幽默搞笑短信-低碳生活论文

2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）

一、选择题： 本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的 ．
1．（5分）已知集合
A{x|x
2
40}
，
B {x|32x6}
，则
A
I
B(

)

3
A．
(,2)

2
B．
(2,2)

3
C．
(,3)

2
D．
(2,3)

2．（5分）复数
z
1
2i
，若复数
z
1，
z
2
在复平面内的对应点关于虚轴对称，则
z
1
z< br>2
(

)

A．
5
B．5 C．
34i
D．
34i

3．（5分）下列函数中，在其定 义域内既是偶函数又在
(,0)
上单调递增的函数是
(

)

A．
f(x)x
2
B．
f(x)2
|x|
C．
f(x)log
2
1

|x|
D．
f(x)sinx

r
r
r
r
r
r
r
r
4．（5分）已知向量
a
，
b
，其中
|a|2,|b|2
，且
(ab)a
，则
a
与
b
的夹角是
(

)

A．


6
B．


4
C．


2
D．


3
5．（5分）为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进
行模排 ，各年龄段男、女生人数如表．已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁
50
岁
女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取
的女 居民人数为
(

)


女生
男生
A．24
1岁
20
岁
373
377
B．16
20岁
50
岁 50岁以上
X

370
C．8
Y

250
D．12
6．（ 5分）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一
个刍童的三视图， 其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则
该刍童的体积为
(
)

第1页（共21页）

A．
100

3
B．
104

3
C．27 D．18
7．（5分）已知
2sin(

)3
，则
sin2

(

)

4
A．
1

2

B．
3

2
1
C．


2
D．

3

2
8．（5分）已知数列
{ a
n
}
为等差数列，前
n
项和为
S
n
，且
a
5
5
，则
S
9
(

)

A．25 B．90 C．50 D．45
3x
3
9 ．（5分）函数
f(x)
|x|
的大数图象为
(

)

44
A．
B．
C．
D． 2

，
3
a
，
c
分别是角
A
，
B
，10．（5分）在三角形
ABC
中，若
b1
，b
，
C
的对边，
c3,C
则
S
ABC< br>(

)

A．
3


B．
3

4
C．
第2页（共21页）
3

2
D．
3

4

x
2y
2
11．（5分）已知椭圆
2

2
1(ab0 )
的两焦点分别是
F
1
，
F
2
，过
F1
的直线交椭圆于
P
，
ab
Q
两点，若
|PF
2
||F
1
F
2
|
，且
2|PF
1
|3|QF
1
|
，则椭圆的离心率为
(

)

3
A．
5
B．
4

5
C．
3

4
D．
32

512．（5分）已知定义在
R
上的函数满足
f(x2)f(x)
，
x(0
，
2]
时，
f(x)xsin

x< br>，
则

f(i)(

)

i1
2020
A．6 B．4 C．2 D．0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
0

2xy1
…

13．（5分）设
x
，
y
满足约束条件

2xy7
„
0
，则
z2x3y
的最小值为 ．

2x3y5
…
0

14．（5分）如图，
yf(x)
是可导函数，直线
l:ykx2
是曲线
yf(x)在
x3
处的切线，
令
g(x)xf(x)
，其中
g (x)
是
g(x)
的导函数，则
g
（3）

．

x
2
y
2
15．（5分）已知双曲线的方程为
2

2
1(a0,b0)
，双曲线的一个焦点到一条渐近线
ab
的距离为
5
，则双曲线的离心率为 ．
c(c
为双曲线的 半焦距长）
3
16．（5分）如图所示，某住宅小区内有一正方形草地
ABCD
，现欲在其中修建一个正方形
花坛
EFGH
，若已知花坛面积为正方形草地面积的< br>2
，则


