浙江育英职业技术学院-庆祝元旦

...
卓越联盟2019-2020学年度第二学期第三次月考
高一数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
1. 设
asin15cos 15
，
b
A．
tan22.5
，则
ab
( )
2
1tan22.5
3113
B． C． D．
4242
2. 已知
a(3,1)
，
b(3,3)
，则向量
a
与
b
的夹角为( )
A．
30
B．
60
C．
120
D．
150

3.
cos10cos70sin10sin70
等于( )
A．

33
11
B． C． D．


22
22
4. 已知
a(1,3)
，
b(x,2)
，
a(a2b)
，则
x
( )
A．
1
B．

12
C.

D．
2

63
5. 点
A( 1,3)
是角

(0



)
的终边上 一点，则函数
ysin(x

)
，
x[0,
（ ）
A．
[0,

2
]
的单调递增区间为

]
B．
[0,]
C.
[,

]
D．
[,

]

6363


6. 在
ABC
中，设内角
A, B,C
的对边分别为
a,b,c
，若
acosBbcosA
，则< br>ABC
的形状是( )
A．等腰三角形
C. 直角三角形
B．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
7. 若
sin

cos

0
，则下列结论一定成立的是( )
A．
sin


2

2
B．
sin


2

2
C.
sin

cos


1

2
D．
sin

cos

2

8. 如图，在限速为
90kmh
的公路
AB
旁有一测速站
P
，已知点
P
距测速区起点
A
的距离为
0.07km
，距
测速区终点
B
的距离为
0.04km
，且
APB 60
，现测得某辆汽车从
A
点行驶到
B
点所用的时间为
3s
，
则此车的速度介于( )
...

...

A．
60
至
70kmh

C.
80
至
90kmh

9. 已知

为第四象限角，
cos

A．
2sin

cos


C.
sin

cos


B．
70
至
80kmh

D．
90
至
100kmh

1sin

1cos

sin

的化简结果为( )
1sin

1cos

B．
sin

cos

2

D．
cos

sin


10. 函数
ysin(

x

)(

0)
的部分图象如 图，则

,

可能的值是( )

A．
1,

2

2


B．
1,
C.
2,
D．
2,

3333
44
11. 已知向量
a(cos x,sinx)
，向量
b(1,1)
，函数
f(x)ab
，则 下列说法正确的( )
A．
f(x)
是奇函数
C.
f(x)
的最小正周期为


B．
f(x)
的一条对称轴为直线
x
D．
f(x)
在
(

4


,)
上为减函数
42
12. 2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基 础设计.弦图是由四个全
等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形的边 长为1，大正方形的边长为5，
直角三角形中较小的锐角为

，则
sin(< br>


)cos(

)
( )
23


A．
433433
433433
B． C. D．
1010
1010
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
...

...
13. 求值：
sin
31


．
6
2,A30
，则角
B
． 14. 在< br>ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c,a1
，
b
15. 在
ABC
中，
AB3,AC2
，< br>BAC60
，点
D
满足
ADDB
，点
P
是线段
CD
上一点，且
AP
1
AB

AC< br>，则
APBC
．
6
3
5
16. 已知
a,b,c
分别为
ABC< br>的三个内角
A,B,C
的对边，
a8,b5
，且
ac cosBa
2
b
2
bc
，
则角
B
．
三、解答题:(共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.)
17. 已知

,

为锐角，
sin


(1)求
cos(


14
,cos(



)
.
35

3
)
的值；
(2)求
sin

的值.
18.已知

(0,

)
，

(0,

)
，且
< br>

,tan

,tan

是一元二次方程
6x
2
5x10
的两个实数根.
(1)求
tan(



)
和



的值；
(2)求
sin2

.
19.在
ABC
中，
A
(1)求角
B
的大小;
(2)若点
D
是
BC
边的中点，
AD

6
,m(sinB,1)
，
n(cosC,1)
，
m∥n.
7
，求
ABC
的周长.
20.向量
m(1, 4cosx)
，
n(1,sin(x
(1)求函数
f(x)
的 最小正周期；
(2)求使成立
f(x)1
的
x
的取值集合.

6
))
，函数
f(x)mn
.
21.在平 面四边形
ABCD
中，
AB2
，
BC7
，
AB AD
，
cosB
7
.
14

(1)求
AC
边的长；
(2)若
CD3
，求
ACD
的面积.
...

...
22.已知函数
f(x)sinx
2
3 sin2x3cos
2
x
，
(1)求函数
f(x)
的最小正周期；
(2)当
x[0,

2
]
时，求
f(x)
的值域；
1

倍，再将所得图像向左平移个单位长度，得到
2
6
(3)将
f(x)
的图像上所有点的横坐标缩短为为原来的
g(x)
的图像，求
g(x)
的单调 递增区间.

