果树苗木-让我感动

密……封……圈……内……不……能……答……题 密……封……圈……内……不……能……答……题
2019年河南省六市高考一模数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只
有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{0, 1}, B＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0, x∈Z}, 则A∪B＝（ ）
A．{﹣2, ﹣1, 0, 1}
2．（5分）
A．
﹣＝（ ）
B． C．i D．
B．{﹣1, 0, 1} C．{0, 1} D．{0}
3．（5分）某中学有高中生3000人, 初中生2000人, 男、女生所占的比例如图所示．为
了解学生的学习情况, 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本, 已知
从高中生中抽取女生21人, 则从初中生中抽取的男生人数是（ ）

A．12 B．15 C．20 D．21
4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著, 全书收集了246个问题及其解法, 其
中一个问题为“现有一根九节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面四节容积
之和为3升, 下面三节的容积之和为4升, 求中间两节的容积各为多少？”该问题中第
2节, 第3节, 第8节竹子的容积之和为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
5．（5分）已知p：a＝±1, q：函数f（x）＝ln（x+
（ ）
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
）为奇函数, 则p是q成立的
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

6．（5分）已知变量x、t满足约束条件, 则目标函数z＝3x﹣y的最大值是（ ）
A．﹣4
7．（5分）函数f（x）＝
B．﹣ C．﹣1 D．6
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
）与直线y＝3的交点的8．（5分）设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0, ω＞0, |φ|＜
横坐标构成以π为公差的等差数列, 且x＝是f（x）图象的一条对称轴, 则下列区
间中是函数f（x）的单调递减区间的是（ ）
A．[] B．[﹣] C．[] D．[﹣]
9．（5分）如图, “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形,
中间空出一个小正方形组成的图形, 若在大正方形内随机取一点, 该点落在小正方形
的概率为, 则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
10．（5分）已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
, 若S
2018
＞0, S
2019
＜0, 那么此数列中绝
第页（共21页）

2

对值最小的项为（ ）
A．a
1008
B．a
1009
C．a
1010
D．a
1011

11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示, 过该几何体最短两条棱的中点作平面α, 使
得α平分该几何体的体积, 则可以作此种平面α（ ）

A．恰好1个 B．恰好2个 C．至多3个 D．至少4个
12．（5分）已知抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F, 准线为l, P是l上一点, 直线PF与曲线
相交于M, N两点, 若
A． B．
＝3

, 则|MN|＝（ ）
C．10 D．11
二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分．
13．（5分）已知＝（1, ﹣1）, ＝（t, 1）, 若（+）∥（﹣）, 则实数t＝ ．
14．（5分）三棱锥P﹣ABC中, PA, PB, PC两两成90°, 且PA＝1, PB＝PC＝2, 则
该三棱锥外接球的表面积为 ．
15．（5分）已知双曲线＝1（b＞a＞0）, 焦距为2c, 直线l经过点（a, 0）和（0,
b）, 若（﹣a, 0）到直线l的距离为c, 则离心率为 ．
16．（5分）若函数f（x）＝mx+（m+sinx）cosx在（﹣∞, +∞）单调递减, 则m的取值
范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题, 共70分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知（b﹣sinC）cosA＝
sinAcosC, a＝2．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．
第页（共21页）

3

18．（12分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出, 将冰雪这个冷
项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程, 为了解学生对冰球运动
的兴趣, 随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查, 其中女生中对冰球运动有兴
趣的占, 而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成2×2列联表, 并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有
关”？

男
女
合计
有兴趣



没兴趣



合计
55


（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生, 其中3名对冰球有兴趣, 现在从这5
名学生中随机抽取3人, 求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：
P（K
2
≥k
0
）
k
0

0.150
2.072

19．（12分）如图, 在四棱锥P﹣ABCD中, 底面ABCD是矩形, PA⊥平面ABCD, PA＝
AD, BM⊥PD交PD于点M．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABM；
（Ⅱ）若PA＝AD＝2AB＝2, 求B到平面ACM的距离．
0.100
2.706
0.050
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635