．
3

第3页（共21页）

三、解答题：共70分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共60分）
17．（12分）记
S
n
为等比数列
{a
n
}
的前
n
项和，a
1
8
，
S
3
2(a
2
3)< br>．
（1）求
{a
n
}
的通项公式；
（2）已知< br>T
n
a
1
a
2
a
n
，求
T
n
的最大值．
18．（12分）在直三棱柱
ABCA
1B
1
C
1
中，
ABACAA
1
3
，
BC2
，
D
是
BC
的中点，
F
是< br>C
1
C
上一点．
（1）当
CF2
，求证：
B
1
F
平面
ADF
；
（2）若
FDB1
D
，求三棱锥
B
1
ADF
体积．
19．（12分）某种植物感染

病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗
病毒的
制剂，现对20株感染了

病毒的该植株样本进行喷雾试验测试 药效．测试结果分“植株
死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：mg)
进行统
计．规定：植株吸收在
6mg
（包括
6mg)以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20
株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株 ，对制剂吸收量统计得下表．已知“植
株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．
编号
吸收量
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9
(mg)

（1）完成以
22
下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过
1%
的前提下，认为“植
株的存活” 与“制剂吸收足量”有关？
第4页（共21页）

植株存活
植株死亡
合计
吸收足量



吸收不足量
1


合计


20
（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株 中恰有1株“植株
存活”的概率．
参考数据：
P(K
2
…k)

0.15
2.072
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005 0.001
k

2
7.879 10.828
n(adbc)
2
K
，其中
nabcd
(ab)(cd)(ac)(bd)
20．（12分）已知动点
M
到定点
F(1,0)
的距离比
M
到定直线
x2
的距离小1．
（Ⅰ）求点
M
的轨迹
C
的方程；
（Ⅱ）过点
F< br>任意作互相垂直的两条直线
l
1
，
l
2
，分别交曲线
C
于点
A
，
B
和
M
，
N
．设
线段
AB
，
MN
的中点分别为
P
，
Q
，求证：直线
PQ
恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求
FPQ
面积的最小值．
21．（12分）设函数
f(x)
x
ax
．
lnx< br>（1）若函数
f(x)
在
(1,)
上为减函数，求实数
a
的最小值；
（2）若存在
x
1
，
x
2
 [e
，
e
2
]
，使
f(x
1
)„f(x
2
)a
成立，求实数
a
的取值范围．
（二）选考题：共 10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做
的第一题记分．[选修4-4 ：坐标系与参数方程]

x1cos

(

为参数） 22．（10分）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为< br>C
1
:

，曲线
ysin


x
2
C
2
:y
2
1
．
2
（Ⅰ ）在以
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求
C
1
，
C
2
的极坐标方程；
（Ⅱ）射线



6
(

…0)
与
C
1
的异于极点的交 点为
A
，与
C
2
的交点为
B
，求
|AB|
．
[选修4-5：不等式选讲]
第5页（共21页）

23．已知关于
x
的不等式
|x2||x3 |…|m1|
有解，记实数
m
的最大值为
M
．
（1）求
M
的值；
（2）正数
a
，
b
，
c
满足
a2bcM
，求证：

11

…
1
．
abbc
第6页（共21页）

2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在 每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合
A {x|x
2
40}
，
B{x|32x6}
，则
A
I
B(

)

3
A．
(,2)

2
B．
(2,2)

3
C．
(,3)

2
D．
(2,3)

3
【解答】解：
Q
A{x|2x2},B{x|x3}，
2

A
I
B(,2)
．
3
2
故选：
A
．
2．（5分）复数
z
1
2i
，若复数
z
1
，
z
2
在复平面内 的对应点关于虚轴对称，则
z
1
z
2
(

)

A．
5
B．5 C．
34i
D．
34i

【解答】解：由题意可知
z
2
2i
，
所以
z
1
z
2
(2i)(2i)415
．
故选：
A
．
3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在
(,0)
上单调递增的函数是
(

)

