古文字学-教务主任工作总结

高中数学三角函数典型例题

(Ⅰ)求
B
的大小;
(Ⅱ)求
cosAsinC
的取值范围.
【解析】
:(Ⅰ)由< br>a2bsinA
,根据正弦定理得
sinA2sinBsinA
,所以sinB

1 ．
设锐角
ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
,
a2bsinA
.
1
,
2
由
ABC
为锐角三角形得
B
π
.
6




A




(Ⅱ)
cosAsinCcosAsin





cosAsin

A



6

13
cosAcosAsinA

22


3sin

A

.
3


2 ．
在
ABC
中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．
urr
urr
(Ⅱ)设
m

sinA,cos2A

,n

4k,1

k1

,且
mn
的最大值是5,求k的值.
【解析】
:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,
(Ⅰ)求角B的大小;

∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C．
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．
∵0∴cosB=
1
.
2
∵0urr(II)
mn
=4ksinA+cos2A．
=-2sin
2
A+4ksinA+1,A∈(0,
设sinA=t,则t∈
(0,1]
.

.
3
2

)
3
urr
则< br>mn
=-2t
2
+4kt+1=-2(t-k)
2
+1+2 k
2
,t∈
(0,1]
.
urr
∵k>1,∴t=1时,
mn
取最大值.
第 1 页 共 15 页

依题意得,-2+4k+1=5,∴k=

3
.
2
ABC
sin2
.
22
3 ．
在
ABC
中,角
A,B,C
所对的边 分别为
a，b，c
,
sin
I.试判断△
ABC
的形状;
II.若△
ABC
的周长为16,求面积的最大值.
【解析】
:I .
sin

C
2
sin
CCCC

 cossin2sin()

22224

C

即C
,所以此三角形为直角三角形.
2422
2
II.
16 aba
2
b
2
2ab2ab
,
ab64( 22)
当且仅当
ab
时取等号,
此时面积的最大值为
32642
.

4 ．
在
ABC
中,a
、
b
、
c分别是角A． B．C的对边,C=2A,
cosA

3
,
4
(1)求
cosC,cosB
的值;
(2)若
BABC
27
,求边AC的长｡
2
cos 2A2cos
2
A12
91
1

168
【解析】
:(1)
cosC
13737
由cosC,得sinC;由c osA,得sinA

8844
cosBcos

AC

sinAsinCcosAcosC
737319


484816
2727
,accosB,ac24
①
22
ac3
又
,C2A,c2acosAa
②
sinAsinC2
(2)
BABC
由①②解得a=4,c=6
b
2
a
2
c
2
2accosB16364 8
9
25

16
2
b5
,即AC边的长为5.
5 ．
已知在ABC
中,
AB
,且
tanA
与
tanB
是方程
x5x60
的两个根.
(Ⅰ)求
tan(AB)
的值;
(Ⅱ)若AB
5
,求BC的长.
【解析】
:(Ⅰ)由所给条件, 方程
x5x60
的两根
tanA3,
2
tanB2
.
∴
tan(AB)
tanAtanB23
1

1tanAtanB123


(Ⅱ)∵
ABC180
,∴
C180(AB)
.
第 2 页 共 15 页

由(Ⅰ)知,
tanCtan(AB)1
,
∵
C
为三角形的内角,∴
sinC
2
2
∵
tanA3
,
A
为三角形的内角,∴
sinA
3
10
,
由正弦定理得:
ABBC
sinC

sinA

∴
BC
53
2

10
35
.
2
6 ．
在
ABC
中,已知内角A． B．C所对的边分别为m
r


2sinB,3

,
n
r




cos2B,2cos
2
B
2< br>1



,且
m
r
n
r
｡
(I)求锐角B的大小;
(II)如果
b2
,求
ABC< br>的面积
S
ABC
的最大值｡
【解析】
:(1)
m
r
n
r
 2sinB(2cos
2
B
2
-1)=-3cos2B
2sinBcosB=-3cos2B  tan2B=-3
∵0<2B<π,∴ 2B=
2π
3
,∴锐角B=
π
3

(2)由tan2B=-3  B=
π5π
3
或
6

①当B=
π
3
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a
2
+c
2
-ac≥2ac- ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)
∵△ABC的面积S
△ABC
=
13
2
acsinB=
4
ac≤3
∴△ABC的面积最大值为3
②当B=
5π
6
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a
2
+c
2
+3ac≥2ac+3ac=(2+3)ac(当且仅当a=c=6-2时 等号成立)
∴ac≤4(2-3)
∵△ABC的面积S
△
ABC
=
1
2
acsinB=
1
4
ac≤ 2-3
∴△ABC的面积最大值为2-3
7 ．
在
ABC
中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且
a
2
c
2
b
2

1
2
ac .

