工作简历范文-思想小结

2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

三
题 号 一 二 总 成 绩
13 14 15 16

得 分

评 卷 人

复 核 人

考生注意：1.本试卷共三大题（16小题），全卷满分150分. 考试时间：120分钟.
2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.
3.解题书写不要超出装订线.
4.不能使用计算器.

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

得 分 评卷人 本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，
其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填
在题的括号内. 每小题选对得6分；不选、选错或选出的
字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1. 已知函数
ysinx
，则 答：[ ]
（A）有最小正周期
2

（B）有最小正周期


（C）有最小正周期
2
2

（D）无最小周期
2
2
2. 关于
x
的不等式
xax 20a0
任意两个解的差不超过
9
，则
a
的最大值与最小值
的和是 答：[ ]
（A）
2
（B）
1
（C）
0
（D）
1

uuuruuur
uuur
3. 已知向量
a
、
b
，设
AB
a
2
b
，
BC5
a
6
b
，
CD7
a
2
b
，则一定共线的

三点是 答：[ ]
（A）
A
、
B
、
D
（B）
A
、
B
、
C

（C）
B
、
C
、
D
（D）
A
、
C
、
D




4. 设

、

、

为平面，
m
、
n
为直线，则
m

的一个充分条件是 答：[ ]
（A）



，

I

n
，
mn
（B）

I

m
，



，




< br>（C）



，



，
m

（D）
n

，
n

，
m


5. 若
m
、
nxxa
2
10
2
 a
1
10a
0
，其中
a
i


1
，，2
，并且
，2，3，4，5，6，7

，
i0 1

mn636
，则实数对
(m,n)
表示平面上不同点的个 数为 答：[ ]
（A）
60
个 （B）
70
个 （C）
90
个 （D）
120
个
6. 已知
f(x)x1x2Lx20 07x1x2Lx2007
（
x
R
）
，

2
且
f(a3a2)f(a1),
则a的值有 答：[ ]
（A）
2
个 （B）
3
个 （C）
4
个 （D）无数个

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

得 分 评卷人
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.

7. 设
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，若S
5
10
，
S
10
5
，则公差为 .
8. 设
f(x)log
a
(xb)
(a0
且< br>a1)
的图象经过点
(2，1)
，它的反函数的图象经过点
(2，8)
，则
ab
等于 .
2x
2
x1
)f(lg(x
2
6x20) )0
的 9. 已知函数
yf(x)
的图象如图，则满足
f(
2
x2x1
x
的取值范围为 .






10. 圆锥曲线
xy6x2y10xy30
的离心率是 .
22
y
O

1 x
11. 在
ABC
中，已知
tanB3
，
sinC
.
22
，
AC36
，则
ABC
的面积为
3

12. 设命题
P
:
aa
，命题
Q
: 对任何
x
R
，都有
x4ax10
. 命题
P
与
Q
中
有且仅有一个成立，则实数
a
的取值范围是 .

三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）
得 分 评卷人
13. 设不等式组

22

xy0，
表示的平面区域

xy0
为
D
. 区域
D
内的动点
P
到直线
xy0

0)
的直线
l
与 和直线
xy0
的距离之积为
2
. 记点
P
的轨迹为曲线
C
. 过点
F(22，
曲线
C
交于
A
、
B
两点. 若以线段
AB
为直径的圆与
y
轴相切，求直线
l
的斜率.













14. 如图，斜三棱柱
ABCA
1
B< br>1
C
1
中，面
AAC
11
C
是菱形，
ACC
1
60
，侧面
ABB
1
A
1
AAC

B
11
C
，
A
1
BABAC1
.
求证：（1）
AA
1
BC
1
；
（2）求点
A
1
到平面
ABC
的距离.


C

C
1

A
A
1

B
1

15. 已知 数列

a
n

中，
a
1
1
，< br>a
n3
a
n
3
，
a
n2
 a
n
2
. 求
a
2007
.

16. 已知平面上
10
个圆，任意两个都相交. 是否存在直线
l
，与每个圆都有公共点？证明
你的结论.

2007年江苏省高中数学联赛初赛
试题参考答案及评分标准

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．已知函数
ysinx
，则（ B ）.
（A） 有最小正周期为
2

（B） 有最小正周期为


（C） 有最小正周期为
解：
ysinx
2
2

（D） 无最小正周期
2
1
(1cos2x)
，则最小正周期
T

. 故选（B）．
2
22
2．关于
x
的不等式
xax20 a0
任意两个解的差不超过9，则
a
的最大值与最小值
的和是（ C ）.

