2c=4
，
2a=6
，
则
a=3
，
c=2
，
则
b
2
= a
2
-c
2
=9-8=1
，
故椭圆的方程为
+y
2
=1
．
（
3
）设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），
＜
6
，
，
第13页，共16页

联立方程组
则△
=
（
-36
∴
x
1
=
∵，
，消
y
可得（
9k
2
+1
）
x
2
-36k
2< br>x+9
（
8k
2
-1
）
=0
，
k
2
）
2
-36
（
8k
2
-1
）（
9k
2
+1
）
=36
（
k
2
+1
）＞
0
，
，
x
2
=

∴（2-x
1
，
-y
1
）
=λ
（
x
2
-2
∴
2-x
1
=λ
（
x
2
-2
），
∴
2
即
3
令
3
∴
t+ 2
∴
t=
∵
t=2
∴
t
∈（
6
∴
3
-
+2
=λ
（
=λ
（
3
，y
2
），
-2
-2
）
），
=t
，
=λ
（
t-2
=2
（
1+
），
（
1+
），
）在
λ
∈（
1
，
2
）上为减函数，
，
+∞
），
＞
6
，
∴
k
2
＞
7
，
∴
k
＞或
k
＜
-
，
故
k
的范围为（
-∞
，
-
）∪（，
+∞
）．
解析：（
1
）根据题意可得故点
M
的轨迹为椭圆，且
2c=4< br>程，
（
2
）设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2），求出
x
1
，
x
2
，根据
（
3-2
），令
3=t
，可得
t=2
（
1+
，
2a =6
，即可求出标准方
可得
3+2=λ
），根据函数的单调性即可求出
t
的范围，则可求出
k
的范围．
本题考查圆锥曲线的性质和综合应用，考查向量知识的运用，函数的单调性，属于中档
题． < br>21.
答案：解：（
1
）由题意可知函数
f
（
x）的定义域为（
0
，
+∞
），
当
x
∈（
0
，
1
）时：
f'
（
x
）＞
0
，所以
f
（
x
）单调递增；
当
x
∈（
1
，
+∞
）时：
f'
（
x
）＜
0
， 所以
f
（
x
）单调递减；
（
2
）由题意得：g'
（
x
）
=lnx+1-ax=0
有两个不同的零点，即为
x
1
＜
x
2
；
由（
1
）得
调递减；
，
有两个不同的根设
，当
x
∈（
0
，
1
）时
f
（
x
）单调递增；当
x
∈（
1
，
+∞
）时
f
（
x
）单
第14页，共16页

有
x
2使
，
f
（
1
）
=1
当
x
∈（
1
，
+∞
）时
f
（
x
）＞
0，所以
a
∈（
0
，
1
）时有
0
＜x
1
＜
1
＜
，且函数
g
（
x
）在（
0
，
x
1
），（
x
2
，
+ ∞
）单调递减，在（
x
1
，
x
2
）单调递增， < br>现只需比较
g
（
x
1
），
g
（
x< br>2
）的正负进而确定零点个数．
有
令
且
则
；且


所以函数
h< br>（
t
）在（
0
，
+∞
）上单调增，所以
0< br>＜
x
1
＜
1
时
g
（
x
1< br>）
=h
（
x
1
）＜
h
（
1
）
=0
，
x
2
＞
1
时
g
（x
2
）
=h
（
x
2
）＞
h
（
1
）
=0
又
x→0
时，
x→+∞
时g
（
x
）
→-∞
，
所以函数有三个零点．

解析：（
1
）先确定
f
（
x
）的定义域，通过求导 数解出其单调区间；
（
2
）利用函数
g
（
x
）有 极值，判断
a
的取值范围，进而确定极值点的大小关系，得到
g
（
x
）的单调区间，最后通过极值
g
（
x
1
），
g（
x
2
）的正负判断出零点的个数．
本题主要考查函数的单调性、极值、零点等概念，合理转化是解题的关键，属于较难题
目． < br>22.
答案：解：（
1
）曲线曲线
C
1
的方程为（< br>x-1
）
2
+y
2
=1
，
转换为极坐标方程为：
ρ=2cosθ
．
C
2
的方程为
x+y=3
，转换为极坐标方程为：
．
（
2
）
C
3
是一条过原点且斜率为正值的直线，
C
3
的极坐标方程为
θ=α
，
联立
C
1
与
C
3
的极坐标方程
得
ρ=2cosα
，
即
|OA|=2cosα
．
联立
C
1
与
C
2
的极坐标方程，

，
得
即
所以：
，

=


又
所以

第15页，共16页
，
．

< br>解析：（
1
）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．
（
2
）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
本题考查的 知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程
根和系数关系式的应用，主要 考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
23.
答案：证明：（
1
）因为
a
，
b
，
c
均为正实数
,
++=++

=++1+++1+++1
=++++++3≥9
，当
a=b=c
时等号成立；
（
2
）因为
a
，
b
，
c
均为正实数
,
++ =
（
+++++
）
≥×
（
2+2+2
），
又因为
abc=1
，所以
=c
，
=b
，
=a，
∴．
当
a=b=c
时等号成立，即原不等式成立．

解析：（
1
）根据
a+b+c=1
，利用基本不等式即可证明； < br>（
2
）根据
++=
（
+++++
），利用基本不等式 即可证明．
本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题．

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