广州美术学院分数线-暑假假期总结

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给 出的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集
UR,A {x|x0},B{x|x1}
，则集合
C
U
(AUB)
（
A．
{x|x0}
B．
{x|x1}
C．
{x|0x1}
D．
{x|0x1}

【答案】D
【解析】
A=(-∞，0],B=[1+∞)∴A∪B=(-∞，0 ]∪[1+∞).C
R
(A∪B)=(0，1).选D.

2.设复数z满足
(z2i)(2i)5
，则
z
（ ）
A．
23i
B．
23i
C．
32i
D．
32i

【答案】A
【解析】
(z-2i)(2-i)=5,∴z=
5（52+i）
2-i< br>+2i=
5
+2i=2+3i.选A.

3.已知
a2
1
3
，
blog
1
2
3
,cl og
1
1
，则（ ）
2
3
A．
abc
B．
acb
C．
cab
D．
cba

【答案】C
【解析】
a=2
-
1
3
∈(
1
2，1),b=log
1
),c=log
1
2
3
∈(-2 ，-1
1
3
∈(1,2).∴c>a>b.选C.

2

4.已知m，n表示两条不同直线，

表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若
m

,n

,
则
mn
B．若
m

，
n

，则
mn

C．若
m

，
mn
，则
n

D．若
m

，
mn
，则
n


【答案】B
）

【解析】
对A,平行同一平面的两直线，不一定平行.错
对B,直线垂直平面，则垂直平面上的直线.对.

C,D不用再看.选B.

rrrrrr
rrr
5.设
a,b,c
是非零向量，已知命题P：若
a•b0
，
b•c0
， 则
a•c0
；命题q：若
rr
rrrr
ab,bc
，则< br>ac
，则下列命题中真命题是（ ）
A．
pq
B．
pq
C．
(p)(q)
D．
p(q)

【答案】A
【解析】
命题p为假，命题q为真，所以A正确。选A


6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
【答案】D
【解析】
331< br>3个人和2个空进行排列,共有A
3
种...剩余一空，再插空排，共有A
3< br>•C
4
=24.选D.


7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
82

B．
8

C．
8

2
D．
8

4


【答案】B
【解析】

π*1
2
几何体为直棱柱，体积V=sh=(2*2-)2=8-π.选B.

2

8.设等差数列
{a
n
}
的公差为d，若数列
{2
a
1
a
n
}
为递减数列，则（ ）
A．
d0
B．
d0
C．
a
1
d0
D．
a
1
d0

【答案】C
【解析】
由同增异减知，a
1
a
n
递减,即a
1
a
n+1
1
a
n
.分情 况解得:a
1
>0且d<0;或a
1
<0且d>0.
∴a
1
d<0.选C.

9.将函数
y3sin(2x
A．在区间
[


3
)
的图象向右平移

2
个单位长度，所得图象对应的函数（ ）

7

,
1212

7

B ．在区间
[,]
上单调递增
1212
C．在区间
[
D．在区间
[
【答案】B
【解析】
]
上单调递减

,]
上单调递减
63
,]
上单调递增
63

πππππππ
把 y=3sin(2x+)=3sin2(x+)的周期T=π,一个增区间为[--,-]；右移后，
3 646462
πππππππ
7π
增区间为[--,+-]=[,].选B.
2462461212


10.已知点
A(2,3)
在抛物线C ：
y2px
的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点
B，记C的焦点为F， 则直线BF的斜率为（ ）
A．
2
1234
B． C． D．
2343
【答案】D
【解析】

4m
2
A(-2,3)在准线上,所以y=8x,求导得：2y•y
′
=8,即k=.设B(,m)，m>0,则k=k
AB
.
2
y8
∴< br>4
m
=
m-38(m-3)
m
2
=
m
2
+
，m
2
-6m-16=0,解得m=8
8
+2
16
∴F(2,0),k
m8m4
BF
=
m
2
=
2
=.选D.
8
-2
m-163

11.当
x[2,1]
时，不等式
ax
3
x
2
4x3 0
恒成立，则实数a的取值范围是（
A．
[5,3]
B．
[6,
9
8
]
C．
[6,2]
D．
[4,3]

【答案】C
【解析】
换元法.当x=0时，f(x)≥0成立.当x≠0时，令t=
1
x
f(x)=x
3
(a-
143
x
+
x
2
+
x
3
)≥0,∀x∈[-2,1]
∴a-t+4t
2< br>+3t
3
≥0,∀t∈[1,+∞),且a-t+4t
2
+3t
3
≤0,∀t∈(-∞,-
1
2
]

令g(t)=a-t +4t
2
+3t
3
,则g
′
(t)=-1+8t+9t2
=(t+1)(9t-1)
g
′
(t)在(-∞,-1)上递增，在 (-1,-
1
2
]上递减，在[1,+∞)递增
∴g(-1)≤0，且g(1 )≥0.解得a≤-1且a≥-6∴a∈[-6,-1].选C.