（A） 2 （B） 1 （C） 0 （D）
1

22
解：方程
xax20a0
的两根是
x
1
4a
，
x
2
5a
，则由关于
x
的不等式

x
2
ax20a
2
0< br>任意两个解的差不超过
9
，得
|x
1
x
2
||9a|9
，即

1a1
. 故选（C）．
uuuruuur
uuur
3. 已知向量
a
、
b
，设
AB
a
2
b
，
BC5
a
6
b
，
CD7
a
2
b
，则一定共线
的三点是（ A ）.
（A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D
uuuruuuruuur
uuur
解 ：
BDBCCD2
a
4
b
2AB
，所以A、B、 D三点共线. 故选（A）．
4．设

、

、

为平面，
m
、
n
为直线，则
m

的一个充分条件 是（ D ）.
（A）



，

I

n
，
mn
（B）

I
< br>m
，



，




（C）



，



，
m

（D）
n

，
n

，
m


解：（A）选项缺少条件
m

；（B）选项当



，



时，
m

；（C）选项当 < br>
、

、

两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角 ），
m

I

时，
m

；
（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D）．
5. 若
m
、
nxxa
2
10
2
a
1< br>10a
0
，其中
a
i


1
， ，2
，并且
，2，3，4，5，6，7

，
i01

mn636
，则实数对
(m,n)
表示平面上不同点的个数为（ C ）
（A）
60
个 （B）
70
个 （C）
90
个 （D）
120
个
解：由
6514233
及题设知，个位数字的选择有5种. 因为
321

7610
，故
（1） 由
321
知，首位数字的可能选择有
2510
种；
（2） 由
37610
及
54123
知，首位数字的可能选择有
248
种.
于是，符合题设的不同点的个数为
5(108)90
种. 故选（C）． 6．已知
f(x)x1x2Lx2007x1x2Lx2007（
x
R
）
，

且
f(a3a2)f(a1),
则a的值有（ D ）.
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个
解：由题设知
f(x)
为偶函数，则考虑在
1x1
时，恒有

f(x)2(123L2007)20082007
．
2
所以当
1a3a21
，且
1a11
时，恒有
f( a3a2)f(a1)
．
2
2

由于不等式
1a3a21
的解集为
2
3535
a
，不等式
22
1a11
的解集为
0a2
．因此当
f(a
2
3a2)f(a1)
. 故选（D）．

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
35
a2
时，恒有 < br>2
7．设
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，若
S
5
10
，
S
10
5
，则公差为
d1
.
解：设等差数列

a
n

的首项为
a
1
，公差为
d
.
由题设得


5a
1
10d10，
即

10a
1
45d5，

a
1
2d2，
解之得
d1
.


2a
1
9d1，
8. 设
f(x)l og
a
(xb)
(a0
且
a1)
的图象经过点
(2，1)
，它的反函数的图象经过点
(2，8)
，则
ab
等于
4
.
解：由题设知


log
a
(2b)1，
化简得

log
a
(8b)2，

a
22，
（舍去）.

b4.

2

(2b)a，


2

(8b)a.

a
1
3，
解之得


b1；

1
故
ab
等于4.
2x
2
x1
)f(lg(x
2
6x20))0
的 9．已知函 数
yf(x)
的图象如图，则满足
f(
2
x2x1
x
的取值范围为
x[2，1)
．




O
1 x
y
（第9题）
解： 因为
lgx6x20lg(x3)11lg111
，所以

2< br>
2

lg

x
2
6x20

0
. 于是，由图象可知，
2x1x2
1
，即
0
，解得
x1x1
1)
．
2x1
. 故x的取值范围为
x[2，

10．圆 锥曲线
x
2
y
2
6x2y10|xy3|0
的离心率是
2
．
解：原式变形为
(x3)
2
( y1)
2
|xy3|
，即
(x3)
2
(y1)
2


2
|x y3|
2
．所以动点
(x,y)
到定点
(31)，
的 距离与它到直线
xy30
的距离
之比为
2
．故此动点轨迹为双曲线，离心率为
2
．
11． 在
ABC
中，已知
tanB3
，
sinC
22
，
AC36
，则
ABC
的面积为
3
S
ABC
8362
．
解：在
ABC
中，由
tanB3
得
B60
．由正弦定理得
AB
ACsinC
8
．
sinB
因为
arcsin
22
1
60
，所以 角
C
可取锐角或钝角，从而
cosC
．
3
3
23