...

...

卓越联盟2019-2020学年度第二学期第三次月考
高一数学试题答案
一、选择题
1-5: ABCAA 6-10: ACBDD 11、12：BB
二、填空题
13.

11
14.
45
或
135
15.

16.
30

23
三、解答题
1
22
17. 解：（1）

为锐角，
sin

cos

< br>，
1sin
2



3
3

22113
223
cos(

)cos

cossin

sin

.


333
3232
6
（2）

,

为锐角，




(0,

)

由
co s(



)
43
2
得
sin(



)
1cos(



)< br>
55
sin

sin











sin
< br>



cos

cos

< br>


sin


32241624
.

535315
18. 解:（1 ）
6x
2
5x10
，
(2x1)(3x1)0
，
所以
tan

0,tan

0
，所以< br>
(0,
所以
tan






),



0,

.又


，
2

2

11
,tan



32
所以
tan(



)
tan< br>
tan

1
，
1tan

tan

又因为

(0,
因而








),< br>


0,

，即



(0,

)
，
2

2


4
.
（2）因为
t an


1
,cos

0
所以
3
2sin

cos


22
sin
cos

sin2

2sin

cos



2tan

3
.

2
tan

15
...

...

另解：由
sin
2

 cos
2
1
，
tan


sin
1

，
cos

3

解得：
sin< br>

10310
,cos


.
1010
所以
sin2

2sin

cos


19. 解：（1）
又
A
3
.
5
mn
sinBcosC0

5

B

6

6
,ABC

,C
sinBcos(
又
0B
5


B)3sin(B)0

66
5


2


,B6663
B

6
0,B

6
（2）又（1）知，
AB

6
，
C
2


3
因为点
D
是
BC
边的中点，设
CD x
，则
AC2x
，
在
ACD
中，由余弦定理得，< br>AD
2
AC
2
CD
2

2ACCD cosC
，
即
7(2x)x
22xxcos
222

，
x1

3
ACBC2
在
ACD
，由余弦定理得，
AB
2
AC
2
BC
2

2ACBCcosC12


AB23

所以
ABC
的周长为
423
.
20. 解：（1）由题意 知
f(x)14cosxsin(x

6
)

14cosx(
31
sinxcosx)

22
123cosxsinx2cos
2
x

3sin2xcos2x

2sin(2x

6
)

所以函数
f(x)
的最小正周期
T


...

...
由
f(x)2sin(2x


1
)1
得
sin(2x)
，
662
2k


5


,kZk

xk

,kZ

63
2k



6
2x

6
所以使成立
f(x)1
的
x
的取 值集合为

xk

xk





,kZ

.
3

21. 解：（1）在
ABC
中，由余弦定理得，
AC
2
AB
2
BC
2
2ABBCcosB

2
2
 7227
7
9
，
AC3

14
（2）在
ABC
中，由余弦定理得，
AB
2
AC
2
BC
2
1
cosBAC
，又因为
BAC
为三角形的内角
2ABAC2
所以
BAC60
因为
ABAD,
所以
DAC30


在
 ACD
中，由正弦定理得，
ACCD
33

，即

sinDsinDAC
sinDsin30
解得
sinD
3
，
2
因为
D(0,

)
，所以
D60或 120

当
D60
时，
ACD90
，所以< br>S
ACD

133
ACCD

22
133
ACCDsin30
.
24
当
D120
时，
ACD30,
，所以
S
ACD

22. 解：（1）
f(x)
1cos2x3(1cos2x)
3 sin2x

22
cos2x3sin2x2

2cos(2x)2

3
所以函数
f(x)
的最小正 周期
T
（2）当
x

0,

2



2



4




2x

,

时，

3

33

2

cos(2x

1

)

1,


3

2< br>

f(x)
的值域为

0,3


...

...
（3）由题意知
g(x)2cos4x2
，
由
2k

4x2k



,kZ

得
k

k

x,kZ

224

k

k


,

,kZ

224

所以
g(x)
的单调递增区间为






卓越联盟2019-2020学年度第二学期第三次月考

高一数学试题答案

一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
ABCA AACB DDBB
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.

11
14.
45
或
135

15.

16.
30

2

3

14
,cos(



)
.
35
三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. （10分）已知

,

为锐角，
sin


（1）求
cos(



3
)
的值；
（2）求
sin

的值.
解：（1）


为锐角，
sin


22
1
2
，
cos

1sin


2分
3
3
3223

2211

. 5分
cos(

)cos

cossin
sin

32326
333
（2）


,
为锐角，




(0,

)< br>
由
cos(



)
43
得< br>sin(



)1cos
2
(


)
7分
55
...

