三、解答题

16
．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物 满
400
元的顾客，将获得一次摸奖
机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的
1
个红球，
1
个黄球，
1
个白球和
1
个黑 球．顾客不放回的每次摸出
1
个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规
定摸 到红球奖励
20
元，摸到白球或黄球奖励
10
元，摸到黑球不奖励．

（
1
）求
1
名顾客摸球
2
次停止摸奖的概率：
（
2
）记
X
为
1
名顾客
5
次摸奖获得的奖金数额，求随机变量
X
的分布列和数学期望．

17
．已知数列
{
a
n
}
是递增的等比数列，且
a
1< br>+
a
4
＝
9
，
a
2
a
3< br>＝
8
．

（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；

（
2
）设
S
n为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
bn
＝，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和< br>T
n
．

18
．如图所示，
AB
为圆
O
的直径，点
E
、
F
在圆
O
上，
AB< br>∥
EF
，矩形
ABCD
所在平面和
圆
O
所在 的平面互相垂直．已知
AB
＝
2
，
EF
＝
1

（
1
）求证：平面
DAF
⊥平面
CBF
；

（
2
）求直线
AB
与平面
CBF
所成角的大小；< br>
（
3
）当
AD
的长为何值时，二面角
D
﹣
FE
﹣
B
的大小为
60
°？


19
．在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的离心率为，直线
y
＝< br>x
被椭圆
C
截得的线段长为
（
1
）求椭圆
C
的方程；

．

（
2
）过原点的直线与椭圆
C
交于
A
、
B
两点（
A
，
B
不 是椭圆
C
的顶点），点
D
在椭圆
C
上，且
AD⊥
AB
，直线
BD
与
x
轴
y
轴分别交 于
M
，
N
两点．

①设直线
BD
，
AM
斜率分别为
k
1
，
k
2
，证明存在常数λ使 得
k
1
＝λ
k
2
，并求出λ的值；

②求△
OMN
面积的最大值．

20
．已知 函数
f
（
x
）＝﹣
x
+
alnx
．

（
1
）讨论
f
（
x
）的单调性；
< br>（
2
）若
f
（
x
）存在两个极值点
x
1
，
x
2
，证明：＜
a
﹣
2
．

参考答案

一、选择题（
45
分）

1
．已知
A
＝< br>{
x
|
y
＝
A
．（
0
，
1
）

}
，
B
＝
{
x
|{4
x
＜
2
x
+1
}
，则
A
∩
B< br>＝（ ）

B
．（
0
，
1]

C
．
R
D
．∅

【分析】可以求出集合
A
，
B
，然后进行交集的运算即可．

解：
A
＝
{
x
|
x
≥
1}
，
B
＝
{
x
|2
x
＜
x
+1}
＝
{
x
|
x
＜
1}
，

∴
A
∩
B
＝∅．

故选：
D
．

2
．设α，β是两个不同的平面，
m
是直线且
m
⊂α，“
m
∥β“是“α∥β”的（ ）

A
．充分而不必要条件

C
．充分必要条件

B
．必要而不充分条件

D
．既不充分也不必要条件
< br>【分析】
m
∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平
行于β，而α∥β，并且
m
⊂α，显然能得到
m
∥β，这样即可找出 正确选项．

解：
m
⊂α，
m
∥β得不到α∥β，因为α， β可能相交，只要
m
和α，β的交线平行即可
得到
m
∥β；

α∥β，
m
⊂α，∴
m
和β没有公共点，∴
m
∥β ，即α∥β能得到
m
∥β；

∴“
m
∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．

故选：
B
．

3
．已知奇函数
f
（
x
）在
R
上是增函数．若
a
＝﹣
f
（
则
a
，
b
，
c
的大小关系为（ ）

A
．
a
＜
b
＜
c
B
．
b
＜
a
＜
c
C
．
c
＜
b
＜
a
D
．
c
＜
a
＜
b
），
b
＝
f
（
log
2
4.1
），
c
＝
f
（
2
0.8
），

【分析】根据奇函数
f（
x
）在
R
上是增函数，化简
a
、
b
、
c
，即可得出
a
，
b
，
c
的大小．解：奇函数
f
（
x
）在
R
上是增函数，
∴
a
＝﹣
f
（
b
＝
f
（
lo g
2
4.1
），

c
＝
f
（
2
0.8
），

又1
＜
2
0.8
＜
2
＜
log
2
4.1
＜
log
2
5
，

）＝
f
（
log
2
5
），

∴
f
（
2
0.8
）＜
f
（
lo g
2
4.1
）＜
f
（
log
2
5
），

即
c
＜
b
＜
a
．

故选：
C
．

4
．要得到函数
y
＝
cos
（
4
x
+
A
．向左平移
B
．向右 平移
C
．向左平移
D
．向右平移
）的图象，只需将函数
y< br>＝
cos
（
4
x
+
）的图象（ ）