．故
36
sinAsin(BC )sinBcosCcosBsinC
S
ABC

ACAB
sinA8362
．
2
22
12. 设命题
P
:
aa
，命题
Q
: 对任何
x
R
，都有
x4ax10
. 命题
P
与
Q
中有
且仅有一个成立，则实数
a
的取值范围是

11
a0
或
a1
.
22
解：由
aa
得
0a1
．由
x4ax10
对于 任何
x
R
成立，得
22
11
a
．因为命题
P
、
Q
有且仅有一个成立，故实数
22
11
a
的取值范围是
a0
或
a1
．
22
16a
2
40
，即


三、解答题（本题满分60分，每小题15分）
13. 设不等式组


xy0，
表示的平面区域为
D
. 区域
D
内的动点
P
到直线
xy0


xy0
0)
的直线 和直线
xy0
的距离之积为
2
. 记点
P
的轨迹为曲线
C
. 过点
F(22，
l
与曲 线
C
交于
A
、
B
两点. 若以线段
AB
为直径的圆与
y
轴相切，求直线
l
的斜率.

解：由题意可知，平面区域
D
如图阴影所示．
设动点为P(x,y)
，则
xy
2

xy
2
2< br>，即 y
x
2
y
2
4
．由
PD
知
xy0
，x－y<0，即x
2
－y
2
<0．
所以y
2
－x
2
＝4(y＞0)，即曲线
C
的方程为
y
2
x
2
－＝1(y＞0)．…………5分
44
O
x
x
1
x
2
y
1< br>y
2
，)
.
22
xx
2
1
因为以线段
AB
为直径的圆
L
与
y
轴相切，所以半径
rAB
1
，即
22
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则以 线段
AB
为直径的圆的圆心为
Q(
ABx
1
x
2
． ① …………10分
因为直线AB过点F(22，0)，
当AB  x轴时，不合题意．
所以设直线AB的方程为y＝k(x－22)．
y
2
x
2
代入双曲线方程－＝1(y＞0)得，
44k
2
(x－22)
2
－x
2
＝4，即(k
2< br>－1)x
2
－42k
2
x＋(8k
2
－4)＝0．
因为直线与双曲线交于A，B两点，
所以k≠±1．
8k
2
－4
42k
2
所以x
1
＋x
2
＝
2
， x
1
x
2
＝
2
．
k－1k－1
所以|A B|＝(x
1
－x
2
)
2
＋(y
1
－y< br>2
)
2
＝(1＋k
2
)[(x
1
＋x
2
)
2
－4x
1
x
2
]
＝(1 ＋k
2
)[

42k
2

2
－4
8k
2
－4
]＝|x＋x|＝|
42k
2
|，

k
2
－1

12
k
2
－1k
2
－1

化简得：k
4
＋2k
2
－1＝0，
解得k
2
＝2－1（k
2
＝－2－1不合题意，舍去）．
由△＝(42k
2
)
2
－4(k
2
－1) (8k
2
－4) ＝3k
2
－1＞0，
又由于y＞0，
所以－1所以k＝－
3
．
3
2－1 …………………15分
解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示．
|x＋y||x－y|

设动点P(x，y)，则＝2，
22
即|x
2
－y
2
|＝4．
由P∈D知：
x＋y＞0，x－y<0，即x
2
－y
2
<0．
y
O
x

所以y
2
－x
2
＝4(y＞0)．
y
2
x
2
即曲线C的方程为－＝1(y＞0)．…………5分 44
设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y2
)，
x
1
＋x
2
y
1
＋y
2
则以线段AB为直径的圆的圆心为Q(，)．
22
因为以线段AB为直径的圆与y轴相切，
x
1
＋x
2
1
∴半径r＝|AB|＝||．
22
即|AB|＝|x
1
＋x
2
|． ① …………………10分
因为直线AB过点F(22，0)，
当AB  x轴时，不合题意．
所以设直线AB的方程为y＝k(x－22)．
y
2
x
2
代入双曲线方程－＝1(y＞0)得，
44k
2
(x－22)
2
－x
2
＝4，即(k
2< br>－1)x
2
－42k
2
x＋(8k
2
－4)＝0．
因为直线与双曲线交于A，B两点，
所以k≠±1．
8k
2
－4
42k
2
所以x
1
＋x
2
＝
2
， x
1
x
2
＝
2
．
k－1k－1
所以|A B|＝(x
1
－x
2
)
2
＋(y
1
－y< br>2
)
2
＝(1＋k
2
)[(x
1
＋x
2
)
2
－4x
1
x
2
]
＝(1 ＋k
2
)[