(1)求
sin
2
AC
2
cos2B
的值;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
第 3 页 共 15 页
a
、
b
、
c,向量

【解析】
:(1) 由余弦定理:cosB=
1
4
sin
2
AC
1
+cos2B=


4
2
115
,得sinB.
∵b=2,
44
(2)由
cosB
a
2
15
8
11
+
c
2
=ac+4≥2ac,得ac≤, S
△ABC
=
acsinB≤(a=c时取等号)
22
3
3
15

3
故S
△ABC
的最大值为
sin(
8 ．
已知< br>tan



4
2


)
tan2

的值｡


)
a,(a1)
, 求
sin(
【解析】
2a
;
1a

3


sin

5




 cos




cos





2

9 ．
已知
f





3

sin




cos




tan


3


2

2

(I)化简
f





3


1




, 求
f



的值｡

2

5< br>(II)若

是第三象限角,且
cos

【解析】


10．
已知函数f(x)=sin
2
x+
3
s inxcosx+2cos
2
x,x

R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
【解析】
:(1)
f(x)
1cos2x3
sin2x(1co s2x)

22
第 4 页 共 15 页

313
sin2xcos2x
222


3
sin(2x).
62

f(x)
的最小正周期
T
由题意得
2k


2



.

2

2
2x

6
2k



2
,kZ,
即
k



3
xk



6
,kZ.



f(x)
的单调增区间为

k

,k


,kZ.

36

(2)先把< br>ysin2x
图象上所有点向左平移
得到
ysin(2x
个单位长度,
12
3
)
的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度,
62

3
就得到
ysin(2x)
的图象｡ 62
11．
已知
a


33

x

x

,
b(sin,cos)
,
f(x )ab
｡


,

22

44< br>
(1)求
f(x)
的单调递减区间｡
(2)若函数
y g(x)
与
yf(x)
关于直线
x1
对称,求当
x[ 0,]
时,
yg(x)
的最大值｡
4
3
【解析】
:(1)
f(x)
3

x3

x

x

sincos3sin()

242443
∴当

x

4

32
1022
解得:
x[ 8k,8k]
时,
f(x)
单调递减｡
33
[
< br>2k

,
3

2k

]
时,< br>f(x)
单调递减
2
(2)∵函数
yg(x)
与
yf(x)
关于直线
x1
对称
∴
g(x)f(2x)


(2x)


3sin




43



x



x


3sin



3co s





243

43

∵
x[0,]
∴
4
3

x
4


11


2



x




,

∴
cos



[,]

3

33

22

43

3
2
∴
x0
时,
g
max
(x)
第 5 页 共 15 页

12．
已知
cos

2sin

,求下列各式的值;
2sin

cos

(1);
sin

3cos

(2)
sin
2

2sin
< br>cos


1
2sin

,tan


2
【解析】
:
Qcos


1

2



1
2sin

cos

2tan

1

2


4
(1)

1
sin

3cos

tan

35
3
2
sin
2

2sin

cos

(2)
sin

2sin

cos



22
sin

cos
2

1

1



2 



2
tan

2tan

2

2


3

< br>2
tan
2

15

1

1


2

13．
设向量
a(sinx,cos x),b(cosx,cosx),xR
,函数
2
f(x)a(ab)
(I)求函数
f(x)
的最大值与最小正周期;
(II)求使不等式
f(x)
【解析】
3
成立的
x
的取值集合｡
2

14．
已 知向量
m(cos


2

,1)
,
n(sin

,1)
,
m
与
n
为共线向量,且< br>
[,0]

