张晓风散文-冬至手抄报

高考数学一轮复习精品

解三角形

必修5 第1章 解三角形
§1.1正弦定理、余弦定理
重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．
考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
经典例题：半 径为
R
的圆外接于△
ABC
，且2
R
(sin
A< br>-sin
C
)＝(
3
a
-
b
)sin
B
．
22
(1)求角
C
；
(2)求△
ABC
面积的最大值．



当堂练习：


1．在△ABC中，已知a=52 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )
(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15°
2在△ABC中，若a=2, b=22 , c=6 +2 ,则∠A的度数是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
3．在△ABC中，已知三边a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b－c)=3ab, 则∠C=( )
(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )
(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150°
5．在△ABC中，∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )
(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定
6．在平行四边形ABCD中，AC=3 BD, 那么锐角A的最大值为 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
7. 在△ABC中，若
a
Acos
2
=
b
B
cos
2
=
c
C
cos
2
，则△ABC的形状是 ( )
(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形
8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定
9．在△ABC中，若a=50，b=256 , A=45°则B= .
10．若平行四边形两条邻边的长度分别是46 cm和43 cm，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的
两条对角线的长度分别为 .
11.在等腰三角形 ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长是 。
12．在△ABC中，若∠B=30°, AB=23 , AC=2, 则△ABC的面积是 .
2
13．在锐角三角形中，边a、b是方程x－23 x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－3 =0，求角C
的度数，边c的长度及△ABC的面积。

cosAb4
14．在△ABC中，已知边c=10, 又知 = = ，求a、b及△ABC的内切圆的半径。
cosBa3

15．已知在四边形A BCD中，BC＝a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长。








7
16．在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c= ，且tanA+tanB=3 tanA·tanB－3 ，
2
33
又△ABC的面积为S
△ABC
= ，求a+b的值。
2





必修5 第1章 解三角形
§1.2正弦定理、余弦定理及其应用
考纲要求：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 （ ）
A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里
22
2. 已知三角形的三边长分别为
x
+
x< br>+1,
x
－1和2
x
+1(
x
＞1)，则最大角为 （ ）
A. 150° B. 120° C. 60° D. 75°
3．在△ABC中，
tanAsinBtanBsinA
，那么△ABC一定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．在△ABC中，一定成立的等式是 ( )
=bsinB =bcosB
=bsinA =bcosA
5．在△ABC
中，
A
为锐角，lg
b
+lg(
22
1
)=lgsin
A
=－lg
2
, 则△
ABC
为
c
（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
6．在△
ABC
中，
a4sin10,b2sin50,C70
，则△
ABC
的面积为 （ ）
11
B.
84
sinAcosBcosC

7．若则△ABC为
abc
A. C.

1

2

D. 1
（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形
8．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的 （ ）

A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°

10．在三角形ABC中,已知A
60< br>,b=1,其面积为
3
,则

abc
为 ( )
sinAsinBsinc
39
239263
A.
33
B. C. D.
2
33
11． 某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车
与第 三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离
d
1
与第二辆车与第三辆车的距离d
2
之间的关系为
（ ）
A.
d
1
d
2
B.
d
1
d
2

C.
d
1
d
2
D. 不能确定大小
12．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
A.
400
米
3
C. 200
3
米
B.
4003
米
3

D. 200米
13. 在△ABC中，若
c102
，
C60
，
a
00203
，则
A
．
3
14. 在△
ABC
中，B=135，C=15，a=5，则此三角形的最大边长为
.

15. 在锐角△
ABC
中，已知
A2B
，则的
a
取值范围是 ．
b
7
，那么
BC
= .
2
17. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、
x
，则
x
的取值范围是 ．
16. 在△
ABC
中，已知
AB
=4，
AC
=7，
BC
边的中线
AD
18. 在△
ABC
中，已知
tanA
11
，
tanB
，则其最长边与最短边的比为 ．
23
o
19．为了测量上海东方明珠的高度，某人站在
A
处测得塔尖的仰角为
75.5，前进38.5m后，到达
B
处测得
塔尖的仰角为
80.0
.试 计算东方明珠塔的高度（精确到1m）.





20 ．在
ABC
中，已知
(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)< br>，判定
ABC
的形状．





21.在△
ABC
中，最大角
A
为最小角
C
的2倍 ，且三边
a
、
b
、
c
为三个连续整数，求
a
、
b
、
c
的值.