A．
f(x)x
2
B．
f(x)2
|x|
C．
f(x)log
2
1

|x|
D．
f(x)sinx

【解答】解：
f(x) x
2
，
f(x)2
|x|
在
(,0)
单调递 减；
f(x)log
2
1
1
是偶函数，且
x0
时，
f(x)log
2
()
是复合函数，在
(,0)上单调递增，
|x|
x
所以
C
正确；
f(x)sinx
在定义域
R
上是奇函数．
故选：
C
．
r
r
r
r
r
rr
r
4．（5分）已知向量
a
，
b
，其中
|a |2,|b|2
，且
(ab)a
，则
a
与
b
的夹角是
(

)

A．


6
B．


4
C．


2
D．


3
r
r
r
r
【解答】解：由
|a|2,|b|2
，且
(ab)a
，
第7页（共21页）

r
2
r
r
r
r
r
所以
(ab)
g
a0
，即< br>ab
g
a0
，
r
r
r
2
所以
a
g
ba2
，
r
r
a
g
b22
r

所以
co s


r
；
2
|a||b|
22
又

[0
，

]
，
所以



4
，
r
r

即
a
与
b
的夹角是．
4
故选：
B
．
5．（5分）为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻 击战，某小区对小区内的2000名居民进
行模排，各年龄段男、女生人数如表．已知在小区的居民中随 机抽取1名，抽到20岁
50
岁
女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全 小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取
的女居民人数为
(

)


女生
男生
A．24
1岁
20
岁
373
377
B．16
20岁
50
岁 50岁以上
X

370
C．8
Y

250
D．12
【解答】解：由题意20~50
岁内女性有
20000.19380
（人
)
，即
X380
，
所以50岁以上女性有
Y200037338037 7370250250
（人
)
，
用分层抽样法在全区抽取64名居民 ，应在50岁以上抽取的女居民人数为
64
250
8
（人
200 0
)
．
故选：
C
．
6．（5分）我国古代《九章算术》 将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一
个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰 梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则
该刍童的体积为
(

)

第8页（共21页）

A．
100

3
B．
104

3
C．27 D．18
【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，
1104
该刍薨的体积为
V(436436)2
，
33
故选：
B
．

7．（5分）已知
2sin( 

)3
，则
sin2

(

)

4
A．
1

2

B．
3

2
1
C．


2
D．

3

2

3

【解答】解：由
2sin(

)3
，得
sin(
< br>)
，
42
4

31
sin2
cos(2

)[12sin
2
(

) ][12]
．
2442
故选：
A
．
8．（5 分）已知数列
{a
n
}
为等差数列，前
n
项和为
S
n
，且
a
5
5
，则
S
9
(< br>
)

A．25 B．90 C．50 D．45
【解答】解：根据题意，数列
{a
n
}
为等差数列，
则< br>S
9

(a
1
a
9
)92a
5
9
9a
5
45
，
22
故选：
D
．
3x
3
9．（5分）函数
f(x)
|x|
的大数图象为
(

)

44
A．


第9页（共21页）

B．
C．
D．
【解答】解：由题意，可知：

xR
，
3(x)
3
3x
3
f(x)|x|

|x|
f(x)
，
4444

函数
f(x)
为奇函数，故排除
C
、
D
选项； < br>1
3
g
13
又
Q
f()
1
80
．
216
4
2
4
故只有
A
选项的图象正确．
故选：
A
．
a
，
c
分别是角
A
，
B
，10．（5分）在三角形
ABC
中，若
b1
，b
，
C
的对边，
c3,C
2

，
3
则
S
ABC
(

)

A．
3
B．
3

4
C．
3

2
D．
3

4
a
2
b
2
c
2
【解答】解：由余弦定理可得，
cosC
，
2ab1a
2
13
即

，解可得
a1
， < br>22a
1133
则
S
ABC
absinC11< br>．

2224
故选：
B
．
x
2
y
2
11．（5分）已知椭圆
2

2
1(ab0)< br>的两焦点分别是
F
1
，
F
2
，过
F
1
的直线交椭圆于
P
，
ab
第10页（共21页）

Q
两点，若
|PF
2
||F
1
F
2
|
，且
2|PF
1
|3|QF
1< br>|
，则椭圆的离心率为
(

)