3
2
(Ⅰ)求
sin

cos

的值;
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(Ⅱ)求
sin2

的值.｡
sin

cos

2
)1(1)sin

0
,
3
【解析】
:(Ⅰ)

m
与
n
为共线向量,
(cos


即
sin

cos


2

3
2
(Ⅱ)
1sin2

(sin
cos

)
27
,
sin2


99
(sin

cos

)
2
(sin

cos

)
2
2
,
(sin

cos

)
2
2(
又


[
2
2
16
)

39
4
,0]
,
sin

cos

0
,
sin

cos



23
sin2

7
因此,


sin

cos

12
15．
如图,A,B,C,D都在同一个 与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座

灯塔的塔顶｡测量船于水面A处测得B点和D 点的仰角分别为
75
,
30
,
于水面C处测得B点和D点的仰角均为
60
,AC=0.1km｡试探究图中B,D
间距离与另外哪两点距离相等,然后求B ,D的距离(计算结果精确到
0.01km,
2

1.414,
6< br>
2.449)
【解析】
:在
ACD
中,
DAC
=30°,
ADC
=60°-
DAC
= 30°,
0
00
所以CD=AC=0.1
又
BCD
=180°-60°-60°=60°,
故CB是
CAD
底边AD的中垂线,所以BD=BA
在
ABC
中,
ABAC
,
sinBCAsinABC
即AB=
ACsin60326


sin1520
326
0.33km

20
因此,
BD
故 B．D的距离约为0.33km｡
16．
已知函数
f(x)Asin(

x

),xR
(其中
A0,

0,0



2
)的图象与x轴的交点中,相邻两个
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交 点之间的距离为
2


,且图象上一个最低点为
M(,2)
.
3
2

(Ⅰ)求
f(x)
的解析式;(Ⅱ)当x[,]
,求
f(x)
的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
122
2

【解析】
： (1)由最低点为
M(,2)
得A=2.
3
2

2

T

由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即
T< br>
,

2

T

222
2< br>
2

4

由点
M(,2)
在图像上的< br>2sin(2

)2,即sin(

)1

333
4

11

故


2k

,kZ



2k


326

又

(0,) ,

,故f(x)2sin(2x)

266
7

(2)
Qx[,],　　　　2x[,]

122 636




7

当
2x
= ,即
x
时,
f(x)
取得最大值2;当
2x

6
2
666

即
x
时,
f(x)
取得 最小值-1,故
f(x)
的值域为[-1,2]
2
17．
如图, 为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知
AB50m
,
BC120m
,于A处测得水深
AD80m
,于B处测得水深
BE200m
,于C处测得水深
CF110m
,求∠DEF的余弦值｡
【解析】
:作
DM

AC
交BE于N,交CF于M. DFMF
2
DM
2
30
2
170
2< br>10198
,
DEDN
2
EN
2
50
2
120
2
130
,
EF(BE FC)
2
BC
2
90
2
120
2
150

在
DEF
中,由余弦定理,
DE
2
EF
2
DF
2
130
2
15 0
2
10
2
29816
cosDEF
2DEEF213015065
18．
已知
sin

c os


1

，

(,

)< br>，
52
第 8 页 共 15 页

求（1）sin

cos

（2）
sin
【解析】
： （1）
sin

3

cos
3

（3）
sin
4

cos
4


791337

cos

(2)sin
3

cos
3

(3)sin
4

cos< br>4


5125625
19．
已知函数
yAsin (

x

)
（
A0
，

 0
，
|

|

）的一段图象
如图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间。





2

2

【解析】
：（1）由图象可知：
T 2
3











2

2
；
A2



8
2
T

8





，2

为“五点画法”中的第二点

8


3




3


∴
2







∴所求函数解析式为：
y2sin

2x

24
4


8


∴
y2 sin

2x


，又∵


< br>
（2）∵当
2x
3



2k
，2k



kZ

时，
f

x

单调递增
4

22

5


5


∴
2x

 2k

，2k


x

k

，k



kZ




48

4

8

20．
已知
 ABC
的内角A． B．C所对边分别为a、b、c，设向量
m(1cos(AB),c os
5AB9
n(,cos)
，且
mn
.
828
（Ⅰ）求
tanAtanB
的值；
absinC
（Ⅱ）求
2
的最大值.
22
abc959
2
AB
【解析】
（Ⅰ）由
mn
，得
[1cos(AB)]cos