2 222
o

22.在△
ABC
中，若
9a
2< br>9b
2
19c
2
0
，试求
tanAtanB< br>的值．
(tanAtanB)tanC









23．

如图，已知
eO
的半径为1，点
C
在直径
AB
的延长线上，
BC
＝
1，点
P
是
eO
上半圆上的一个动点，以
PC
为边作正三角形
PCD
，且
点
D

与圆心分别在
PC
两侧.
（1）若
POB

，试将四边形
OPDC
的面积
y
表示成

的函数；
（2）求四边形
OPDC
面积的最大值.



参考答案
第1章 解三角形
§1.1正弦定理、余弦定理
abc
2R

sinAsinBsinC
acb
22
∵ 2
R
(sin< br>A
-sin
C
)＝(
3
a－b
)sin
B< br>
sin
2
A()
2
,sin
2
C( )
2
,sinB
2R2R2R
a
2
c
2
b
222
∴ 2
R
［()-()］＝(
3
a
-
b
)·∴
a
-
c
＝
3
ab
-
b

2R2R2R
经典例题：解：(1)∵
a
2
b
2
c
2
3
3

∴ ∴ cos
C
＝，∴
C
＝30°
2ab2
2
(2)∵
S
＝
11
ab
sin
C
＝·2
R
sin
A
·2
R
sin
B
·sin
C
＝
R
2
s in
A
sin
B

22
R
2
R
2
＝-［cos(
A
＋
B
)-cos(
A
-
B
)］＝［cos(
A
-
B
)＋cos
C
］ < br>22
R
2
323
2
，
R
2
3(1)R
． ＝［cos(
A
-
B
)＋］ 当cos(
A
-
B
)＝1时，
S
有最大值
224
2< br>2

当堂练习：
1.D; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.B; 8.A; 9. 60°或120°; 10. 415 cm和43 cm; 11.50; 12. 23
或3
13、解：由2sin(A+B)－3 =0，得sin(A+B)=
3
, ∵△ABC为锐角三角形
2

∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x－23 x+2=0的两根，∴a+b=23 ,
2222
a·b=2, ∴c=a+b－2a·bcosC=(a+b)－3ab=12－6=6,
1133
∴c=6 , S
△ABC
= absinC= ×2× = .
2222
cosAbsinBbcosAsinB
14．解：由 = ， = ,可得 = ，变形为sinAcosA=sinBcosB
cosBasinAacosBsinA
∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=
2

. ∴△ABC为直角三角形.
2
b4a+b-c6+8-10
222
由a+b=10和 = ，解得a=6, b=8, ∴内切圆的半径为r= = =2
a322
15、
解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x，根据四边形的内角和有3x+7x+4x +10x=360°.
解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150°
连结BD，得两个三角形△BCD和△ABD[
在△BCD中，由余弦定理得
1
222222
BD=BC+DC－2BC· DC·cosC=a+4a－2a·2a· =3a,
2
∴BD=3 a.这时DC=BD+BC，可得△BCD是以DC为斜边的直角三角形.∴∠CDB=30°, 于是∠ADB=120°
222
在△ABD中，由正弦定理有AB=
3asin 120
BD•sinADB
＝＝
sin45
sinA
3a•< br>3
2
＝
32a

2
2
2
∴AB的长为
32a

2
tanAtanB
＝－3 ，即tan(A+B)=－3
1tanA•tanB

∴tan(π－C)= －3 , ∴－tanC=－3 , ∴tanC=3 ∵C∈(0, π), ∴C=
3
16、解：由tanA+tanB=3 tanA·tanB－3 可得
331331333
又△ABC的面积为S
△ABC
= ，∴ absinC= 即 ab× = , ∴ab=6
222222
7
2227
2

222222
又由余弦定理可得c=a+b－2abcosC∴( )= a+b－2abcos∴( )= a+b－ab=(a+b)－3ab
22
3
11
2
121
∴(a+b)= , ∵a+b>0, ∴a+b=
42


36m
2
32(2m1) 0,

10


sin

cos
< br>
3
m,
又
(
3
m)
2
2 
2m1
1
，解之m=2或m=
.


9< br>48
4

2m1

sin

cos
0,

8

而2和

10
不满 足上式. 故这样的m不存在.
9

§1.2正弦定理、余弦定理及其应用

1.A; 2.B; 3.D; 4.C; 5.D; 6.C; 7.B; 8.B; 9.D; 10.B; 11.C; 12.A;
13．
45
o
14．
52

15．

2,3
16．9 17．
(5,

13)
18．
5:3


19.468m 20.等腰三角形或直角三角形 21.
a
＝6，
b
＝5，
c
＝4
55
5
22. 23. (1)
sin

3cos

3
(2)2＋
3


9
44