12.已知定义在
[0,1]
上的函数
f(x)
满足：
①
f(0)f(1)0
；
②对所有
x,y[0,1]
，且
xy
，有
|f(x)f(y)|
1
2
|xy |
.
若对所有
x,y[0,1]
，
|f(x)f(y)|k
，则k的最小值为（ ）
A．
11
2
B．
4
C．
1
2

D．
1
8

【答案】B
【解析】
）

1111
数形结合法.据题可知,y=f(x)的图像只 能在由4个顶点(0,0),(,),(1,0),(-,-)组成的
2424
平行四边形区域 内(不含边界).具体说，可以只在x轴上方，或只在x轴下方，
1
或在x轴上下方都有3种情 况.前2种情况容易判断|f(x)-f(y)|<.
4
对第3种情况，若有点P会存在P2
(x
2
,-y
1
)也在平行四边形内.
1
( x
1
,y
1
)在平行四边形内，则不
11
∴|f(x)-f (y)|<
,
即k
≥
.选B.
44

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.执行右侧的程序框图，若输入
x9
，则输出
y
.
29
答案】
9

【解析】
各步运算结果如下：(1 )x=9,y=5(2)x=5,y=
29
∴y=
9

111129
(2)x=,y=
339

14.正方形的四个顶点
A(1,1),B(1,1),C(1,1),D(1,1)
分别在抛物线
yx
和
yx
上，
如图所示，若将一个质 点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 .
22

2
【答案】
3

【解析】
C(1,1),所求概率p= 阴影部分的面积：正方形ABCD的面积=S
阴影
：4,
x
3
14•22
S
阴影
=（41-
∫
xdx)=（41-|
0
)=∴p=
0
333
1
2


x
2
y
2
1
，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为1 5.已知椭圆C：
94
A，B，线段MN的中点在C上，则
|AN||BN| .
【答案】12

【解析】
如图，焦点F
1
(-5，0),F
2
(5，0) ,用特值法.令M(0,0),Q是线段MN的中点,则A(-25,，0),B(25，0)
AN+B N=2F
1
Q+2F
2
Q=2•2a=12∴AN+BN=12


16.对于
c0
，当非零实数a，b满足
4a
2
2ab4b
2
c0
，且使
|2ab|
最大时，

的最小值为 .
【答案】-2
【解析】
3
a
45

bc
b
4a
2
-2ab+4b
2
-c=（2a-)
2
+(
2
3
2
b
∴ c•[1
2
+()]=（[2a-)
2
+(
2
15
⇒c•[1
2
+(
15b
2
)-c=0
2
15b< br>2
3
2
b15b3
2
)]•[1
2
+()] ≥（[2a-)•1+•]
222
1515
3
2
bb15b3

)]≥(2a+)
2
∴当（2a-):1=:,即2a=3b，c=10b
2
时，
222
1515
b8c34564511
|2a+|取最大 值.这时，-+=-+=(-4)≥-2.
2
25abc3bb10b2bb
345< br>所以，-+的最小值为-2
abc


三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17.（本小题满分12分）
uuuruuur
1
在
ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且
ac
，已知
BA•BC2
，
cosB
，
b3
，
3
求：

（1）a和c的值；
（2）
cos(BC)
的值.
23
【答案】 （1）
a=3,c=2
（2）
27

【解析】
（1）
1aca
2
+c
2
-b
2
cosB=,b=3,BA•BC=cacosB==2，且cosB=∴ac=6,a+c=5< br>
332ac
a>c∴解得a=3,c=2.所以，a=3,c=2

（2）
122a
2
+b
2
-c
2
742
cosB=∴sinB=a=3,b=3,c=2,cosC==,sinC=
332ab 99

2323
∴cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=.所以 ，cos(B-C)=
2727

18. （本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3 天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于
50个的概率；
（2 ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望
E(X)
及方差
D(X)
.
【答案】 （1） 0.108 （2） 1.8,0.72
【解析】

