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2019-2020学年下学期高三4月月考仿真卷





理科数学




注意事项：




1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形


号
码粘贴在答题卡上的指定位置。
位

封
座< br>2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂




黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。




3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草

密



稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。




4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

号
不
场
考
第Ⅰ卷





一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只




有一项是符合题目要求的．
订



2

1
．已知集合
A

xlog2
x1

，
B


xxx60
，则

ð
R
A

IB
等于（

）





A
．

x2x1

B
．


x2x2

C
．

x2x3

D
．

xx2



装

号< br>证
2
．已知双曲线
C:
x
2
3
考
a
2
y
2
1(a0)
的渐近线方程为
y
3
x
，则该双曲线的焦距为（

）

准


只
A
．

2
B
．
2 C
．
22
D
．
4



< br>3
．某工厂利用随机数表对生产的
600
个零件进行抽样测试，先将
6 00
个零件进行编号，编号分别为




001
，
002
，
…
，
599
，
600
，从中抽 取
60
个样本，下面提供随机数表的第
4
行到第
6
行：


卷







名
姓
若从表中第
6
行第
6
列开始向右依 次读取
3
个数据，则得到的第
5
个样本编号是（

）


此


A
．
522 B
．
324 C
．
535 D
．
578





4
．在等差数列
{a
n
}
中，
a
3
a
5
2a
10
4
，则此数列的前
13
项的和等于（

）





A

．
16 B
．
26 C
．
8 D
．
13
级
班
5
．我国古代有 着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、

《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这
5
部专著中有
3
部产生于

汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这
5
部专著中选择< br>2
部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选
2
部专著中至少有一部不是汉、魏 、晋、南北朝时期专著的概率为（

）

A
．
3
5
B
．
7
10
C
．
4
5
D
．
9
10

6．函 数
f

x

sin


x






0,


π

2


的部分图象如图所示，则函数
f

x< br>
的解析式为（ ）

A
．
f

x

sin


2x


4


B
．
f

x

sin
< br>

2x
π


4



C
．
f

x

sin

4x
π



D
．
f

x

sin


4x
π

4

4



7
．已知
(1x)
5a)a
2
)
5
0
a
1
(1x
2
(1x)La
5
(1x
，则
a
3
（

）

A
．
40
B
．
40
C
．
10
D
．
10

8
．已知：
x0
，
y0
，且
2
x

1
y
1
，若
x2 ym
2
2m
恒成立，则实数
m
的取值范围是（

）

A
．

4,2

B
．

,4

U

2,


C
．

2,4

D
．

 ,2



4,


9
．
△ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
M
在边
AB
上，且
AM
1
3
AB
，
b2
，
CM 
27
2sinAsin
3
，
B
sin2B
< br>c
b
，则
S
△ABC

（

）

A
．
33
83
4
B
．
3
C
．
23
D
．
3
< br>F
x
2
．设
F
y
2
10
1
，
2
分别是椭圆
C:
a
2

b
2
1(ab0)
的左、右焦点，直线
l
过
F
1
交椭圆< br>C
于
A
，
B
两点，交
y
轴于
C点，若满足
u
FC
uur
1

3
u
2
AF
uur
1
且
CF
1
F
2
 30
，则椭圆的离心率为（

）

A
．
3
1
3
B
．
3
6
C
．
3
D
．
1
6

11．在三棱锥DABC
中，
ABBCCDDA1
，且
ABBC
，
CDDA
，
M
，
N
分别

是棱
BC
，
CD
的中点，下面四个结论：
①
ACBD
；

②
MN∥
平面
ABD
；

③三棱锥
ACMN
的体积的最大值为
2
12
；

④
AD
与
BC
一定不垂直．

其中所有正确命题的序号是（

）

A
．①②③
B
．②③④
C
．①④
D
．①②④

12
．已知定义在
R
上的奇函数，满足
f(2x)f(x)0
，当
x

0,1

时，< br>f(x)log
2
x
，

若函数
F
< br>x

f(x)sin

πx

，在区间

1,m

上有
10
个零点，则
m
的取值范围是 （

）

A
．

3.5,4

B
．

3.5,4

C
．

5,5.5

D
．

5,5.5



第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13
．已知平面向量
a
，
b
满足
ab0
，
a2
，
b 3
，则
ab
______
．