20．（12分）已知椭圆
轴长为2．
第页（共21页）

4
+＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点F
1
, F
2
, 离心率, 短

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图, 点A为椭圆上一动点（非长轴端点）, AF
2
的延长线与椭圆交于B点, AO
的延长线与椭圆交于C点, 求△ABC面积的最大值．

21．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y＝g（x）对任意x满足g（x）＝f（4﹣x）, 求证：当x＞2, f（x）＞g（x）；
（3）若x
1
≠x
2
, 且f（x
1
）＝f（x
2
）, 求证：x
1
+x
2
＞4．
请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：
坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在平面直角坐标系中, 曲线C
1
：x
2
﹣y
2
＝2, 曲线C
2
的参数方程为
（θ为参数）．以坐标原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C
1
, C
2
的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中, 射线与曲线C
1
, C
2
分别交于A, B两点（异于极点O）,
定点M（3, 0）, 求△MAB的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣5．
（Ⅰ）解不等式：f（x）≥|x﹣1|；
（Ⅱ）当时x≥﹣1时, 函数g（x）＝f（x）+|x﹣m|恒为正值, 求实数m的取值范围．
第页（共21页）

5

2019年河南省六市高考一模数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只
有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{0, 1}, B＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0, x∈Z}, 则A∪B＝（ ）
A．{﹣2, ﹣1, 0, 1}
【解答】解：∵集合A＝{0, 1},
B＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0, x∈Z}＝{﹣1, 0},
∴A∪B＝{﹣1, 0, 1}．
故选：B．
2．（5分）
A．
﹣
﹣＝（ ）
B．
＝
．
C．i

D．
B．{﹣1, 0, 1} C．{0, 1} D．{0}
【解答】解：
＝
故选：D．
3．（5分）某中学有高中生3000人, 初中生2000人, 男、女生所占的比例如图所示．为
了解学生的学习情况, 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本, 已知
从高中生中抽取女生21人, 则从初中生中抽取的男生人数是（ ）

A．12 B．15 C．20 D．21
【解答】解：由扇形图得：
第页（共21页）

6

中学有高中生3000人, 其中男生3000×30%＝900, 女生3000×70%＝2100,
初中生2000人, 其中男生2000×60%＝1200, 女生2000×40%＝800,
用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本, 已知从高中生中抽取女生21
人,
则
解得n＝50,
∴从初中生中抽取的男生人数是：50×
故选：A．
4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著, 全书收集了246个问题及其解法, 其
中一个问题为“现有一根九节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面四节容积
之和为3升, 下面三节的容积之和为4升, 求中间两节的容积各为多少？”该问题中第
2节, 第3节, 第8节竹子的容积之和为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
＝12．
,
【解答】解：自上而 下依次设各节容积为：a
1
、a
2
、…、a
9
,
由题意得, ,
即, 得,
所以a
2
+a
3
+a
8
＝
故选：A．
（升）,
5．（5分）已知p：a＝±1, q：函数f（x）＝ln（x+
（ ）
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
【解答】解：函数f（x）＝ln（x+
则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+
解得 a＝1．
第页（共21页）

）为奇函数, 则p是q成立的
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
）为奇函数,
）+ln（x+）＝lna＝0,
7

∴p是q成立的必要不充分条件．
故选：B．
6．（5分）已知变量x、t满足约束条件, 则目标函数z＝3x﹣y的最大值是（ ）
A．﹣4 B．﹣ C．﹣1 D．6
【解答】解：画出满足条件的平面区域, 如图示：
,
由z＝3x﹣y得y＝3x﹣z,
显然直线过（2, 0）时z最大,
z的最大值是6,
故选：D．
7．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：此函数是一个奇函数, 故可排除C, D两个选项；
又当自变量从原点左侧趋近于原点时, 函数值为负, 图象在X轴下方,
当自变量从原点右侧趋近于原点时, 函数值为正, 图象在x轴上方, 故可排除B,
第页（共21页）