（1）
用Y表示日销售量，则a=p(Y≥1 00)=(0.006+0.004+0.002)•50=0.6,
b=p(Y<50)=0.003 •50=0.15.
A表示连续2日销量不低于100且一日销量低于50，则
p(A)=aa b+baa=2a
2
b=0.108.所以，所求事件概率为0.108

（2）

X可取0,1,2,3.由(1)知，日销量不低于100的概率a=0. 6,X~B(3,0.6).
0011
∴p(x=0)=C
3
a(1-a)< br>3
=0.064.p(x=1)=C
3
a(1-a)
2
=0. 288.p(x=2)=C
3
2
a
2
(1-a)
1
=0.432.
33
p(x=3)=C
3
a(1-a)
0
= =na=3*0.6=1.8,DX=na(1-a)=0.72.
X的分布列如下，数学期望EX和方 差DX分别为1.8和0.72.

X
P



0
0.064
1
0.288
2
0.432
3
0.216
19. （本小题满分12分）
如图，
ABC
和
BCD
所在平面互相垂直，且
ABBCBD2
，
ABCDBC120
0
，E、F分别为AC、DC的中点.
（1）求证：
EFBC
；
（2）求二面角
EBFC
的正弦值.

25
【答案】 （1） 省略（2）
5

【解析】

（1） < br>BC=BD,DF=FC,且∠CBD=120°∴ΔBCF为RT三角形,BF⊥FC
同理 BC=BA,AE=EC,且∠ABC=120°∴ΔBCE为RT三角形,BE⊥EC
1
∴Δ BCF与ΔBCE全等，设H在BC上，且FH⊥BC,则EH⊥BC,BH=

2
 FH⊥BC,EH⊥BC,FH∩EH=H∴BC⊥面EFH∴BC⊥EF
所以，EF⊥BC
（ 2）
由（1）知,EH⊥HC⊥HF∴分别以HC,HF,EH为x,y,z轴建立坐标系.BE=B F=2
显然，面BCF的一个法向量n
1
=(0,0,1)
3311313< br>),F(0,,0),B(-,0,0),BE=(,0,),BF=(,,0)
2222222
1313
面BEF的法向量n
2
=(x,y,z)满足：n
2
BE=n
2
BF=0，即x+0+z=x+y+0=0
2222
E(0,0 ,
解出一个法向量n
2
=(-3,1,1)
∴cos1
,n
2
>=
n
1
n
2
|n
1
|| n
2
|
=
0+0+1525
=，sin1
,n
2
>=
5
0+0+13+1+1
5
25
5
所以，二面角E
-
BF
-CD
的正弦值
sinθ
=

20. （本小题满分12分）
圆
xy4
的切线与x轴正半轴，y轴正 半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切
22
x
2
y
2点为P（如图），双曲线
C
1
:
2

2
1< br>过点P且离心率为
3
.
ab
（1）求
C
1
的方程；
（2）椭圆
C
2
过点P且与
C
1
有相同的焦点，直线
l
过
C< br>2
的右焦点且与
C
2
交于A，B两点，若
以线段AB为直径的 圆心过点P，求
l
的方程
y
2
36-22-6
x-=1< br>x=y+3,或x=y+3
2
22
【答案】 （1） （2）
2
【解析】
（1）

设圆半径r,P点上下两段 线段长分别为m,n,r
2
=4,由射影定理得r
2
=mn,三角形面积11
4
11
4
m
2
+4n
2
+4=r +4(m
2
+n
2
)+16≥r
4
+8m
2
n
2
+16=r+8r
2
+16,
2222
仅当m=n= 2时，s取最大值，这时P(2,2).
s=
cx
2
y
2
2 22
=3,c=b+a,把点P(2,2)代入双曲线方程
2
-
2
=1中∴c
2
=3，b
2
=2，a
2
=1
aab< br>y
2
2
所以，双曲线方程为x-=1
2

（2）
.