14
．已知函数
f

x

xlnx2x

xa
< br>2
（
aR
）．若存在
x

1,3
，使得
f

x

xf


x

成立，
则实数
a
的取值范围是
______
．

15
．函数
f

x

sin

x


0

的部分图象如图所示，点
A
，
B
是最高点，点
C
是最低点，若
△ABC
是直角三角形，则
f


1


2



__________
．


16．如图，多面体
OABCD，
OA
，
OB
，
OC
两两垂直，
ABCD 2
，
ADBC23
，
ACBD10
，则经过
A，
B
，
C
，
D
的外接球的表面积是_________ ．



三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 ．（12分）已知数列

a
n

满足：
a
1
1
，
n

a
n1
2a
n

2a
*
n
，
nN
．
（
1
）证明： 数列


a
n


n


是等比数列；

（2）设
b
3n5
n

na
n
，
nN
*
，求数列

b
n
的前
n
项和
S
n
．


















18
．（
12
分）如 图
1
，在梯形
ABCD
中，
AD∥BC
，
ABB C
1
2
AD
，
E
为
AD
中点，
O
是
AC

与
BE
的交点，将
△A BE
沿
BE
翻折到图
2
中
△A
1
BE的位置得到四棱锥
A
1
BCDE
．

（
1
）求证：
CDA
1
C
；

（2）若
A
2
1
C
2
AB
，
BE3A B
，求二面角
BA
1
ED
的余弦值．
















19
．（
12
分）已知椭圆C:
x
2
y
2
a
2

b
2< br>1

ab0

的离心率为
3
2
，椭圆
C
与
y
轴交于
A,B
两点，
且
AB2< br>．

（
1
）求椭圆
C
的方程；

（
2
）设点
P
是椭圆
C
上的一个动点，且直线
PA, PB
与直线
x4
分别交于
M,N
两点．是否存在
点
P
使得以
MN
为直径的圆经过点
D

2,0
< br>？若存在，求出点
P
的横坐标；若不存在，说明理由．





















20
．（
12
分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大 农
村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了制定提升农民年收入、实现
2020
年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019
年
50
位农
民的年收入并制成如下频率分布直方图：


（
1
）根据频率分布直方图，估计
50
位农民的年平均收 入
x
元（单位：千元）（同一组数据用该组数
据区间的中点值表示）；
（
2
）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入
X
服从正态分 布
N


,

2

，其中
近似
为年平均收入
x
，

2
近似为样本方差
s
2
，经计算得
s
2
6.92
，利用该正态分布，求：

①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的
84< br>．
14%
的农民的年收入高于扶贫办制定的
最低年收入标准，则最低年收入大约 为多少千元？

②为了调研
“
精准扶贫，不落一人
”
的政策 要求落实情况，扶贫办随机走访了
1000
位农民．若每位农
民的年收入互相独立，问 ：这
1000
位农民中的年收入不少于
12
．
14
千元的人 数最有可能是多少？

附参考数据：
6.922.63
，若随机变量
X
服从正态分布
N


,

2

，则
P




X




0.6827
，
P


2

X

2


0.9545
，
P


3

X

3


 0.9974
．



























2 1
．（
12
分）已知函数
f

x

xl nx2ax
2
x
，
aR
．

（
1< br>）若
f

x

在

0,
内单调递减，求实数
a
的取值范围；

（
2
）若函数< br>f

x

有两个极值点分别为
x
1
1
，
x
2
，证明：
x
1
x
2

2a
．





















请考生在
22
、
23
两题中任选一 题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22
．（
10
分）【 选修
4-4
：坐标系与参数方程】

已知曲线
C


x2cos

1
的参数方程为

y3sin

(

为参数
)
，以原点
O
为极点，以
x
轴的非负半轴为极轴


建立极坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程为

sin(


π
4
)1
．

（
1
）求曲线
C
1
的极坐标方程和曲线C
2
的直角坐标方程；

ππ
（2
）射线
OM:



(

π)
与曲线
C
1
交于点
M
，射线
ON:



与曲线
C
2
交于点
24


N
，求



















1
OM
2

1
ON
2
的取值范围．

23
．（
10
分）【选修
4-5
：不等式选讲】

已知定义在
R
上的函数
f(x)|x|
．

（< br>1
）求
f(x1)f(2x4)
的最小值
M
；

（
2
）若
a
，
b0
且
a2bM，求



11

的最小值．

a
2
4b
2

2019-2020学年下学期高三4月月考仿真卷
理科数学答案
第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一 项是符合题目要求的．
1
．【答案】
B
【解析】由
A

xlog
2
x1



xx2
< br>，则
ð
R
A

xx2

，
< br>又
B

xx
2
x60



x2x3

，所以

ð
R
A
< br>IB

x2x2

，

故选
B
．

2
．【答案】
D
双曲线C:
x
2
【解析】
2
3
a
2
y1 (a0)
的渐近线方程为
y
3
x
，

可得< br>a3
，
b1
，则
c132
，
C
的焦距为
4
．
故选
D
．

3
．【答案】
A
【解析】第
6
行第
6
列 开始的数为
808
（不合），
436
，
789
（不合），< br>535
，
577
，
348
，
994
（不合） ，
837
（不合），
522
，

则满足条件的
5< br>个样本编号为
436
，
535
，
577
，
3 48
，
522
，则第
5
个编号为
522
．

故选
A
．

4
．【答案】
D
【解析】∵
a
3
a
5
2a
10
4
，∴
2a
4
2a
10
4
，∴
a
4
a10
2
，

∴
S
13(a
1
a< br>13
)13(a
4

13

2

a
10
)
2
13
，故选
D
．

5
．【答案】
B
【解析】由题意，
5
部专著中有
3
部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．

现拟从这
5
部专著中选择< br>2
部作为学生课外兴趣拓展参考书目，

基本事件总数
nC
2
5
10
，

所选
2
部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数
mC< br>2
C
11
2

2
C
3
7
，


则所选
2
部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专 著的概率为
p
m
n

7
10
，

故选
B
．

6．【答案】A
【解析】根据图像：
T3ππ
4

8

8

π
4
，故
Tπ
，故
2π


π
，

2
．

f

x

sin

2x


，
f


π

ππ

8


sin


π

4< br>




1
，故
4



2
2kπ,kZ
，

故


π
4
2kπ,kZ
．

当
k0
时，


π
4
，满足条件，故
f

x

sin



2x


4


，

故选
A
．

7
．【答案】
A
【解析】∵
(1x)
5
[2(1x)]
5
，通项
T
r 1r5r
5
C
5
2[(1x)]
r
，
a
2
3
C
3
5
240
，故选
A< br>．

8
．【答案】
A
【解析】由题，因为
2
x

1
y
1
，
x0
，
y0
，

所以

x2y



2

x

1

y


2
xy

4y
x
242
x
y

4y
x
448
，

当且仅当
x
y
4y
x
，即
x4
，
y2
时等号成立，
< br>因为
x2ym
2
2m
恒成立，则
m
2
2m8
，即
m
2
2m80
，解得
4m2< br>，
故选
A
．