8828
51cos(AB)9
即
[1cos(AB)]

828
也即
4cos(AB)5cos(AB)

∴
4cosAcosB4si nAsinB5cosAcosB5sinAsinB

∴
9sinAsinBcosAcosB
∴
tanAtanB
21．
已知函数
AB
)
，
2
1

9
f(x)(1tanx)[12sin(2x
4
)]
，求：
（1）函数
f(x)
的定义域和值域； （2）写出函数
f(x)
的单调递增区间。
【解析】
:
f(x)

1


sinx




12sin2xcos2cos2xsin


cosx
 
44


sinx

2


1 

2sinxcosx2cosx
2

cosxsinx< br>
cosxsinx



cosx


第 9 页 共 15 页

2(cos
2
xsin
2
x)
2cos2x

（Ⅰ）函数的定义域

x|xR,xk






,kZ


2

2x2k



,kZ

2cos2x2,

函数
f(x)
的值域为

2,2


（Ⅱ）令
2k



2x2k

,(kZ)
得
k


∴函数
f(x)
的单调递增区间是

k



2
xk

(kZ)< br>




,k


(kZ)

2

22．
如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m，圆上最低 点与地面距
离为0.8m，60秒转动一圈．途中
OA
与地面垂直．以
OA< br>为始边，逆时针
转动

角到
OB
．设
B
点与 地面距离为
h
．
（1）求
h
与

的函数解析式；
（2）设从
OA
开始转动，经过80秒到达
OB
，求
h.



【解析】
：（1）∵
h0.8OA BC0.84.8OBsin

5.64.8sin(

90 )
，
∴
h5.64.8cos

(

0)
（2）∵




8

8

2

，
h5.64.8cost
，∴

80 8
(m)

，


6030
30303323．
设函数
f(x)ab,其中向量a(2cosx,1),b(cosx,3 sin2xm).

（1）求函数
f(x)的最小正周期和在[0,
]
上的单调递增区间；
（2）当
x[0,

6
]时 ,4f(x)4恒成立,求实数m
的取值范围。
2
【解析】
：（1）
f(x)2cosx3sin2xm2sin(2x

6
)m 1
，
函数f(x)的最小正周期T
2


.4分
2


2

在[0,

]上单调递增区间为[0,],[,

].6分
63
（2）当x[0,

6
]时,f(x)递增,当x

6
时,f(x)
max
m3
，
第 10 页 共 15 页

当x0时,f(x)
min
m2,8分
m34,
由题设知

10分
m24,
解之,得6m1.12分
24．
已知函数
f(x)2 sin

2


π

ππ

 x

3cos2x
，
x

，

． < br>
4

42

（1）求
f(x)
的最大值 和最小值；
（2）
f(x)m2
在
x

，

上恒成立，求实数
m
的取值范围．
42
【解析】
（Ⅰ）
∵f(x)

1cos


ππ

 



π


2x

3cos2x1sin2x3cos2x


2

< br>π

12sin

2x

．
3

又
∵x

，

，
∴
≤2x
≤
，
42
633

即
2
≤
12sin

2x

ππ

ππ2π


π


≤
3
，
3

∴f(x)
max
3，f(x)
min
2
．
（Ⅱ）
∵f(x)m2f(x)2mf(x)2
，
x

，

，
42

ππ


∴mf(x)
max
2
且
mf(x)
min
2
，
，4)
．
∴1m4
，即
m
的取值范围是
(1
25．
在锐角△ABC中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,已知
(bc a)tanA
222
3bc.

(I)求角A;
(II)若a=2,求△ABC面积S的最大值｡
b
2
c
2a
2
sinA33
sinA
【解析】
:(I)由已知得
2bccosA22
又在锐角△ABC中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC中,扣1 分]
(II)因为a=2,A=60°所以
bcbc4,S
22
22
13
bcsinAbc

24
而
bc2bcbc42bcbc4

第 11 页 共 15 页

又
S
133
bcsinAbc43

244
所以△ABC面积S的最大值等于
3

26．
甲船 由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为
15
2
浬小时,在甲船从A 岛出发的同时,乙船从A岛正南40
浬处的B岛出发,朝北偏东θ(

arctg< br>1
)
的方向作匀速直线航
2
行,速度为10
5
浬小时.(如图所示)
(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少浬?
(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?
【解析】
:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面
直角坐标系.
设在t时刻甲、乙两船分别在P(x
1
, y
1
) Q (x
2
,y
2
).

