赛龙舟作文-兵团公务员

绝密 ★ 启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120
分钟。
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选 择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域内均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答 题区域内。写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所 选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷 、草稿纸和答题卡上的非答题区域均
无效。
5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小 题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
（1）设集合
A {xx
2
4x30}
，
B{x2x30}
，则
AB

（A）
(3,)

3
2
（B）
(3,)

3
2
（C）
(1,)

3
2
（D）
(,3)

3
2
（2）设
(1i)x1yi
，其中
x,y
是实 数，则
xyi

（A）
1
（B）
2
（C）
3
（D）
2

（3）已知等差数列
{a
n
}
前
9
项的和为
27
，
a
10
8
，则
a
100


（A）
100
（B）
99
（C）
98
（D）
97


（4）某公司的班车在
7:30
，
8:00
，
8:30发车，小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车
站乘
坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
1 12

（A）
1
3
（B）
1

2
（C）
2

3
（D）
3

4
x
2
y
2
1
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 离为
4
，则（5）已知方程
2
mn3m
2
n
n
的
取值范围是
（A）
(1,3)
（B）
(1,3)
（C）
(0,3)
（D）
(0,3)

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中
两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
表面积是

（A）
17

（B）
18

（C）
20

（D）
28


（7）函数
y2x
2
e
在
[2,2]
的图像大致为


（A）





（C）
2
yy
x
28

，则它的
3

1
（B）
2
x
2
1
OO
2
x
y
y
1
x
（D）
2
1
O

O
22


（8）若
ab1
，
0c1
，则
（A）
a
c
b
c

2
x
（B）
ab
c
ba
c
（C）
alog
b
cblog
a
c
（D）
log
a
clog
b
c

（9）执行右面 的程序框图，如果输入的
x0
，
y1
，
n1
，则输出
x,y
的值满足
（A）
y2x
（B）
y3x
（C）
y4x
（D）
y5x
（10）以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A,B
两 点，交
C
的准线于
D,E
两点，已知
AB42
,
DE25
，则
C
的焦点到准线的距离为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8


平面
ABCD
（11）平面

过正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，


平面
CB
1D
1
，

m
，


平面
ABB
1
A
1
n
，则
m,n
所成角的正弦值为
2 12

（A）
33
2
1
（B） （C） （D）
23
2
3
（12）已知函数
f(x)sin(< br>
x

)(

0,






42

5

yf(x)
图像的对称轴，且
f(x)
在
(,)
单调，则

的最大值为
1836
（B）9 （C）7 （D）5
)
，
x< br>
为
f(x)
的零点，
x

4
为
（A）11

第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题 ~第(21)题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据 要求作答。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。
（13）设向量
a
(m,1)
，
b
(1,2)
，且
|
a
b
|
2
|
a
|
2
|
b
|
2
，则
m
．
（14）
(2xx)
5
的展开式中，
x
3
的系数是 ．（用数字填写答案）
（15）设等比数列
{a
n
}
满足
a
1
a3
10
，
a
2
a
4
5
，则a
1
a
2
a
n
的最大值为 ．
（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A
需要甲材料1.5 kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材
料0.3kg，用3个 工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为
900元．该企业现有甲材料15 0kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生
产产品A、产品B的利润之和的最大值 为 元．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）



ABC
的内角< br>A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知
2cosC(acosB bcosA)c
．
（Ⅰ）求
C
；
（Ⅱ）若
c7，
ABC
的面积为
33
，求
ABC
的周长．
2


（18）（本小题满分12分）
如图，在以
A,B,C,D,E,F
为顶点的五面体中，面
D
C
A BEF
为正方形，
AF2FD,AFD90
，且二面
角
D AFE
与二面角
CBEF
都是
60
．
（Ⅰ）证明：平面
ABEF
平面
EFDC
；
3 12
F
E
B
A

（Ⅱ）求二面角
EBCA
的余弦值．


（19）（本小题满分12分）
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 ．机器有一易损零件，
在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间 ，如果
备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为
此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

频数

40




20



08910
11
更换的易损零件数

以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的
概率，记
X
表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，
n
表示购买2台机器的同时
购买的易损 零件数．


（Ⅰ）求
X
的分布列；
（Ⅱ）若要求
P(Xn)0.5
，确定
n
的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
n19
与
n20
之中选其
一，应选用哪个？


（20）（本小题满分12分）
设圆
x
2
y
2
2x150
的圆心为
A，直线
l
过点
B(1,0)
且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C,D
两点，过
B
作
AC的平行线交
AD
于点
E
．


（Ⅰ）证明
EAEB
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
（Ⅱ）设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M,N
两点，过
B
且与
l
垂直的 直线
与圆
A
交于
P,Q
两点，求四边形
MPNQ
面 积的取值范围．


（21）（本小题满分12分）
4 12

已知函数
f(x)(x2)e
x
a(x1)
2
有两个零点．
（Ⅰ）求
a
的取值范围；
（Ⅱ）设
x
1
,x2
是
f(x)
的两个零点，证明：
x
1
x
2
2
．
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，
OAB是等腰三角形，
AOB120
．以
O
为圆心，
1
OA
为半径作圆．
2


（Ⅰ）证明：直线
AB
与⊙
O
相切；
（Ⅱ）点
C ,D
在⊙
O
上，且
A,B,C,D
四点共圆，
证明：
ABCD
．



（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

A
D
O
C
B

xacost,
在直角 坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为

在(t
为参数，
a0)
．
y1asint,

以坐 标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
2
:

4cos

．


（Ⅰ）说明
C
1
是哪一种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线< br>C
3
的极坐标方程为