9
．【答案】
B
【 解析】
△ABC
中，
2sinAsinB
sin2B

c
b
，∴
2sinAsinBsinC
sin2B

sin B
，

∴
2sinCcosB2sinAsinB
，

∴
2sinCcosB2

sinBcosCcosBsinC

sinB
，∴
cosC
1
2
，

又
C

0,π

，∴
C60
，

又
u
AM
uuur

1
uuur
3
AB
，

∴
u
CM
uuur

u
CA
uur

u
AM
uuu r
CA
uuur

1
uuuruuur
1
uuuru
3
ABCA
uur

2
uuur
1
uuur
3
CBCA
3
CA
3
CB，

∴
3
u
CM
uuur
2
uCA
uur

u
CB
uur
，∴
9
u
CM
uuur
2
4
u
CA
uur
2
u
CB
uur
2
4
u
CA
uur

u
CB
uur
，

∴
2816a< br>2
4a
，解得
a2
或
a6
（不合题意，舍去 ），

∴
△ABC
的面积为
S
△ABC

1
2
22sin603
，

故选
B
．


10
．【答案】
A
【解析】因为
F
1
是椭圆
C:
x
2
y
2
a
2

b
2
1(ab0)
的左焦点，直线< br>l
过
F
1
交
y
轴于
C
点，
所以
F
1

c,0

，即
OF
1
c
，

因为
CF
1
F
2
30< br>，所以
CF
23c
1

3
，

又因 为
u
FC
uur
1

3
u
2
AF
uur
43c
1
，所以
AF
1

9
，

在三角形
AF
1
F
2
中，
AF43c
1

9
，
F
1
F
2
 2c
，
AF
43c
2
2a
9
，
根据余弦定理可得
cosAF
AF
222
1
F
1< br>F
2
AF
2
1
F
2

2AF，

1
F
1
F
2

22
< br>43c




2c

2
2a< br>43c
代入得

3


9

92

2

，化简得
a3c
，

< br>43c



2c

9



所以离心率为
e
c
a

3
3
，

所以选
A
．

11．【答案】D
【解析】设
AC
的中点为
O
，连接
OB,OD
，则
ACOB
，< br>ACOD
，

又
OBIODO
，所以
AC平面
OBD
，所以
ACBD
，故①正确；

因为MNBD
，所以
MN∥
平面
ABD
，故②正确；
当平面
DAC
与平面
ABC
垂直时，
V
ACMN最大，最大值为
V
ACMN
V
NACM

13

1
4

2
4

2
48< br>，
故③错误；

若
AD
与
BC
垂直，

又因为
ABBC
，所以
BC⊥
平面
ABD
，所以
BCBD
，
又
BDAC
，所以
BD
平面
ABC
，所 以
BDOB
，

因为
OBOD
，所以显然
BD
与
OB
不可能垂直，故④正确，

故选
D
．


12
．【答案】
A
【解析】由
f

2x

f

x
< br>0
可知函数
yf

x

的图象关于点

1,0

成中心对称，

且
f

2x< br>
f

x

f

x
，所以
f

x2

f

x
，

所以，函数
yf

x

的周期为
2
，

由于函数
yf

x

为奇函数 ，则
f

0

0
，则
f

2< br>
f

4

0
，

作出函数< br>yf

x

与函数
ysin

πx
的图象如下图所示：

Qf< br>

1


2


log1
2
2
1
，则
f



1


f


1


2

2


1
，

于是得出
f

7


2


f
< br>
3


2


f




1

2


1
，
f


5

1


2

f


2


1
，

由图象可知，函数
yf

x

与函数
ysin

πx

在区间

1,m

上从左到右
10
个交点的横坐标分别
为
1
、

1
1 3
5
7
2
、
0
、
2
、
1
、
2
、
2
、
2
、
3
、
2
，第
11
个交点的横坐标为
4
，

因此，实数
m< br>的取值范围是

3.5,4

，故选
A
．


第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13
．【答案】
13

【解析】因为平面向量
a
，
b
满足
ab0
，
a2
，
b3
，< br>
所以
ab

ab

2
a
2
2abb
2
2
2
3
2
13
，

故答案为
13
．

14
．【答案】


5


4
,



【解析】由
f(x)xf

(x)
，得


f (x)





0
，

x< br>设
g(x)
f(x)
x
lnx2(xa)
2
，则存在
x

1,3

，使得
g

(x )0
成立，

即
g

(x)
1
1x
4(xa)0
成立．所以
a
4x
x
成立， 所以
a


1

2x
x



成立，

min

又令
t
1
4x
x
，
t



2x+1

2x1

4x
2
，所以
x

1,3

时，
t

>0
，
t
单调递增，
当
x1
时，
t
有最小值
5
4
，
所以实数
a
的取值范围是


5

4
, 



，故答案为


5


4
,


．

15
．【答案】
2
2

【解析】由图可得
A


π

2

,1


5π

3π


，
B


2

,1


，
C


2

,1


，
根据对称性
ACBC
，
△ABC
是直角三角形，

所以为等腰直角三角形
ACBC
，直角三角形斜边中线等于斜边长的一半，

AB4
，
4π
π

1π2
2
2

4
，


2
，所以
f

< br>
2


sin
4

2
，故答案 为
2
．
16
．【答案】
13π

【解析】根据< br>OA
，
OB
，
OC
两两垂直构造如图所示的长方体，
则经过
A
，
B
，
C
，
D
的外接球即为长 方体的外接球，
故球的直径为长方体的体对角线的长．
设
OAx
，
OBy
，
OCz
，

x
2
y
2


x1
由题意得

4

x
2
z
2
10
，解得



y3
，


y
2
z< br>2
12


z3
所以球半径为
r
1< br>x
2
y
2
z
2
13
2

2
，

球的表面积为
S4πr
2
4π(
1 3
2
)
2
13π
，答案
13π
．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17
．【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
S
n