个单位长度

个单位长度

个单位长度

个单位长度

【分析】由题意利用函数
y
＝
A
si n
（ω
x
+
φ）的图象变换规律，得出结论．

解：将函数
y
＝
cos
（
4
x
+
的图象，

故选：
C
．

5
．已知函数，对任意的
x
1
，
x
2
∈
R
（
x
1
≠
x
2
），总有
）的图象向左平移个单位长度，可得函数
y
＝
cos
（
4
x
+
）
成立，则实数
a
的取值 范围是（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

【分析】由题意，函数
不等式组，解出即可．

解：∵对任意的
x< br>1
，
x
2
∈
R
（
x
1
≠< br>x
2
），总有
，在定义域
R
上是增函数，列出
成立，

∴函数在定义域
R
上是增函数，

∴，

解得，
0
＜
a
≤，

故选：
A
．

6
．函数
f
（
x< br>）＝
cos
（ω
x
+
φ）的部分图象如图所示，则
f
（
x
）的单调递减区间为（ ）


A
．（k
π﹣，
k
π
C
．（
2
k
﹣，
2
k
），
k
∈
Z

），
k
∈
Z

B
．（
2
k
π﹣，
2
k
π
D
．（
k
﹣，
k
），
k
∈
Z

），
k
∈
Z
< br>【分析】由图象可得函数正确，进一步求出离
y
轴最近的两对称轴的横坐标，数形结合< br>可得
f
（
x
）的单调递减区间．

解：由图可知，，则
T
＝
2
，

，
y
轴右侧第一个最底点的横坐标为．

），
k
∈
Z
．

∴
y
轴左侧第一 个最高点的横坐标为
∴
f
（
x
）的单调递减区间为（
2k
﹣，
2
k
故选：
C
．

7
．△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别 为
a
，
b
，
c
，已知
sin
B
+ sin
A
（
sin
C
﹣
cos
C
）＝0
，
a
＝
2
，
c
＝
A
．
，则
C
＝（ ）

B
．

C
．

D
．

【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

解：
si n
B
＝
sin
（
A
+
C
）＝
si n
A
cos
C
+cos
A
sin
C
，
∵
sin
B
+sin
A
（
sin
C
﹣
cos
C
）＝
0
，

∴
sin
A
cos
C
+cos
A
sin
C
+sin
A
sin
C
﹣
sin
A
cos
C
＝
0
，

∴
cos
A
sin
C
+ sin
A
sin
C
＝
0
，

∵
sin
C
≠
0
，

∴
cos
A
＝﹣
sin
A
，

∴
tan
A
＝﹣
1
，

∵＜
A
＜π，

，

＝
，

，

＝＝，

，

∴
A
＝
由正弦定理可得
∴
sin
C
＝
∵
a
＝
2
，
c
＝
∴
sin
C
＝
∵
a
＞
c
，

∴
C
＝，

故选：
B
．

8．设椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
，
P
是
C
上的点
PF
2
⊥
F
1
F< br>2
，∠
PF
1
F
2
＝
30
°，则< br>C
的离心率为（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

【 分析】设
|
PF
2
|
＝
x
，在直角三角形
PF
1
F
2
中，依题意可求得
|
PF
1
|
与
|
F
1
F
2
|
，利用椭圆离
心 率的性质即可求得答案．

解：
|
PF
2
|
＝x
，∵
PF
2
⊥
F
1
F
2
， ∠
PF
1
F
2
＝
30
°，

∴< br>|
PF
1
|
＝
2
x
，
|
F
1
F
2
|
＝
x
，

又
|
PF
1
|+|
PF
2
|
＝
2
a< br>，
|
F
1
F
2
|
＝
2
c
∴
2
a
＝
3
x
，
2
c
＝
x
，

＝．

∴
C
的离心率为：
e
＝
故选：
D
．

9
．已知函数，若存在，使得< br>f
（
x
）
+
xf
'
（
x
） ＞
0
，
则实数
b
的取值范围是（ ）

A
．

B
．

C
．（﹣∞，
3
）

D
．

【分 析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数
b
的取值
范围 ．

解：∵
f
（
x
）＝，
x
＞
0
，

∴
f
′（
x
）＝，

∴
f
（
x
）
+
xf
′（
x
）＝
+
＝，

∵存在
x
∈
[
，
2]
，使得
f
（
x
）
+
xf
′（
x
）＞
0
，

∴
1+2
x
（
x< br>﹣
b
）＞
0

∴
b
＜
x
+
，

，

设
g
（
x
）＝
x
+
∴
b
＜
g
（
x
）
max
，

∴
g
′（
x
）＝
1
﹣＝，

当< br>g
′（
x
）＝
0
时，解得：
x
＝
当
g
′（
x
）＞
0
时，即
，

＜
x
≤
2
时，函数单调递增，

当
g′（
x
）＜
0
时，即≤
x
＜
2
时，函 数单调递减，

∴当
x
＝
2
时，函数
g
（
x
）取最大值，最大值为
g
（
2
）＝
2+
＝，

∴
b
＜，

故选：
B
．

二、填空题（
30
分）

10
．复数（
i
为虚数单位）的共轭复数是
1
﹣
i
．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