x
1
152t cos45

15t
则

2分


y
1
x
1
15t
1255
由

a rctg可得,cos

,sin

,
255
x
2
105tsin

10t
y
2
105tcos< br>
4020t405分


(I)令
t3
,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20) |PQ|(4530)
2
(4520)
2
850534.
即两船出发后3小时时,相距
534
锂
(II)由(I)的解法过程易知:
|PQ|(x
2
x
1< br>)
2
(y
2
y
1
)
2
(10 t15t)
2
(20t4015t)
2
10分
50t
2
400t160050(t4)
2
800202

∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20
即两船出发4小时时,相距20
2

2
海里为两船最近距离.
(tanA－tanB)＝1＋tanA·tan B．
27．
在锐角
ABC
中，已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c ，且
(1)若a
2
－ab＝c
2
－b
2
，求A． B．C的大小；
(2)已知向量
m
＝(sinA，cosA)，
n
＝(cosB，sinB)，求｜3
m
－2
n
｜的取值范围．
【解析】


第 12 页 共 15 页

28．
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C．小区的两个出入口设置在点A< br>及点C处，小区里有两条笔直的小路
AD，DC
，且拐弯处的转角为
C
120
o
．已知某人从
C
沿
CD
走到
D
用 了10分钟，从
D
沿
DA
走到
A
用
了6分钟．若此 人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径
OA
的长
（精确到1米）．
【解析】
解法一：设该扇形的半径为r米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=
60

在
CDO
中，
CDOD2CDODcos60OC,

即
500

r300

2500
r300


2
2
2202
A
120
0
D
O
0
1
r
2
,

2
C
H
解得
r
4900
445
（米）
11
0
解法二：连接AC，作OH
⊥
AC，交AC于H
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），
CDA120

A
120
0
在ACD中,AC
2
CD
2
A D
2
2CDADcos120
0

1
2
 5003002500300700,
2
22
Ｄ
O
第 13 页 共 15 页

∴ AC=700（米）
AC
2
AD
2
CD
2
11
cosCAD.

2ACAD14
在直角
HAO中,AH350（米）,cosHA0∴
OA
11
,

14
AH4900
445
（米）
cosHAO11
29．
已知角

的顶点在原点,始边与
x
轴的正半轴重合,终边经 过点
P(3,3)
.
(1)求
tan

的值;
(2)定义行列式运算
sin

ab
adbc
,求行列式1
cd
tan

的值;
cos

(3)若函 数
f(x)
求函数
y3f(
cos(x

)sin

(
xR
),
sin(x

)cos


2
2x)2f
2
(x)
的最大值,并指出取到最 大值时x的值
【解析】
:(1)∵ 角

终边经过点
P(3,3)
,
3
.
3
3
1
(2)
sin< br>

,
cos


.
2
2< br>∴
tan


sin

1
tan

333
sin

cos

tan


.
cos

4312
(3)
f(x)cos(x

)cos

sin(x

) sin

cosx
(
xR
),
∴函数y3cos(

2
2x)2cos
2
x

3sin2x1cos2x
2sin(2x)1
(
xR
),
6
∴
y
max
3
, 此时
xk




6
(kZ)
.
2
30．
已知函数
f(x)(sinxcosx)+cos2x
.



(Ⅰ)求函数
f

x

的最小正周期;(Ⅱ)当
x

0,

时,求函数
f
x

的最大值,并写出x相应的取值.

2
【解析】
:(Ⅰ)因为
f(x)(sinxcosx)
2
+cos2 xsin
2
x2sinxcosxcos
2
xcos2x


1sin2xcos2x
( )
=1+2sin(2x)

4
2

所以,
T
,即函数
f(x)
的最小正周期为


2
第 14 页 共 15 页

(Ⅱ)因为
0 x

2
,得

4
2x

4

2

5

,所以有
sin(2x)1

24
4
12sin(2x)2
,即
012sin(2x )12

44
所以,函数
f

x
的最大值为
12

此时,因为




4
2x

4

5


< br>,所以,
2x
,即
x

4428
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