3n8

2
n
8
．

【解析】（
1
）∵
n

a
a
n1
n 1
2a
n

2a
n
，∴
na
n1< br>2

n1

a
n
，∴
n1
 2
a
n
n
，

则数列


a< br>n


n


是以
1
为首项，2
为公比的等比数列．

（
2
）由（
1
）知，
a
n
n
2
n1
，∴
a
n
n 2
n1
，∴
b
n


3n5
2
n1
，

∴
S
012
L
< br>3n8

2
n2
n
221242< br>
3n5

2
n1
，

2S
1
n
2212
2
42
3
L
< br>3n8

2
n1


3n5
2
n
，

∴
S
n
23
< br>2
1
2
2
L2
n1



3n5

2
n

23
2
< br>12
n1

12


3n5
2
n
8

83n

2
n
，

∴
S
n
n


3n8
< br>28
．

18
．【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）

21
7
．

【解析】（
1
）由图
1
可知，四边形
ABCE
为菱形，则
ACBE，

则在图（2）中，
BEA
1
O
，
BE CO
所以
BE面AOC
1
，
又
BE∥CD
，所以
CD面A
1
OC
，

又
A
1
C面A
1
OC
，故
CDA1
C
．

（
2
）因为
BE3AB
， 所以
BAE
2
3
，

设
AB2
，则
A
1
OOC1
，
< br>又
A
2
1
C
2
AB=2
，所以
 AOC
1

π
2
，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则
O(0,0,0)
，
B(3,0,0)
，
C(0,1,0)
，
A
1
(0,0,1 )
，
E(3,0,0)
，
D(23,1,0)
，
则
u
ED
uur
(3,1,0)
，
u
EA
uur
1
(3,0,1)
，

则面
A
1
EB
的法向量为
n
1
(0,1,0)
，


设面
A
1
ED
的法向量为
n
2
(x,y,z)
，

则



n
u< br>ED
uur
2
0


3x

u
EA
uur
，则
y0


n

，

21
0


3xz0
令
x 1
，则
y3,z3
，则
n
2
(1,3,3)，

所以
cosn
n
1
n
2
1< br>,n
2

nn

3

21
，
12
7
7
又由图可知二面角
BA
1
ED
为钝二面角，

故二面角
BA
1
ED
的余弦值 为

21
7
．

19．【答案】（1）
x
2
y
2
4
1
；（2）不存在，详见解析．
【解析】（ 1）由已知
AB2
，得知
2b2
，
b1
，
又因为离心率为
3c3
2
，所以
a

2
．
因为
a
2
b
2
c
2
，所以
a 2
，
所以椭圆
C
的标准方程为
x
2
y
2
4
1
．
（
2
）假设存在．

设< br>P

x
0
,y
0

，
M

4,m

，
N

4,n

，
由 已知可得
A

0,1

，
B

0,1< br>
，
所以
AP
的直线方程为
y
y
01
x
x1
，
0
BP
的直线方程为
y< br>y
0
1
x
x1
，
0

令
x4
，分别可得
m
4
< br>y
0
1

x
1
，
n
4

y
0
1

x
1
，
00
所以
MNmn2
8
x
，
0
线段
MN
的中点


4,
4y
0


x

，
0

22
若以
MN
为直径的圆经过点
D

2,0

，则

42
2



4y
0

x
0







1
4

x

，
00

因为点
P
在椭圆上，所 以
x
2
0
4
y
2
1
，代入化简得1
8
0
x
0
，
0
所以
x
0
8
，而
x
0


2,2

，矛盾，
所以这样的点
P
不存在．

20
．【答案】（
1
）
x17.40
千元；（
2
）①
14
．
77
千元；②
978
人．

【解析】（
1
）
x120.04140.12160.28180.36200.1022 0.06240.0417.40
千元，
故估计
50
位农民的年平均 收入
x
为
17
．
40
千元．