3
A．
5
B．
4

5
C．
3

4
D．
32

5
【解答】解：由题意作图如右图，
l
1
，
l
2
是椭圆的准线，设点
Q(x
0
，
y
0
)
，
Q2|PF
1
|3|QF
1
|
，

点
P(c
5
2
33
x
0
，
y
0
)
；
22
又
Q|PF
1
|
cc|MP|
，
|QF
1
||QA|
，
aa
2|MP|3|QA|
，
53a
2
a
2
又
Q|MP|cx
0

，
|QA|x
0< br>
，
22cc
a
2
53a
2
3(x0
)2(cx
0
)
，
c22c
5c
2
a
2
解得，
x
0

，
6cQ|PF
2
||F
1
F
2
|
，
53a
2
c
(cx
0
)2c
；
22ca
5c
2
a
2
将
x
0

代入化简可得，
6c
3a
2
5c
2
8ac0
，
cc
即
5()
2
830
；
aa
解得，
c3
c
1
（舍去）或

；
a5
a
故选：
A
．
第11页（共21页）

12．（5分）已知定义在
R
上的函数满足f(x2)f(x)
，
x(0
，
2]
时，
f( x)xsin

x
，
则

f(i)(

)

i1
2020
A．6 B．4 C．2 D．0
【 解答】解：因为
x(0
，
2]
时，
f(x)xsin

x
，所以
f
（1）
1sin

1
，
f
（2）
2sin2

2
，
因为
f(x2)f(x)
，所以
f(0)f
（2）
2
，
f(1)f
（1）
1
，
所以
f(1)f( 0)f
（1）
f
（2）
0
．
因为
f(x 2)f(x)
，将
x
换为
x2
，则
f(x4) f(x2)
，所以
f(x)f(x4)
，即函
数的周期为4，
所以

f(i)505[f(1)f(0)f
（1）
f
（2）
]0
．
i1
2020
故选：
D
．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
0

2xy1
…

13．（5分）设
x
，
y
满足约束条件

2xy7
„
0
，则
z2x3y
的最小值为
5
．

2x3y5
…
0

0< br>
2xy1
…

【解答】解：作出
x
，
y
满足约束条件

2xy7
„
0
的可行域，

2x3y5
…
0

第12页（共21页）

当直线
z2x3y
经过点
A(2,3)
时，
z
min
22335
．
故答案为：
5
．

14．（5分）如图，
yf(x)
是可导函数，直线
l:ykx2
是曲线
yf(x)
在
x3
处的切线，
令
g(x)xf(x)
，其中
g(x)
是
g(x)
的导函数，则
g
（3）

0 ．

【解答】解：
Q
直线
l:ykx2
是曲线
y f(x)
在
x3
处的切线，
f
（3）
1
，
又点
(3,1)
在直线
l
上，
1
3k21
，从而
k
，
3
1
f
（3）
k
，
3
Qg(x)xf(x)
，
g(x)f(x)xf(x)

1
则
g
（3）
f
（3）
3f
（3）
13()0

3
故答案为：0．
x
2
y
2
15．（5分）已知 双曲线的方程为
2

2
1(a0,b0)
，双曲线的一个焦点 到一条渐近线
ab
第13页（共21页）

5
3
，则双曲线的离心率为 ．
c(c
为双曲线的半焦距长）< br>3
2
x
2
y
2
【解答】解：双曲线
2

2
1
的渐近线方程为
bxay0
，焦点坐标为
( c,0)
，其中
ab
的距离为
ca
2
b
2< br>

一个焦点到一条渐近线的距离为
d
|bc|
a
2
b
2

5
5
c
，即
bc
，
3
3
2c3
因此，
ac
2
b
2< br>c
，由此可得双曲线的离心率为
e

3a2
故答案为：
3

2
16．（5分）如图所示，某住宅 小区内有一正方形草地
ABCD
，现欲在其中修建一个正方形
花坛
EFGH< br>，若已知花坛面积为正方形草地面积的
2
，则



arctan(23)
．
3

【解答】解：设
CG x
，
FCy(xy)
，则
FGx
2
y
2< br>，
BCxy
．
Q
花坛面积为正方形草地面积的
2
，
3
x
2y
2
2


，即
x
2
y
2
4xy0
．
2
(xy)3
x4x
()
2
10
． < br>yy
解得
xx
23
或
23
（舍
)< br>．
yy


arctan(23)
．
故答案为
arctan(23)
．
三、解答题：共70分，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为 选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共60分）
第14页（共21页）