...
sin

sin









 sin





cos

cos




sin


32241624
.
10分
535315

18. （12分）已知

(0,

),



0,


，且



，
tan

,tan

是一元二次方 程
6x
2
5x10
的两个
实数根.
（1）求
tan(



)
和



的 值；
（2）求
sin2

.
解:（1）
6x5x 10,(2x1)(3x1)0
，
x
1

2
1 1
,x
2

2分
32





(0,),


tan

0,t an

0

0,

.又



，
所以
，所以
2

2

所以
t an


11
,tan


4分
32
所以
tan(



)
t an

tan

1
， 6分
1tan

tan

又因为

(0,
因而








),



0,

，即


< br>(0,

)
，
2

2

. 8分

4
1
（2）因为
tan

,cos< br>
0,所以

3
sin2

2sin

cos


2sin

cos

sin< br>2

cos
2

2tan

3
 
2
tan

15

12分

22
另解：
由sin

cos1,tan


sin

1

cos

3


解得：sin


10310
,cos


1010
3

5
所以sin2

2sin< br>
cos


...

...
19. （12分）在
ABC
中，
A

6
，< br>m

sinB,1

,n(cosC,1),mn
.
（1）求角B的大小；
（2）若点D是BC边的中点，
AD7
，求
ABC
的周长.
解：（1）
mn
sinBcosC0
2分
又
A

6
,ABC

,C5

B

6
5

sinBcos(B)3sin(B)0
4分
66
又
0B
5

2

< br>,B
6663
B

6
0,B

6
6分
(2)又（1）知，
AB

6
，
C
2

7分
3
因为点D是BC边的中点，设
CDx,
则
AC2x
，
在
ACD
中，由余弦定理得，
AD
2
AC
2< br>CD
2
2ACCDcosC
，
即
7(2x)2
x
2
22xxcos
2

，
x 1

3
ACBC2
9分
在
ABC
，由余弦定理得，
AB
2
AC
2
BC
2
2ACBCcosC12


AB23
11分
所以
ABC
的周长为
423
. 12分
20. （12分）向量
m
< br>1,4cosx

,n(1,sin(x))
，函数
f(x) mn
.
6
（1）求函数
f(x)
的最小正周期；
（2）求使成立
f(x)1
的
x
的取值集合.

解：（1）由题意知
f(x)14cosxsin(x


6
)

14cosx(
31
sinxcosx)

22
123cosxsinx2cos
2
x

3sin2xcos2x

...

...
2sin(2x)
4分
6
所以函数
f(x)
的最小正周期
T

6分

由
f(x)2sin(2x)1
得
sin(2x) 2k

2x2k

,kZ

662666
（2），
9分



1

5

k

xk



3< br>,kZ

所以使成立
f(x)1
的
x
的取值集合 为

xk

xk






,kZ

.
12分
3


21. （12分）在平面四边形ABCD中，AB=2，BC=
7
，ABAD,cosB
7
.
14
（1）求AC边的长；
（2）若
CD3
，求
ACD
的面积.
解：（1）在
ABC
中，由余弦定理得，
AC
2
AB
2
BC
2
2ABBCcosB

2
2< br>7227
7
9
，
AC3
4分
14
（2）在
ABC
中，由余弦定理得，
AB
2
AC
2
BC
2
1
cosBAC
，又因为
BAC
为三角形的内角
2ABAC2
所以
BAC60
6分
因为
ABAD,
所以
DAC30


在
ACD
中，由正弦定理得，
33
ACCD

，即 < br>
sinDsin30
sinDsinDAC
解得
sinD3
，
2
因为
D(0,

)
，所以
D60或120
8分
当
D60
时，
ACD90
，所以
S
ACD

133
ACCD
10分
22
133
ACCDsin30
. 12分
24
...
当
D120
时，
ACD30,，所以
S
ACD


...
22
22. （12分）已知函数
f(x)sinx3sin2x3cosx
，
（1）求函数
f(x)
的最小正周期；
（2）当
x
< br>0,



时，求
f(x)
的值域；
< br>2

（3）将
f(x)
的图像上所有点的横坐标缩短为为原来的1

倍，再将所得图像向左平移个单位长度，得到
26
g(x)
的图像，求
g(x)
的单调递增区间.
解：（1）
f(x)
1cos2x3(1cos2x)

3sin2x
22
cos2x3sin2x2

2cos(2x)2
2分
3
所以函数
f(x)
的最小正周期
T
（2）当x

0,

2



4分
2



4



< br>2x

,

6分时，

3

33

2


cos(2x

1

)

1,

3

2



f(x)
的值域为

0,3

8分
（3）由题意知
g(x)2cos4x2
， 10分
由
2k

4x2k



, kZ

得
k

k

x,kZ

224

k

k


,
< br>,kZ
12分

的单调递增区间为
g(x)

所以
224





...