42k
2

2
－4
8k
2
－4
]＝|x＋x|＝|
42k
2
|，

k
2
－1

12
k
2
－1k
2
－1

化简得：k
4
＋2k
2
－1＝0，
解得k
2
＝2－1（k
2
＝－2－1不合题意，舍去）．
由△＝(42k
2
)
2
－4(k
2
－1) (8k
2
－4) ＝3k
2
－1＞0，
又由于y＞0，
所以－1所以k＝－
3
．
3
2－1…………………………………………………………………………15分
14. 如图，斜三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1< br>中，面
AAC
11
C
是菱形，
ACC
1
 60
，侧面
ABB
1
A
1
AAC
11
C
，
A
1
BABAC1
.
求证：（1）
AA
1
BC
1
；
A
（2）求点
A
1
到平面
ABC
的距离.
证：（ 1）设
AA
1
中点为
D
，连
C
、
D
.
因为
A
1
BAB
，所以
BDAA
1< br>．因为面
C

B
A
1

B
1

C
1

（第14题）
ABB1
A
1
AA
1
C
1
C
，所以
BD
面
AA
1
C
1
C
．

又
ACC
1
为正三角形，
AC
1
C
1A
1
，所以
C
1
DAA
1
. 从而
BC
1
AA
1
． ………………6分
（2） 由（1），有
BDC
1
D
，
BC
1
CC
1
，
CC
1

面
C
1
DB
．设
A
1
到面
ABC
的
距离为
h
，则
1
hS
ABC
V
B CAC
1
V
BCDC
1
.
3
因为
A
1
V
CC
1
DB
CC
1
S
C
1
DB
，
3
所以
h
S
C
1
DB
S
ABC
．
B E C
又
C
1
DBD
，且
2S
C
1
DBC
1
DBDBD
2

设
ABC
的高为
AE
，则
3
.
4
35
1
， 22
BC
2
BC
1
2
CC
1
2< br>2BD
2
1
AE1
153

，
428
5315

.
284
2S
ABC

于是有
h
3
1 5

15
15
，即
A
1
到平面
ABC的距离为． ………………15分
5
5
15．已知数列

a
n

中，
a
1
1
，
a
n3< br>a
n
3
，
a
n2
a
n
2
. 求
a
2007
.
解：由题设，
a
n2
a
n
2
，则
a
2007
a
2005
2a
2003
22L a
1
210032007
. ………5分
由
a< br>n2
a
n
2
，得
a
n
a
n 2
2
，则
a
n3
a
n
3a
n2
23a
n2
1(n1)
. ………………10分
于是
a
2007
a
2006
1a
20 05
12a
2002
312a
1999
321 2

La
1
3668122007
，
所以 a
2007
=2007．
易知数列
a
1
1
，
a
2
2
，
L
，
a
n
n
符合本题要求． ………………15分 注意：猜得答案
a
n
n
或
a
2007
20 07
，给2分．
16．已知平面上
10
个圆，任意两个都相交．是否存在直 线
l
，与每个圆都有公共点？证
明你的结论．
解：存在直线
l
，与每个圆都有公共点．
证明如下：
如图，先作 直线
l
0
，设第
i
个圆在直线
l
0
上的正 投
影是线段
A
i
B
i
，其中
A
i
、
B
i
分别是线段的左右
端点．
A
1
A
2
A
k
B
m
B
2
B
1
10
个圆有
10
个投影线段，有
10
个左端点，有
10
个右端点． ………………5分
因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设
Ak
是最右边的左
端点，则所有右端点都在
A
k
的右边，否则必有 两条投影线段无重叠部分，与对应的两个
圆相交矛盾． ………………10分
再设
B
m
是最左边的右端点，同理所有左端点都在B
m
的左边.
A
k
与
B
m
不重合，线段
A
k
B
m
是任意一条投影线段的一部分，过线段
A
k
B
m
上某一点作直线
l
0
的垂线
l
，则
l
与
10

个圆都相交． ………………15分