17．（12分）记
S
n
为等比数列
{a
n
}
的前
n
项和，
a
1
8
，< br>S
3
2(a
2
3)
．
（1）求
{a
n
}
的通项公式；
（2）已知
T< br>n
a
1
a
2
a
n
，求
T
n
的最大值．
【解答】解：（1）设
{a
n
}
的公比为
q
，由题意得：
a
1
a
3
a
2
6

所以
88q
2
8q6
，即
4q2
4q10

则
q
1
．
2
1
所以
a
n
8()
n1
2
4n
．
2
（2）
T
n
a
1
a
2
 a
n
2
321(4n)
2
(7n)n
2
，
当
n3
或4时，
T
n
取得最大值，且
(T
n
)
max
64
．
18．（12分）在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
ABAC AA
1
3
，
BC2
，
D
是
BC
的中点，
F
是
C
1
C
上一点．
（1）当
CF2
，求证：
B
1
F
平面
ADF
； （2）若
FDB
1
D
，求三棱锥
B
1
AD F
体积．

【解答】（1）证明：
QABAC
，
D是
BC
的中点，
ADBC
．
在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
QB
1
B
底面
ABC
，
AD
底面ABC
，
ADB
1
B
．
QBC
I
B
1
BB
，
AD
平面
B
1
BCC
1
．
第15页（共21页）

QB< br>1
F
平面
B
1
BCC
1
，
AD B
1
F
．

（3分）
在矩形
B
1
BCC
1
中，
QC
1
FCD1< br>，
B
1
C
1
CF2
，
RtDCFRt
△
FC
1
B
1
．
CFDC
1
B
1
F
．
B
1
F D90
，
B
1
FFD
．
QAD
I
FDD
，
B
1
F
平面
ADF
．
 
（6分）
（2）解：
QAD
面
B1
DF
，
AD22
，
又
B
1
D 10
，
CD1
，

（8分）
QFDB
1
D
，
RtCDF∽Rt
△
BB
1
D
，

DFCD
．

B
1
D BB
1
1
3
10

（10分）
3
11
32
10102
．
（12分）
1022
39

DF10

V
B
1
ADF
S
V
B
1
DF
g
AD
1
3
19．（12分）某种植物感染

病毒极 易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗

病毒的
制剂，现对20株感染了

病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株
死亡”和“植株存活”两个结 果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：
mg)
进行统
计．规定：植株吸收在6mg
（包括
6mg)
以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20
株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植
株存活”但“制 剂吸收不足量”的植株共1株．
编号
吸收量
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9
(mg)

（1）完成以
22
下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过
1%的前提下，认为“植
株的存活”与“制剂吸收足量”有关？

植株存活
植株死亡
吸收足量
12

吸收不足量
1

第16页（共21页）

合计

合计

20
（2）若在该样本“制 剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株
存活”的概率．
参考数据：
P(K
2
…k)

0.15
2.072
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005 0.001
k

2
7.879 10.828
n(adbc)
2
，其中
nabcd

K(ab)(cd)(ac)(bd)
【解答】解：（1）由题意可得“植株存活”的13株 ，“植株死亡”的7株；
“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，
填写列联表如下：

