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专题4.6 正弦定理和余弦定理

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

知识点一 正弦定理和余弦定理
1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a
2
＝b
2
＋c
2< br>－2bccosA；b
2
＝c
2
公式
abc
＝＝＝2R
sin Asin Bsin C
＋a
2
－2cacosB；
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC
(1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
常见
变形
abc
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
2R2R2R
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
b
2
＋c
2
－a
2
cos A＝；
2bc
c
2
＋a
2
－b
2
cos B＝；
2ac
a
2
＋b
2
－c
2
cos C＝
2ab
111abc1
2.S
△ABC
＝
absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算
2224R2
R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形

关系式
解的个数
a＝bsin A
一解
bsin A两解



a≥b
一解
a>b
一解
a≤b
无解
知识点二 三角函数关系和射影定理
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

A＋BA＋B
CC
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2222
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cos A
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【典例
1
】

【
2019
年高考浙江卷】在
△ABC
中，
ABC90
，
AB4
，
BC3< br>，点
D
在线段
AC
上，若
BDC45
，则BD
___________
，
cosABD
_________ __
．

【答案】
122
72

，
510
【解析】如图，在
△ABD
中，由正弦定理有：
ABBD3π
,

，而
AB4,ADB
sinADBsinBAC4
AC=AB
2
+BC
2
=5
，
sinBAC
BC3AB4
122
.
,cosBAC
，所以
BDAC5AC5
5
ππ72
.
cosABDcos(BDCB AC)coscosBACsinsinBAC
4410

C5
【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
25
A．42
C.29
【答案】A
C5
【解析】∵cos＝，
25
C

5

2
－1＝－
3
. ∴cos C＝2cos
2
－1＝2×
25

5

B.30
D．25


－
3

＝32， 在△ABC 中，由余弦定理，得AB
2
＝AC
2
＋BC
2
－2AC·B C·cos C＝5
2
＋1
2
－2×5×1×

5

∴AB＝42.
π
B－

. 【举一反三】(2018·天津卷 )在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos


6

①求角B的大小；
②设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
ab
【解析】①在△ABC中，由正弦定理＝，
sin Asin B
可得bsin A＝asin B.
ππ
B－

，得asin B＝acos

B－

， 又由bsin A＝acos


6

6

π
B－

，可得tan B＝3. 即sin B＝cos


6

π
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
3
π
②在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
3
得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝7，故b＝7.
π
3
B－

，可得sin A＝. 由bsin A＝acos


6

7
因为a＜c，所以cos A＝
2
.
7
431
因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos
2
A－1＝.
77
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝
4311333
×－×＝.
727214
【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧
1.三角形解的个数的判断：已 知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对
角，该三角形具有不唯一性，通 常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三 角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判
断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元 二次方程根的情况判断解的个数。
考点二 判断三角形的形状

【典例2
】（福建省永安市第一中学2018-2019学年月考）在
ABC
中，角< br>A,B,C
的对边分别是
a,b,c
，
cos
2
Ab c

，则
ABC
的形状为（

）

22c

A
．直角三角形

C
．等腰直角三角形

【答案】
A
【解析】因为
cos
2
B
．等腰三角形或直角三角形

D
．正三角形

Abc1cosAbc

,
，所以
22c22c
ccosAb,sinCcosAsinBsin

AC

,sinAcosC0
,
因此
cosC0 ，C
【方法技巧】

2
，故选
A
。

1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变< br>形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉 公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注
意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函 数值的限制.
【变式
2
】（上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学 年期中）在
ABC
中，三个内角
A,B,C
所
对的边分别为
a,b,c
．已知
2acosBc
，且满足
sinAsinB(2co sC)sin
A
．锐角非等边三角形

C
．等腰直角三角形

【答案】
C
【解析】将已知等式
2acosBc
，利用正弦定理化简得：

2sinAcosBsinC

，

B
．等边三角形

D
．钝角三角形

2
C1


，则
ABC
为（ ）
22
QsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB
2sinAcosBsinAcosBcosAsinB
，即
sinAcosBc osAsinBsin(AB)0
，