0
，其中

0
满足
tan

0
2
，若曲线
C< br>1
与
C
2
的
公共点都在
C
3
上，求
a
．


（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲









5 12
已知函数
f(x)x12x3
．
（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出
yf(x)
的图像；
（Ⅱ）求不等式
f(x)1
的解集．
y
1
O
1
x

数学答案

17、正确答案
（评分标准及答案仅供参考）（12分）

解：(1) ∵ ab+b=nb ∴ n=1时 a1·b+b=b1
nn+1n+1n22
∴ a1·
列
∴ a1=2 由已知{a}乘以2为首项，公差3的等差数
n
∴ a=a+(n-1)·d=2+3(n-1) ∴ an=3n-1
n1
(2)由①知代入
中∴ (3n-1)b+b=nb
n+1n+1n
∴ (3n-1)bn+1+bn+1=nbn ∴ b=
n+1
(n∈n*)
∴ 设{b}构成以1为首项，公比为 的等比数列
n
∴ 设{b}前n项和Sn，则Sn
n

18、正确答案
（评分标准及答案仅供参考）（12分）

(1)证明
∵ PD 面ABC ∴ PDAB
∵ DE面PAB ∴ DEAB
又∵ PDDE ∴ AB平面PGD ∴ PGAB
∵ 正三棱锥P-ABC中PA=PB ∴ G为AB中点
6 12

(2）正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC ∵ 各侧面为直角三角形
∴PAPB,PBPC,PCPA,∴ PB平面PAC
作EFPB交PA于F 则EF面PAC ∴ F为E在平面PAC内正投影
正三棱锥P-ABC中，D 为三角形ABC的重心，PA=6 ∴ AB=
∴DG=PG=∴PD=




中由摄影定理PD=PEPG ∴ PE=
∵ 为等腰三角形，EFPA ∴EF=PF=
D-PEF的高为DE.
RtPGD中 DE==2
∴四面体PDEF体积


19、（12分）
正确答案
（评分标准及答案仅供参考）

解：当n=19时 x≤19 y=19×200=3800元
（1）x>19时 y=19×200+(x-19)·500=500x-5700(元)·
∵ y=
(2)由柱状图知，更换16个频率0.06；更换17件频率为0.16.
7 12

更换18件频率为0.24，更换19件频率为0.24 ∴ 更换易损零件
不大于n〃的频率为不小于0.5的.则n≥19
∴ n的最小值为19件
(3)若每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为
=4000（元）
若每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为
=4050（元） 4000<4050
∴ 购买1台机器的同时应购买19台易损零件.
20、（12分）
正确答案
（评分标准及答案仅供参考）

解：将直线l与抛物线联立∴ 解得
(1) ∵ M关于P的对称点为N ∴
∴ ON直线斜率
则H点坐标∴解答
∴ ON方程
∴
∴


即
∴
(2)由①知
=2
∴ MH直线程
8 12

与抛物线联立
即y2-4ty=4t
2

∴
得
∴直线MH与抛物相切
∴ 直线MH与曲线C除点H外没有其它公共点
21、（12分）
正确答案
（评分标准及答案仅供参考）

II）解：由①知
若a≥0 f(x)在(-∞,1)减，（1，+∞）增，且f(1)=-e<0.
x→+∞时，f(x) →+∞，x→-∞时，f(x)→+∞
∴一定有2个零点；
若a<- 时，f(x) 在（-∞，1）内递增，（1，ln(-2a)）内递减，（ln(-2a),+
∞）递增
且f(1)=-e<0 f(x)只有一个零点；
若a=- 时 f(x)在R上递增，则f(x)只有一个零点；
若0>a>时，f(x)在（-∞，ln(-2a) ）增，（ln(-2a),1）减，（1，+
∞）增
∵f(1)=-e<0 x→+∞时，f(x)→+∞，x→-∞时f(x) →-∞
∴f(x)在（1，+∞）内只有一个零 点，f(x)若恰有2个零点，只能使
f(ln(-2a)=0
而[ln(-2a)-2]·(-2a)+a[ln(-2a)-1]2=0
9 12

即须4-ln(-2a)+[ln(-2a)-1]2=0* ∵∴4-ln(-2a)>0,[ln(-2a)-1]2>0 ∴*不可能为0
综上f(x)有2个零点 a的范围为[0,+ ∞]

22、（10分） 三选一
22.（1）取AB中点P，∵
∴OP⊥AB
∵∠AOB=120°
∴∠AOP=∠BOP=60°
∴OP=OA=r
所以AB与⊙O相切
是等腰三角形

（2）设CD 中点为Q,四边形ABCD 外接圆圆心为O'
连结 OC,OD,O' C,O' D.
由OC=OD 知OQ⊥CD
由O'C=O'D,知O'Q⊥CD
∴O',O,D三点共线
同理O,O',P三点共线
10 12

∴Q.O,O',P四点共线
即PQ过点O,且PQ⊥AB,PQ⊥CD
∴ABCD
23.（1）
1
（t为参数） 消参后得
∴曲线C表示以（0，1）为圆心，半径为a的圆.
曲线 C为：
1
化为极坐标方程为：

（2）曲线 C化为普通方程：
2
即
12

①曲线
方程为①-②得
∵曲线

②曲线 C与C的公共弦所在直线
即


∴曲线C的直角坐标方程
3

∴，∴a＞0，a=1.
24. （Ⅰ）令x+1=0，2x-3=0 ∴x=-12；
∴f(x)=
作出草图

11 12

（Ⅱ）令得（3,1）
得（1 ，1）
得（，1）
得（5 ，1）
由图像知 丨f（x）＞1丨的解集（1

3）∪（—
12
）∪（5，+ ）

， ，
12