A选
8

项符合,
故选：A．
8．（5分）设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0, ω＞0, |φ|＜
横坐标构成以π为公差的等差数列, 且x＝
）与直线y＝3的交点的
是f（x）图象的一条对称轴, 则下列区
间中是函数f（x）的单调递减区间的是（ ）
A．[] B．[﹣] C．[] D．[﹣
＝π,
]
【解答】解：由题意可得, A＝3, 函数f（x）的周期为
解得ω＝2, 且A＝3,
再由2×
可得φ＝
+φ＝kπ+
,
）．
≤2kπ+, 解得kπ﹣
], k∈Z．
≤x≤kπ+
, k∈Z, 解得φ＝kπ+, 结合|φ|≤,
∴f（x）＝3sin（2x+
令2kπ﹣≤2x+,
故函数的增区间为[kπ﹣
故区间[﹣
故选：D．
, ﹣
, kπ+
]是函数的减区间．
9．（5分）如图, “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形,
中间空出一个小正方形组成的图形, 若在大正方形内随机取一点, 该点落在小正方形
的概率为, 则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ ）

第页（共21页）

9

A． B． C． D．
【解答】解：在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形的概率为,
不妨设大正方形面积为5, 小正方形面积为1,
∴大正方形边长为, 小正方形的边长为1．
, ∴四个全等的直角三角形的斜边的长是
较短的直角边的长是1, 较长的直角边的长是2,
故sinθ＝
故选：B．
10．（5分）已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
, 若S
2018
＞0, S
2019
＜0, 那么此数列中绝
对值最小的项为（ ）
A．a
1008
B．a
1009
C．a
1010
D．a
1011

,
【解答】解：∵S
2018
＞0, S
2019
＜0,
∴＞0, ＝2019a
1010
＜0,
∴a
1009
+a
1010
＞0, a
1010
＜0,
可得：a
1009
＞0, a
1010
＜0, |a
1009
|＞|a
1010
|,
由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为a
1010
,
故选：C．
11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示, 过该几何体最短两条棱的中点作平面α, 使
得α平分该几何体的体积, 则可以作此种平面α（ ）

A．恰好1个 B．恰好2个 C．至多3个 D．至少4个
【解答】解：几何体的直观图如图所示,
第页（共21页）

10

该几何体最短两条棱为PA和BC,
设PA和BC的中点分别为E, F,
则过E, F且平分几何体体积的平面α,
可能为：①平面PAF, 如下图：

②平面BCE, 如下图：

③平面EGFH（其中G, H为AC和PB的中点）,
第页（共21页）
如下图：
11

④平面EMFN（其中M, N为PC和AB的中点）, 如下图：

故满足条件的α至少有4个,
故选：D．
12．（5分）已知抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F, 准线为l, P是l上一点, 直线PF与曲线
相交于M, N两点, 若
A． B．
＝3

, 则|MN|＝（ ）
C．10 D．11
【解答】解：抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F（2, 0）, 准线为l：x＝﹣2, 设M（x
1
, y
1
）,
N（x
2
, y
2
）, M, N到准线的距离分别为d
M
, d
N
,
由抛物线的定义可知|MF|＝d
M
＝x
1
+2, |NF|＝d
N
＝x
2
+2, 于是|MN|＝|MF|+|NF|＝
x
1
+x
2
+4．
∵＝3,
, ∴直线AB的斜率为±
∵F（2, 0）,
∴直线PF的方程为y＝±
将y＝±
（x﹣2）,
（x﹣2）, 代入方程y
2
＝8x, 得3（x﹣2）
2
＝8x, 化简得3x
2
﹣20x+12＝0,
第页（共21页）
12