（
2
）由题意知
XN

17.40,6.92

，

①
P

x





1
2

0.6827
2
0.8414
，

所以



17.402.6314.77
时，满足题意，

即最低年收入大约为
14
．
77
千元．

②由
P

x12.14

P

x

2


0.5
0.9545
2
0.97 73
，

每个农民的年收入不少于
12
．
14
千元 的事件的概率为
0
．
9773
，

记
1000个农民的年收入不少于
12
．
14
千元的人数为

，< br>
则

:B

1000,P

，其中
P0.9773
，

于是恰好有
k
个农民的年收入不少于
12
．
14
千元的事件概率为
P


k

C
kk
3
p

1p

10
3
k
10
，
从而由
P


k

P


k1



1001k

p
k

1p

1
，得
k1001p
，


而
1001p978.2773
， 所以，当
0k978
时，
P


k1
< br>P


k

；

当
979k 1000
时，
P


k1

P


k

，

由此可知，在所走访的
1000位农民中，年收入不少于
12
．
14
千元的人数最有可能是
97 8
人．

21
．【答案】（
1
）

e
,



4

；（
2
）证明见解析．

【解析】（
1
）
f


x

lnx24ax
，∴
f

x

在

0,

内单调递减，

∴
f
< br>x

lnx24ax0
在

0,
内恒成立，

即
4a
lnx
x

2
x
在

0,

内恒成立．

令
g
x


lnx21lnx
x

x
，则
g


x


x
2
，
∴当
0x
1

1
e
时，
g

x

0
，即
g

x

在



0,
e


内为增函数 ；

当
x
1

1

e
时，g


x

0
，即
g

x

在


e
,


内为减函 数，

∴
g

x

的最大值为
g


1


e
，∴
a

< br>e

e

,


4


．

（
2
）若函数
f

x
< br>有两个极值点分别为
x
1
，
x
2
，

则
f


x

lnx24ax0
在
0,

内有两根
x
1
，
x
2< br>，

由（
1
），知
0a
e
4
，

由


lnx
1
24ax
1
0
，两 式相减，得

lnx
lnx
1
lnx
2
4a< br>
x
1
x
2
24ax
2

．

2
0
不妨设
0x
1
x
2
，

∴要证明
x
1
x
1
x
2
1
x
2

2a
，只需证明
4a

x

1
．

1
x
2

2a

lnx
1
lnx
2

2


x
1
即证明
2

x
1
x
2

x
lnx
x
1

1
lnx
2
，亦即 证明

2

ln
x
1
1
x
2
x
．

1
x
1
x
2
2
令函数
h

x


2

x1

x1
lnx
，
0x1
．

∴
h

(x)
(x1)
2
x(x1)
2
0
，即函数
h

x
< br>在

0,1

内单调递减，

∴
x

0,1

时，有
h

x

h

1

0
，∴
2(x1)
x1
lnx< br>，

2


x
1


即不 等式

x
1

2

ln
x
1< br>x
成立，

1
x
1
x
2
2
综上，得
x
1
x
2

1
2a
．

22
．【答案】（
1
）
C
22

2

2

13

1
:

cos6
，
C
2
:xy20
；（
2
）

3
,
2


．


【解析 】（
1
）由曲线
C


x2cos

1
的参数方程

(

为参数
)
，


y3sin

2
2
得
cos
2
sin
2



x


y


2




C
x
2
y
2


3


1
，即曲线
1
的普通方程为
2

3
1
，

又
x

cos

，
y

sin

，
曲线
C
2222222
1
的极坐标方程为
3

cos

2

sin

6
，即
cos

2

6
，

曲线C
2
的极坐标方程可化为

sin


cos

2
，

故曲线
C
2
的直角方程为
xy20
．
（
2
）由已知，设点
M
和点
N
的极坐标分别为



π

π
1
,


，



2
,


4


，其中
2



π
，
则
OM< br>2


2
1

6
cos
2

2
，
ON
2


2
2
1
π

1
cos
2

，
sin2






2

于是
1

cos
2

2
OM
2
1
ON
2
6
cos
2


7cos
2

2
6
，

由
π
2



π
，得
1cos

0，

故
11
OM
2

ON
2
的取值范围是


1

3
,
3

2


．

23
．【答案】（
1
）
3
；（
2
）
8
9
．


【解析 】（
1
）因为
f(x)|x|
，所以
f(x1)f(2x4 )|x1||2x4|
，

当
x1
时，
f(x)33x
单调递减；
当
1x2
时，
f(x)x5
单调递减；
当
x2
时，
f(x)33x
单调递增，
故当
x2
时，函数取得最小值
M3
．

（2
）若
a
，
b0
且
a2b3
，
a2b22ab
，即
ab
9
8
，

当且仅 当
a2b
，即
a
3
2
，
b
3
4
时，等号成立，

则
114b
2
a
2
(a2b)
2
4ab91
a
2

4b
2
4a
2
b
2

4a
2
b
2

4(ab)
2

ab
，

19
9t
2
令
t
ab
，
t
8
，而
y
4
t
的开口向上，

对称轴方程为
t
2< br>
8

9
，在


9
,


上单调递增，

t
8
8
当
9
118
，取得最小值
9
，
a
2

4 b
2
的最小值为
9
．