北方交通大学-高考考生号查询

》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

课时作业(一) 正弦定理
A 组
(限时：10分钟)
1．在△
ABC
中，三个内角
A
，
B
，
C
的对边分别为< br>a
，
b
，
c
，已知
a
＝2，
b＝3，
B
＝60°，那么
A
＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
2
解析：由正弦定理可得si n
A
＝，但
a
<
b
，所以
A
<
B
，故
A
只能是锐角45°.
2
答案：A
2．在△
ABC
中，若
A
＝60°，
B
＝45°，
BC
＝ 32，则
AC
＝( )
A．43 B．23
3
C.3 D.
2
BCAC
32
AC
解析：由正弦定理得＝，即＝，解得AC
＝23.
sin
A
sin
B
sin60°sin45°
答案：B < br>3．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
.若
a
cos
A
＝
b
sin
B
，则sin
A
cosA
＋
cos
2
B
＝( )
11
A．－ B.
22
C．－1 D．1
解析：∵根据正弦定理＝＝2
R
， 得
a
＝2
R
sin
A
，
b
＝2
R
sin
B
，∴
a
cos
A
＝
b
s in
B
可
sin
A
sin
B
化为sin
A
cos
A
＝sin
2
B
.
∴sin
A< br>cos
A
＋cos
2
B
＝sin
2
B
＋cos
2
B
＝1.
答案：D
4．在△
ABC
中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．
b
＝10，∠
A
＝45°，∠
C
＝70°
B．
a
＝30，
b
＝25，∠
A
＝150°
C．
a
＝7，
b
＝8，∠
A
＝98°
马鸣风萧萧整理
ab

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D．
a
＝14，
b
＝16，∠
A
＝45°
解析：A中已知两角及一边，只有一解；B中∠
A
是钝角，∴只有一解；C中∠
A< br>是钝
角且
a
<
b
，∴无解；D中
b
sin< br>A
<
a
<
b
，∴有两解．
答案：D
5． 在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别 为
a
，
b
，
c
，且＝＝，试判断△
cos
A
cos
B
cos
C
abc
ABC
的形状．
解：由正弦定理＝＝＝2
R
，
sin
A
sin
B
sin
C
得
a
＝2
R
sin
A
，
b
＝2
R
sin
B
，
c
＝2
R< br>sin
C
，
代入＝＝中，得
cos
A
cosB
cos
C
2
R
sin
A
2
R
sin
B
2
R
sin
C
＝＝，
cos
A
cos
B
cos
C
即
sin
A
sin< br>B
sin
C
＝＝，
cos
A
cos
Bcos
C
abc
abc
∴tan
A
＝tan
B
＝tan
C
，即
A
＝
B
＝
C
.
因此△
ABC
为等边三角形．
B 组
(限时：30分钟) 1．在△
ABC
中，
AB
＝3，
A
＝45°，
C
＝75°，则
BC
等于( )
A．3－3 B.2
C．2 D．3＋3
BCAB
解析：在△
ABC
中，由正弦定理，得＝，
sin
A
sin
C
3
∴
BC
＝·sin45°.
si n75°
6＋2
又∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋ cos30°sin45°＝，
4
∴
BC
＝
3
6＋24
×
2
＝3－3.
2
马鸣风萧萧整理

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答案：A
22
2．在△
ABC
中，已知
a＝3，
B
＝60°，cos
A
＝，则
b
＝( )
3
9692
A. B.
88
939
C. D. 22
3
3×
2
93221
a
sin
B
解析：∵0<
A
<π，cos
A
＝，∴sin
A
＝，由正弦 定理得
b
＝＝＝.故选
33sin
A
12
3
C.
答案：C
3．在锐角△
ABC
中，角
A
，
B所对的边长分别为
a
，
b
.若2
a
sin
B< br>＝3
b
，则角
A
等于( )
ππ
A. B.
34
ππ
C. D.
612
解析：∵2
a
si n
B
＝3
b
，∴2sin
A
sin
B
＝3 sin
B
.
∵sin
B
≠0，∴sin
A
＝
3
.
2
π

π

∵
A
∈

0，

，∴
A
＝.故选A.
3

2

答案：A
4．已知△
ABC
中 ，
a
＝
x
，
b
＝2，∠
B
＝45°，若三 角形有两解，则
x
的取值范围是( )
A．
x
>2 B．
x
<2
C．2<
x
<22 D．2<
x
<23
解析：∵满足条件的三角形有两解，∴
a
sin
B
<
b
<
a
，即
x
sin45°<2<< br>x
，解得2<
x
<22.
答案：C
1
5．在△< br>ABC
中，
a
＝3，
b
＝5，sin
A
＝， 则sin
B
＝( )
3
15
A. B.
59
马鸣风萧萧整理