∴x
1
+x
2
＝
故选：B．
, 于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x
1
+x
2
+4＝+4＝．
二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分．
13．（5分）已知＝（1, ﹣1）, ＝（t, 1）, 若（+）∥（﹣）, 则实数t＝ ﹣
1 ．
【解答】解：根据题意, ＝（1, ﹣1）, ＝（t, 1）,
则+＝（1+t, 0）, ﹣＝（1﹣t, ﹣2）,
若（+）∥（﹣）, 则有0×（1﹣t）＝（1+t）×（﹣2）,
解可得t＝﹣1；
故答案为：﹣1．
14．（5分）三棱锥P﹣ABC中, PA, PB, PC两两成90°, 且PA＝1, PB＝PC＝2, 则
该三棱锥外接球的表面积为 9π ．
【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直, 它的外接球就是
它
扩展为长方体的外接球, 求出长方体的对角线的长：＝3,
所以球的直径, 2R＝3, 半径R＝, 球的表面积：S＝4π×R
2
＝9π．
故答案为：9π．
15．（5分）已知双曲线＝1（b＞a＞0）, 焦距为2c, 直线l经过点（a, 0）和（0,
b）, 若（﹣a, 0）到直线l的距离为
【解答】解：直线l的方程为
c, 则离心率为 ．
, 即为bx+ay﹣ab＝0,
c, c
2
＝a
2
+b
2
, （﹣a, 0）到直线l的距离为
可得：＝
c
2
,
c,
即有3ab＝
即9a
2
b
2
＝2c
4
, 即9a
2
（c
2
﹣a
2
）＝2c
4
,
第页（共21页）

13

9a
2c
2
﹣9a
4
﹣2c
4
＝0,
由于e＝, 则2e
4
﹣9e
2
+9＝0,
解得, e
2
＝3或e
2
＝．
由于0＜a＜b, 即a
2
＜b
2
, 即有c
2
＞2a
2
, 即有e
2
＞2,
则e＝或e＝
．
舍去．
故答案为：
16．（5分）若函数f（x）＝mx+（m+sinx）cosx在（﹣∞, +∞）单调递减, 则m的取值
范围是 （﹣∞, ] ．
, 【解答】解：f（x ）＝mx+（m+sinx）cosx＝mx+mcosx+
f′（x）＝m﹣msinx+cos2x ,
∵f（x）在（﹣∞, +∞）单调递减, ∴m﹣msinx+cos2x≤0,
即m（1﹣sinx）≤﹣cos2x在（﹣∞, +∞）上恒成立,
若1﹣sinx＝0, 则﹣cos2x＝1, 对于任意m∈R, 上式恒成立；
若1﹣sinx≠0, 则m≤
令sinx＝t（﹣1≤t≤1）,
则g（t）＝＝＝
, 即t＝1﹣
,
时,
＝在（﹣∞, +∞）上恒成立,
∵﹣1≤t＜1, ∴﹣2≤t﹣1＜0, 则当t﹣1＝
g（t）有最小值为
∴m．
]．
．
综上, m的取值范围是（﹣∞,
故答案为：（﹣∞, ]．
三、解答题：本大题共5小题, 共70分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知（b﹣sinC）cosA＝
sinAcosC, a＝2．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．
【解答】（本小题满分12分）
第页（共21页）

14

解：（Ι）因为（b﹣sinC）cosA＝sinAcosC,
所以bcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB,
所以＝1,
,
＝1, sinA＝cosA, 解得A＝．﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由正弦定理得
所以＝
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分 ）
（Ⅱ）由余弦定理a
2
＝b
2
+c
2
﹣2bc cosA, 得：b
2
+c
2
＝
因为b
2
+c< br>2
≥2ac．
所以bc+4≥2bc, 解得：bc≤2（2+
bc≤
）,
）＝．
bc+4,
所以S
△
ABC
＝bcsinA＝×2（2+
所以△ABC的面积的最大值为 +1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
18．（12分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出, 将冰雪这个冷
项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程, 为了解学生对冰球运动
的兴趣, 随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查, 其中女生中对冰球运动有兴
趣的占, 而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成2×2列联表, 并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有
关”？