植株存活
植株死亡
合计
吸收足量
12
3
15
吸收不足量
1
4
5
合计
13
7
20
4
分
20(12431)
2
计算
K5.9346.635
，
137155
2
所以不能在犯错误概率不超过
1%
的前提下， 认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；
8
分
（2）样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株，
设事件
A
：抽取的3株中恰有1株存活，
记存活的植株为
a
，死亡的植株分别为
b
1
，
b
2
，
b
3
，
b
4
；
则选取的3株有以下情况：
{a
，b
1
，
b
2
}
，
{a
，
b< br>1
，
b
3
}
，
{a
，
b
1
，
b
4
}
，
{a
，
b
2
，
b
3
}
，
{a
，
b
2
，b
4
}
，
{a
，
b
3
，
b< br>4
}
，
{b
1
，
b
2
，
b
3
}
，
{b
1
，
b
2
，
b
4
}
，
{b
1
，
b
3
，
b
4
}
，
{b
2
，
b
3
，b
4
}

共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种；
所 以
P(A)
63

．
12
分
105
20．（12分）已知动点
M
到定点
F(1,0)
的 距离比
M
到定直线
x2
的距离小1．
第17页（共21页）

（Ⅰ）求点
M
的轨迹
C
的方程；
（Ⅱ）过点
F< br>任意作互相垂直的两条直线
l
1
，
l
2
，分别交曲线
C
于点
A
，
B
和
M
，
N
．设
线段
AB
，
MN
的中点分别为
P
，
Q
，求证：直线
PQ
恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求
FPQ
面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ） 由题意可知：动点
M
到定点
F(1,0)
的距离等于
M
到定 直线
x1
的距离，
根据抛物线的定义可知，点
M
的轨迹
C
是抛物线．

（2分）
Qp2
，

点
M
的轨迹< br>C
的方程：
y
2
4x
．

（3分） 证明：（Ⅱ）设
A
，
B
两点坐标分别为
(x
1
，
y
1
)
，
(x
2
，
y
2
)
，
则点
P
的坐标为
(
yy
2
x< br>1
x
2
，
1
)
．
2
2
由题意可设直线
l
1
的方程为
yk(x1)
，
(k0 )
，

y
2
4x
由

，得
k
2
x
2
(2k
2
4)xk
2
0< br>．

yk(x1)
△
(2k
2
4)
2
4k
4
16k
2
160
．

（5分）
Q
直线
l
1
与曲线
C
于
A，
B
两点，

x
1
x
2
2
44
，．
yyk(xx2)
1212
k
2
k

点
P
的坐标为
(1
2
2
，
)
．

（6分）
2
k
k
1
由题知，直线
l
2
的 斜率为

，同理可得点
Q
的坐标为
(12k
2
，
2k)
．

（7分）
k
当
k1
时 ，有
1
2
12k
2
，
2
k
此时直 线
PQ
的斜率
k
PQ
2
2k
k
k
．

（8分）

2
2
1k
1
2
12k
2
k
k
(x12k
2
)
，
2
1k

直线
PQ
的方程为
y2k
整理得
yk
2
(x3)ky0
．
于是，直线
PQ
恒过定点
E(3,0)
，
当
k 1
时，直线
PQ
的方程为
x3
，也过点
E(3,0)< br>．
第18页（共21页）

综上所述，直线
PQ
恒过定点
E(3,0)
．

（10分）
解：（Ⅲ）由题意得
|EF|2
，
12
FPQ
的面积
S|EF|(2|k|)…4
．
2|k|
当且仅当
k1
时，“

”成立，
FPQ
面积的最小值为4．

（12分）
21．（12分）设函数
f(x)
x
ax
．
lnx< br>（1）若函数
f(x)
在
(1,)
上为减函数，求实数
a
的最小值；
（2）若存在
x
1
，
x
2
 [e
，
e
2
]
，使
f(x
1
)„f(x
2
)a
成立，求实数
a
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ ）由已知得
f(x)
的定义域为
(0
，
1)

(1
，
)
，
Qf(x)
在
(1,)
上为减函数，
f(x)a< br>a„
lnx1
„0
在
(1,)
上恒成立，
(lnx)
2
1111
2
1
()
， (lnx)
2
lnxlnx24
11
2
1
)
，
lnx24
令
g(x)(
故当
11