解：∵
∴
＝
．

，

故答案为：
1
﹣
i
．

11
．（
x
2
﹣）
8
的展开式中
x
7
的系数为 ﹣
56
（用数字作答）

【分析】利用通项公式即可得出．

解：
T
r
+1
＝
令
16
﹣3
r
＝
7
，解得
r
＝
3
．

＝
x
16
﹣
3
r
，

∴（
x
2
﹣）
8
的展开式中
x
7
的系数为
故 答案为：﹣
56
．

＝﹣
56
．

12< br>．已知
x
＞
0
，
y
＞
0
，且
2
x
+8
y
﹣
xy
＝
0
，则
x y
的最小值为
64
．

【分析】利用基本不等式构建不等式即可得出

解：∵
x
＞
0
，
y
＞
0
，
2
x
+8
y
﹣
xy
＝
0
，

∴
xy
＝
2< br>x
+8
y
≥
2
∴
＝
8
，

≥
8
，∴
xy
≥
64
．当且仅当
x
＝
4
y
＝
16
时取等号．

故
xy
的最小值为
64
．

故答案为：
64

13
．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文 ，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内
切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了 阿基米德最引以为自豪
的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．


【分析】设球的半径为
R
，则圆柱的底面半径为
R< br>，高为
2
R
，由此能求出结果．

解：设球的半径为
R
，

则圆柱的底面半径为
R
，高为
2
R
，

∴
V
圆柱
＝π
R
2
×
2
R
＝
2
π
R
3
，
V
球
＝π
R
3．

∴＝，

S
圆柱
＝
2
π
R
×
2R+2
×π
R
2
＝
6
π
R
2
，
S
球
＝
4
π
R
2
．

∴．

故答案为：．

14
．在
ABC
中，∠
BAC
＝
120
°，
AB
＝
2
，
AC
＝
1
，
D
是边
BC上一点，
DC
＝
2
BD
，则
＝ ．

，，将两向量与
•
【分析】选定基向量
即可求出•
用基向量表示出来，再进 行数量积运算，
的值．

，
＝
﹣
﹣
，由图及题意得

+
）•（


＝
+
+
，

）

解：选定基向量
＝
则
＝
＝
＝﹣．

故答案为：．

•
+
﹣，
＝（

15．已知函数
f
（
x
）＝
数
a
的取值范围为 （
1
，
2
） ．

，若函数
y
＝
f
（
x
）﹣
a
|
x
|
恰有
4个零点，则实
【分析】由
y
＝
f
（
x
）﹣a
|
x
|
＝
0
得
f
（
x）＝
a
|
x
|
，利用数形结合即可得到结论．

解：由
y
＝
f
（
x
）﹣
a
|
x
|
＝
0
得
f
（
x
）＝
a
|
x
|
，

作出函数
y
＝
f
（< br>x
），
y
＝
a
|
x
|
的图象，
当
a
≤
0
，不满足条件，

∴
a
＞
0
，

当
a
≥
2
时，此时
y
＝
a
|
x
|
与
f（
x
）有三个

交点，

当
a
＝
1
时，

当
x
＜
0
时，
f
（
x
）＝﹣
x
2
﹣
5< br>x
﹣
4
，

由
f
（
x
）＝ ﹣
x
2
﹣
5
x
﹣
4
＝﹣
x 得
x
2
+4
x
+4
＝
0
，

则判别式△＝
16
﹣
4
×
4
＝
0
，

即此时直线
y
＝﹣
x
与
f（
x
）相切，

此时
y
＝
a
|
x
|
与
f
（
x
）有五个交点，

∴要使 函数
y
＝
f
（
x
）﹣
a
|
x|
恰有
4
个零点，

则
1
＜
a
＜
2
，

故答案为：（
1
，
2
）


三、解答题（
75
分）

16
．某超市在节日期间进行有奖 促销，凡在该超市购物满
400
元的顾客，将获得一次摸奖
机会，规则如下：奖盒中放 有除颜色外完全相同的
1
个红球，
1
个黄球，
1
个白球和< br>1
个黑球．顾客不放回的每次摸出
1
个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续 摸球．规
定摸到红球奖励
20
元，摸到白球或黄球奖励
10
元，摸到 黑球不奖励．

（
1
）求
1
名顾客摸球
2
次停止摸奖的概率：

（
2
）记
X
为
1
名 顾客
5
次摸奖获得的奖金数额，求随机变量
X
的分布列和数学期望．

【分析】（
1
）由题意可得第二次摸到黑球，第一次为其他球，求出概率；

（
2
）先求出摸一次的奖金数额，再求
5
次的金额，求出相应的概率 ，进而求出发布列，
及期望．

解：（
1
）由题意可得第一次是红黄白中的一个，概率为，

不放回的第二次为黑球，是从剩余的
3
个球中摸出黑色的球，概率为，

所以
1
名顾客摸球
2
次停止摸奖的概率为＝；

（
2
）顾客摸一次的奖金金额设为
Y
，可能取值
0
，
10
，
20
，
30
，
40
，