x
2
y
2
椭圆过P(2,2 )，焦点为(-3,0),(3,0)∴设椭圆方程
2
+
2
=1，a
2
=b
2
+c
2
，c
2
=3
ab
x
2
y
2
把点P(2,2)代入椭圆方程
2
+
2< br>=1中，解得b
2
=3，a
2
=6.
ab
x
2
y
2
所以，椭圆方程为+=1
63
由题知，直线l过右焦点为(3 ,0)，且PA⊥PB∴PA•PB=0.
设直线方程x=my+3,A(x
1
,y< br>1
),B(x
2
,y
2
).
0=PA•PB=(x
1
-2,y
1
-2)(x
2
-2,y
2
- 2)=(x
1
-2)(x
2
-2)+(y
1
-2)(y2
-2)
=(my
1
+3-2)(my
2
+3-2)+ (y
1
-2)(y
2
-2)
=m
2
y
1< br>y
2
+(3-2)m(y
1
+y
2
)+(3-2)< br>2
+y
1
y
2
-2(y
1
+y
2< br>)+2
=(1+m
2
)y
1
y
2
+[(3- 2)m-2](y
1
+y
2
)+7-26=0
x
2
y
2
与椭圆方程+=1联立得：
63
-23m-3
,yy=
2+m
2
12
2+m
2
(1+m
2
)y
1
y
2
+[(3-2)m-2](y
1
+y
2
)+ 7-26=0
(2+m
2
)y
2
+23my-3=0,由韦达定理得 y
1
+y
2
=
∴-3(1+m
2
)-23m[(3 -2)m-2]+(7-26)(2+m
2
)=0
⇒-3-3m
2
+ 23(2-3)m
2
+26m+(7-26)2+(7-26)m
2
=0⇒(-3+26-6+7-26)m
2
+26m-3+14-46=0
⇒-2m< br>2
+26m+11-46=0⇒2m
2
-26m+46-11=0
26 ±24-8(46-11)6±6-2(46-11)
6±27-266±2(6-1)
===
4222
36-22-6
∴m
1
=,m
2
=
22
36-22-6
所以，所求直线方程为x=y+3,或x=y+3
22
∴m=

21. （本小题满分12分）
已知 函数
f(x)(cosxx)(

2x)(sinx1)
，
8
3
g(x)3(xx)cosx4(1sinx)ln(3
证明：（1 ）存在唯一
x
0
(0,
（2）存在唯一
x
1
(
2x

)
.

2
)
，使
f(x
0
)0
；

2
,

)
，使
g(x
1
)0
，且对（1）中的
x
0
x
1


.
【答案】 （1） 0.108 （2）
1.8,0.72

【解析】
（1）

88
ππ
8
f(x)=(co sx-x)(π+2x)-(sinx+1)∴f(0)=π->0,f()=(-)(2π)-(2)<0，< br>33223
π
∴f(x)在(0，)上有零点
2
π
在(0， )上，y=π+2x>0单调递增↑，y=-cosx+x>0单调递增↑
2

8∴y=-(-cosx+x)(π+2x)单调递减↓，且y=-(sinx+1)单调递减↓
3< br>8
∴y=f(x)=(cosx-x)(π+2x)-(sinx+1)单调递减↓
3< br>π
所以，f(x)在(0，)上仅有一个零点
2

（2）

请考生在第22、23、24三题中任选一 题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用
2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方 框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，EP交圆于E、 C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且
PGPD
，连接DG并延长交圆
于点A， 作弦AB垂直EP，垂足为F.
（1）求证：AB为圆的直径；
（2）若AC=BD，求证：AB=ED.

【答案】
【解析】
（1）

延长PD到D
′
.PD=PG∴∠AD P=∠PGD=∠FGAPD为切线∴∠D
′
DB=∠FAG

∠
D
′
DB+
∠BDA
+
∠ADP
=
π∴∠
F
AG
+
∠BDA
+
∠
FGA=
π
ππ< br>∴∠BDA+=π∴∠BDA=,所以AB为直径
22

(2)
B D=AC∴∠BAD=∠FAG=∠AEC
ππ
在三角形ACE中，AF⊥EG∴∠EAG=⇒ ∠EAD=∴ED为直径

22
所以,ED=AB

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆
xy1
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线
l:2xy20
与C的交点 为
P
1
,P
2
，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标
建 立极坐标系，求过线段
PP
12
的中点且与
l
垂直的直线的极坐标方 程.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
f(x)2 |x1|x1
，
g(x)16x8x1
，记
f(x)1
的解集为M，
g(x)4
的
解集为N.
（1）求M；
（2） 当
xMIN
时，证明：
x
2
f(x)x[f(x)]
2













2
22
1
.
4