男
女
合计
有兴趣



没兴趣



合计
55


（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生, 其中3名对冰球有兴趣, 现在从这5
名学生中随机抽取3人, 求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：
P（K
2
≥k
0
）
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
第页（共21页）

15

k
0

2.072

2.706 3.841 5.024 6.635
【解答】解：（1）根据已知数据得到如下列联表

男
女
合计
有兴趣
45
30
75
没有兴趣
10
15
25
合计
55
45
100
＝≈3.030 根据列联表中的数据, 得到K
2
＝
∵3.030＞2. 706所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C, 对冰球没有兴趣的2人为m、n, 则从
这5人中随机抽取3人, 共有（A, m, n）（B, m, n）（C, m, n）（A、B、m）（A、
B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）（A 、B、C）10种情况,
其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A、B、C）1种, 2人对冰球 有兴趣的情况有（A、
B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C 、n）6种,
所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种,
因此, 所求事件的概率．
19．（12分）如图, 在四棱锥P﹣ABCD中, 底面ABCD是矩形, PA⊥平面ABCD, PA＝
AD, BM⊥PD交PD于点M．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABM；
（Ⅱ）若PA＝AD＝2AB＝2, 求B到平面ACM的距离．

【解答】（本小题满分12分）
解：（Ι）证明：∵PA⊥平面ABCD, AB⊂平面ABCD,
∴PA⊥AB．
第页（共21页）

16

∵AB⊥AD, AD∩PA＝A, AD⊂平面PAD,
PA⊂平面PAD,
∴AB⊥平面PA D．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∵PD⊂平面PAD,
∴AB⊥PD．
∵BM⊥PD, AB∩BM＝B, AB⊂平面ABM, BM⊂平面ABM,
∴PD⊥平面ABM．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（Ⅱ）由（Ι）可得∴AM⊥PD．又PA＝AD
∴M是PD中点, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣（8分）
∴AM＝, CM＝＝, AC＝,
设B到平面ACM的距离为d,
∵V
M
﹣
ABC
＝V
B
﹣
ACM
,
∴
解得d＝
．
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

20．（12分）已知椭圆
轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图, 点A为椭圆上一动点（非长轴端点）, AF
2
的延长线与椭圆交于B点, AO
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17
+＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点F
1
, F
2
, 离心率, 短

的延长线与椭圆交于C点, 求△ABC面积的最大值．

【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得2b＝2, 解得b＝1, …（1分）
∵, a
2
＝b
2
+c
2
, ∴, c＝1,
．…（3分）
, , C（﹣1,
故椭圆的标准方程为
（Ⅱ）①当直线AB的斜率不存在时, 不妨取
）,
故：…（4分）
②当直线AB的斜率存在时, 设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）,
联立方程组,
化简得（2k
2
+1）x
2
﹣4k2
x+2k
2
﹣2＝0, …（5分）
设A（x
1
, y
1
）, B（x
2
, y
2
）, , , …（6分）
＝
＝, …（8分）
点O到直线kx﹣y﹣k＝0的距离＝
因为O是线段AC的中点, 所以点C到直线AB的距离为2d＝, …（9分）∴
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18