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5
C. D．1
3
abb
515
解析：根据正弦定理，＝，则sin
B
＝sin
A＝×＝，故选B.
sin
A
sin
Ba
339
答案：B
6．设△< br>ABC
的内角
A
，
B
，
C
所对的边长分别为
a
，
b
，
c
，若
b
cos
C＋
c
cos
B
＝
a
sin
A
，则△
ABC
的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：∵＝＝，∴sin
B
cos
C
＋sin
C
cos
B
＝sin
A
sin
A
，
sin
A
sin
B
sin
C
π即sin(
B
＋
C
)＝sin
A
，即sin
A
＝1，∴
A
＝，故选A.
2
2
abc
答案：A
2sin
A
－sin
B
7．在△
ABC
中，
a
∶
b
∶
c
＝1∶3∶5，则的值为________．
sin
C
2sin
A
－sin
B
2
a
－
b
2－31
解析：＝＝＝－.
sin
Cc
55
1
答案：－
5
8．在△
ABC
中，
A
＝30°，
B
＝120°，
b
＝12 ，则
a
＋
c
＝____________.
解析：∵
A< br>＝30°，
B
＝120°，∴
C
＝30°，
b
si n
A
12×sin30°
由＝可得
a
＝＝＝43，
c
＝
a
＝43，
sin
A
sin
B
sin
B
sin120°
∴
a
＋
c
＝83.
答案：83
9．已知
a
、
b
、
c
分别是 △
ABC
的三个内角
A
、
B
、
C
所对的边 ，若
a
＝1，
b
＝3，
A
＋
ab
C
＝2
B
，则sin
A
＝________.
baa
si n
B
解析：∵
A
＋
C
＝2
B
，又
A
＋
B
＋
C
＝180°，∴
B
＝60°，由＝可得 ：sin
A
＝
sin
B
sin
Ab
1×sin60 °1
＝＝.
2
3
马鸣风萧萧整理

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1
答案：
2
25
10．在△
ABC
中 ，
B
＝45°，
AC
＝10，cos
C
＝，求
BC
的长．
5
255
解：由cos
C
＝，得sin
C
＝1－cos
2
C
＝.
55
2310
sinA
＝sin(180°－45°－
C
)＝(cos
C
＋sin< br>C
)＝.
210
310
10×
10
AC
s in
A
由正弦定理，得
BC
＝＝＝32.
sin
B
2
2
11．已知
a
，
b
，
c
分别是△< br>ABC
中角
A
，
B
，
C
的对边，
p
＝(cos
C
，sin
C
)，
q
＝(1，3)，< br>且
p
∥
q
.
(1)求角
C
的大小； (2)若sin
B
＝cos2
B
，且
c
＝3，求
a
，
b
的值．
cos
C
sin
C
解： (1)∵
p
∥
q
，∴＝.
1
3
π
∴ta n
C
＝3.又∵
C
∈(0，π)，∴
C
＝.
3< br>(2)∵sin
B
＝cos2
B
＝1－2sin
2
B
，∴2sin
2
B
＋sin
B
－1＝0.
1
∴sin
B
＝或sin
B
＝－1.
2
1

2π

∵
B
∈

0，
，∴sin
B
＝.
2

3

ππ
∴
B
＝.∴
A
＝.
62
π
3sin
6abcc
sin
Bc
sin
A
由正弦定理＝＝，得
b< br>＝＝＝3，
a
＝＝23.
sin
A
sin
B
sin
C
sin
C
πsin
C
sin
3
12．在△
ABC
中，
a
＝3，
b
＝26，∠
B< br>＝2∠
A
.
(1)求cos
A
的值；
(2)求
c
的值．
马鸣风萧萧整理

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解：(1)因为
a
＝3，
b
＝26，∠
B
＝2∠
A
，
326
所以在△
ABC
中，由正弦定理得＝.
sin
A< br>sin2
A
2sin
A
cos
A
266
所以 ＝.故cos
A
＝.
sin
A
33
(2)由(1)知，c os
A
＝
63
，所以sin
A
＝1－cos
2A
＝.
33
1
又因为∠
B
＝2∠
A
，所以cos
B
＝2cos
2
A
－1＝.
3
22
所以sin
B
＝1－cos
2
B
＝.
3
在△
ABC
中，sin
C
＝sin(
A
＋
B
)＝sin
A
cos
B
＋cos
A
sin
B＝
53
.
9
a
sin
C
所以
c
＝＝5.
sin
A
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