，即
xe
2
时，
lnx2
1
11
g(x)
的最小值为

，
a„
，即
a…

4
44
a
的最小值为
1
．
4
（Ⅱ）命 题“若存在
x
1
，
x
2
[e
，
e
2
]
，使
f(x
1
)„f(x
2
)a
成立”，
等价于“当
x[e
，
e
2
]
时，有
f(x)
min
„f(x)
max
a
”，
由 （Ⅰ）知，当
x[e
，
e
2
]
时，
lnx[1
，
2]
，
f(x)a
lnx111
2
1
()a
，
(lnx)
2
lnx24
1
，
4
1
”，
4
11
[
，
1]
，
lnx2
f(x )
max
a
问题等价于：“当
x[e
，
e
2
]
时，有
f(x)
min
„
①当
a„
则
f(x)
min

1
1
，即
a…
时，由 （Ⅰ），
f(x)
在
[e
，
e
2
]
上为减 函数，
4
4
22
e
2
1
f(e)ae„
，
24
第19页（共21页）

a„
11
，

2
4e2
11
a…
2
．
24e< br>11
1
②当
a0
，即
0a
时，
Qx[e
，
e
2
]
，
lnx[
，
1 ]
，
42
4
lnx1
2
e]
上为增函数， ， 由复合函数的单调性知在，
Qf(x)a
f(x)[e
(lnx)
2

存在唯一
x
0
(e,e
2
)
，使< br>f(x
0
)0
且满足：
f(x)
min
f( x
0
)ax
0

x
0
，
lnx0
要使
f(x)
min
„
11111
1
，a„
，
4x
0
lnx
0
424
4
1
与
a0
矛盾，
4
1
a0
不合题意．
4
11
综上，实 数
a
的取值范围为
[
2
，
)
．
2 4e
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做
的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

x1cos

(

为参数）22．（10分）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
C
1
:

，曲线
ysin< br>

x
2
C
2
:y
2
1
．
2
（Ⅰ）在以
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴的极坐 标系中，求
C
1
，
C
2
的极坐标方程；
（Ⅱ）射 线



6
(

…0)
与
C1
的异于极点的交点为
A
，与
C
2
的交点为
B
，求
|AB|
．

x1cos

(

为参数）可化为普通方程：
(x1)
2
y
2
1， 【解答】解：（Ⅰ）曲线
C
1
:


ysin< br>

x

cos

由

可得曲线
C
1
的极坐标方程为

2cos

，曲线
C
2
的极坐标方程为
y

sin



2
(1sin
2

)2
．
（Ⅱ）射线

射线



6
(

…0 )
与曲线
C
1
的交点
A
的极径为

12cos

6
3
，

6
(
< br>…0)
与曲线
C
2
的交点
B
的极径满足
< br>2
2
(1sin
2
第20页（共21页）

6< br>)2
，解得

2

210
，
5

所以
|AB||

1

2
|3
[选修4-5：不等式选讲]
210
．
5
23．已知关于
x
的不等式
|x2||x3|…|m1|
有解，记 实数
m
的最大值为
M
．
（1）求
M
的值； （2）正数
a
，
b
，
c
满足
a2bcM
，求证：
11

…
1
．
abbc
【 解答】解：（1）由绝对值不等式得
|x2||x3|厔|x2(x3)|5
，
若不等式
|x2||x3|…|m1|
有解，
则满足
|m1|„5
，解得
6剟m4
．
M4
．
1
（2）由（1）知正数
a
，
b，
c
满足足
a2bc4
，即
[(ab)(bc)] 1

4

111111bcab1bcab1
[(a b)(bc)]()(11)
厖
(22
g
)41abbc4abbc4abbc4abbc4
，
当且仅当
< br>bcab
即
abbc2
，即
ac
，
a b2
时，取等号．

abbc
11

…
1
成立．
abbc

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