＝2…（11分）
综上, △ABC面积的最大值为
21．（12分）已知函数．
…（12分）
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y＝g（x）对任意x满足g（x）＝f（4﹣x）, 求证：当x＞2, f（x）＞g（x）；
（3）若x
1
≠x
2
, 且f（x
1
）＝f（x
2
）, 求证：x
1
+x
2
＞4．
【解答】解：（1）∵f（x）＝
令f'（x）＝0, 解得x＝2．
x
f'（x）
f（x）
（﹣∞, 2）
+
↗
2
0
极大值
（2, +∞）
﹣
↘
, ∴f'（x）＝．（2分）
∴f（x）在（﹣∞, 2）内是增函数, 在（2, +∞）内是减函数．（3分）
∴当x＝2时, f（x）取得极大值f（2）＝
（2）证明：,
．（4分）
,
∴F'（x）＝．（6分）
当x＞2时, 2﹣x＜0, 2x＞4, 从而e
4
﹣e
2x
＜0,
∴F'（x）＞0, F（x）在（2, +∞）是增函数．
∴．（8分）
（3）证明：∵f（x）在（﹣∞, 2）内是增函数, 在（2, +∞）内是减函数．
∴当x
1
≠x
2
, 且f（x
1
）＝f（x
2
）, x
1
、x
2
不可能在同一单调区间内．
不妨设x
1
＜2＜x
2
, 由（2）可知f（x
2
）＞g（x
2
）,
又g（x
2
）＝f（4﹣x
2
）, ∴f（x
2
）＞f（4﹣x
2
）．
∵f（x
1
）＝f（x
2
）, ∴f（x
1
）＞f（4﹣x
2
）．
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∵x
2
＞2, 4﹣x
2
＜2, x
1
＜2, 且f（x）在区间（﹣∞, 2）内为增函数,
∴x
1
＞4﹣x
2
, 即x
1
+x
2
＞4．（12分）
请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：
坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在平面直角坐标系中, 曲线C
1
：x
2
﹣y
2
＝2, 曲线C
2
的参数方程为
（θ为参数）．以坐标原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C
1
, C
2
的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中, 射线与曲线C
1
, C
2
分别交于A, B两点（异于极点O）,
定点M（3, 0）, 求△MAB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C
1
：x
2
﹣y< br>2
＝2,
∴曲线C
1
的极坐标方程为：ρ
2
c os
2
θ﹣ρ
2
sin
2
θ＝2, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∵曲线C
2
的参数方程为（θ为参数）．
∴ 曲线C
2
的普通方程为：（x﹣2）
2
+y
2
＝4, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴x
2
+y
2
﹣4x＝0, < br>∴曲线C
2
的极坐标方程为ρ＝4cosθ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A的极坐标为（2,
点B的极坐标为（2
∴|AB|＝|2﹣2|＝2
,
）, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
）, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
﹣2, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
（ρ≥0）的距离为d＝3sin＝, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣M（3, 0）点到射线
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∴△MAB的面积为：
S
△
MAB
＝|AB|d＝
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣5．
（Ⅰ）解不等式：f（x）≥|x﹣1|；
（Ⅱ）当时x≥﹣1时, 函数g（x）＝f（x）+|x﹣m|恒为正值, 求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）|2x+2|﹣5≥|x﹣1|等价于
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20
＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

或或,
解得x≤﹣8或x∈∅或x≥2,
综上所述, 不等式f（x）≥|x﹣1|的解集为（﹣∞, ﹣8]∪[2, +∞）；
（Ⅱ）当m＝﹣1时, 则g（x）＝|2x+2|﹣5+|x＝1|＝3|x+1|﹣5＝3x﹣2＞0,
只需g（﹣1）＝﹣3﹣2＞0, 不可能！
当m＞﹣1时, g（x）＝|2x+2|+|x﹣m|﹣5＝|x﹣m|+2x﹣3＝,
要使函数g（x）＝f（x）+|x﹣m|恒为正值,
则g（x）
min
＝g（﹣1）＝﹣1+m﹣3＞0, 可得m＞4,
当m＜﹣1时, g（x）＝|2x+2|+|x﹣m|﹣5＝3x﹣m﹣3＞0恒成立,
只需要g（x）
min
＝﹣3﹣m﹣3＞0, 可得m＜﹣6,
综上所述, 实数m的取值范围是（﹣∞, ﹣6）∪（4, +∞）．

注 意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
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