因为
A
与
B
都为
ABC
的内角，

AB0
，即
AB
，

已知第二个等式变形得：sinAsinB(2cosC)
111
(1cosC)1cosC
，

222
11
[cos(AB)cos
(AB)](2 cosC)1
cosC
，

22
11
(cosC 1)(2cosC)1cosC
，

22
即
(cosC1 )(2cosC)
2cosC
，

整理得：
cos
2
C2cosC0
，即
cosC(cosC2)0
，

，

cosC0
或
cosC2
（舍去）

C90
，

则
ABC
为等腰直角三角形．

故选
C
。

考点三 与三角形面积有关的问题
△AB C
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
.若【典例3】【20 19年高考全国Ⅱ卷】
则
△ABC
的面积为_________．
【答案】
63

b6,a2c,B
π
3
，< br>222
【解析】由余弦定理得
bac2accosB
，所以
(2 c)
2
c
2
22cc
1
6
2
2
2
，即
c12
，
解得
c23,c23
（舍去），
所以
a2c43
，
S
△ABC

113
acsinB432363.< br>222
。
A＋C
＝
2
【举一反三】(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin
bsin A。
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围。
【解析】(1)由题设及正弦定理得
A＋C
sin Asin＝sin Bsin A.
2
A＋C
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
2
由A＋B＋C＝180°，可得sin
A＋C
BBBB
＝cos，故cos＝2si ncos.
22222
BB1
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°. < br>222
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S
△
ABC
＝
3
a.
4
csin A
sin（120°－C）
31
由正弦定理得a＝＝＝＋.
sin Csin C2tan C2
由于△ABC为锐角三角形，故0°由(1)知A＋C＝120°，

133
所以30°△
ABC
<.
282
因此，△ABC面积的取值范围是

33

。 ，
2

8
a
2
＋b
2
－c
2
【举一反三】 (2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△A BC的面积为，
4
则C＝( )
πππ
A. B. C.
234
【答案】C
a
2
＋b
2
－c
2
2abcos C11
【解析】∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，即tan C＝1.
2442
π
∵C∈(0，π)，∴C＝.
4
【方法技巧】
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角( 角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之
积，代入公式求面积． < br>(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图< br>形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【变式3】(2018·北京卷)若△ABC的面积为
取值范围是__________． < br>3a
2
＋c
2
－b
2
3
222
1< br>【解析】由已知得(a＋c－b)＝acsin B，所以＝sin B，由余弦定理得3cos B＝sin
422ac
csin C
B，所以tan B＝3，所以B＝60°，又 C＞90°，B＝60°，所以A<30°，且A＋C＝120°，所以＝＝
asin A
sin120°－A
1331c13
＝＋.又A<30°，所以0＜tan A<，即>3，所以>＋＝2.
sin A22tan A3tan Aa22
【答案】60° (2，＋∞)
考点四 平面图形中的计算问题
【典例 4】(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5 .
(1)求cos ∠ADB；
3
22
c
(a＋c－b
2
)，且∠C为钝角，则∠B＝__________；的
4a
π
D.
6

(2)若DC＝22，求BC.
BDAB
【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，
sin ∠Asin ∠ADB
即
52
＝，
sin 45°
sin ∠ADB
2
.
5
所以sin ∠ADB＝
由题设知，∠ADB＜90°，
所以cos ∠ADB＝
223
1－＝.
255
2
.
5
(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝
在△BCD中，由余弦定理，
得BC
2
＝BD
2
＋DC
2
－2BD·DC·cos ∠BDC
2
＝25＋8－2×5×22×＝25，
5
所以BC＝5。
【方法技巧】平面图形中计算问题的解题关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理 条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用
正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
【变式
4
】（黑龙江省哈尔滨市三中2018-2019学年期中）
ABC
的内角
A,B, C
的对边分别为
a,b,c
，
若
acosAbcosB0
，则
ABC
的形状一定是（

）

A
．直角三角形
B
．等边三角形

【答案】
D
【解析】由
acosAbcosB0
结合正弦定理，可得
sinAcos AsinBcosB0
，则
sin2Asin2B
.
所以
2 A2B
或
2A2Bπ
.
所以
AB
或
AB 
所以
△ABC
是等腰三角形或直角三角形，故选
D
。



C
．钝角三角形
D
．等腰三角形或直角三角形

π
，

2