潮爆地-无缘无故造句

2019-2020年河南省高三（下）第三次联考数学试卷（4月份）（文科）答案解析
一、选择题（共12道）
1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}
【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，
B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：D．
2．已知a，b∈R，3+ai＝b﹣（2a﹣1）i，则（ ）
A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a
【解答】解：由3+ai＝b﹣（2a﹣1）i，
得
∴b＝9a．
故选：C．
3．已知向量＝（0，2），＝（2
A．﹣2 B．2
，x），且与的夹角为
C．1
，则x＝（ ）
D．﹣l
，
，即a＝，b＝3．
【解答】解：∵向量＝（0，2），＝（2
∴＝0+2x＝2• •cos，即2x＝
，x），且与的夹角为
，求得x＝2，
故选：B．
4．若x，y满足约束条件
A．
【解答】解：因为
斜率；
画出可行域；
可知可行域的三个顶点分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣1），C（1，1）；
且K
AD
＝；
B．
，则的最大值为（ ）
C． D．3
表示经过点D（﹣3，﹣2）和可行域内的点（x，y）的直线的

故z
即
．
的最大值为．
故选：C．

5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）

A．i≤3？ B．i≤4？ C．i≤5？ D．i≤6？
【解答】解：模拟程序的运行，可得
当S＝1时，i＝9；
当S＝1+9＝10时，i＝8；
当S＝1+9+8＝18时，i＝7；
当S＝1+9+8+7＝25时，i＝6；
当S＝1+9+8+7+6＝31时，i＝5．
此时输出S＝31，则图中判断框①处应填入的是i≤5？．
故选：C．
6．已知 f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝3﹣2x，则不等式f（x）＞0
的解集为（ ）
A．
C．


B．
D．

【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝3﹣2x，

则其图象如图：
且f（）＝f（﹣）＝0，
则不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣）∪（0，）；
故选：C．

7．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100
米跑合格 的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按测试
是否合格分层（分成两 项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四
种）抽出9人进行复测，那么抽出来复 测的同学中两项都合格的有（ ）
A．1人 B．2人 C．5人 D．6人
【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，
则立定跳远合格100米跑不合格的人数为30﹣x，
则30﹣x+35+5＝45，
得x＝25，
即这两项成绩均合格的人数是25人，
则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×
故选：C．
8．在正方体ABCD﹣A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别为CC1
，DD
1
的中点，则异面直线AF，DE
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
＝5，
【解答】解：如图，连接BE，则BE∥AF，则 ∠DEB为异面直线AF，DE所成的角，连
接DB，设正方体的棱长为2，则：
，
∴在△BDE中，由余弦定理得，＝．

故选：D．

9． 已知椭圆与直线交于A，B两点焦点P（0，﹣c），其中
c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该 椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆
其中C为半焦距，
与直线交于A，B两点焦点P（0，﹣c），< br>若△ABF是直角三角形，不妨设A（0，a），B（﹣b，0），
则
故e＝
故选：A．
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g （x）的
＝0，解得b
2
＝ac，即a
2
﹣c
2
＝ ac，即e
2
+e﹣1＝0，e∈（0，1），
．
图象，给出下列关于g（x）的结论：
①它的图象关于直线
③它的图象关于点
对称；②它的最小正周期为
对称；④它在

上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②
【解答】解：将函数
个单位长度，
B．②③ C．①②④
＝2sin（3x﹣
D．②③④
）+1 的图象向左平移

得 到函数g（x）＝2sin（3x+
令x＝，求得g（x）＝2sin
﹣）+1＝2sin（3 x+）+1 的图象．
+1＝0，不是最值，故g（x）的图象不关于直线
对称，故①不正确；
它的最小正周期为
当x＝
在
故选：B．
11．“中国剩余定理”又 称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》
卷下第二十六题，叫做“物不知数 ”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五
数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一 个相关的问题：将1到2020这2020
个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序 排成一列，构成一个数列，
则该数列各项之和为（ ）
A．56383 B．57171 C．59189 D．61242
，故②正确；
对称，故③正确； 时，g（x）＝1，故 g（x）的图象关于点
上，3x+∈[5π+，6π+]，g（x）没有单调性，故④错误，
【解答】解：被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5×7＝35的等差
数列，记数 列{a
n
}．
则a
n
＝23+35（n﹣1）＝35n﹣12，
令a
n
＝35n﹣12≤2020，解得n
故该数列各项之和为58×
故选：C．
12．已知函数f（x）＝ae
x
（a＞0）与g（x）＝2x
2
﹣m（m＞0）的图象在第一象限有公共点，
且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实 数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
．
．
【解答】解：设切点为A（x
0
，y
0
），
所以，整理得，
由，解得x
0
＞2．

由上可知，令，则．
因为x＞2，所以
所以
故选：D．
二、填空题（共4题，共20分）
，即．
在（2，+∞）上单调递减，
13．已知数列{a
n
}为等比数列，a
1
+a
2
＝﹣2， a
2
+a
3
＝6，则a
5
＝ 81 ．
【解答】 解：设公比为q，则q＝
由a
1
+a
2
＝a
1
﹣3 a
1
＝﹣2可得a
1
＝1，
故a
5
＝81．
故答案为：81．
14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．直角三角形最短的边 称为勾，另一直角
边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数．现从1～5这5个数中随机 选
取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为 ．
＝﹣3，
【解答】解：现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，
基本事件总数n＝＝10，
这三个数为勾股数包含的基本事件（a，b，c）有：（3，4，5），共1个，
∴这三个数为勾股数的概率为p＝
故答案为：．
＝1（a＞b＞0）与抛物线y
2
＝8x有一个共同的焦点F，两曲线的
．
15．已知双曲线﹣
一个交点P，若|PF|＝5，则点F到双曲线的渐近线的距离为
【解答】解：∵抛物线y
2
＝8x的焦点坐标F（2，0），p＝4，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p＝2c，即c＝2，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
．

|PF|＝m+＝m+2＝5，∴m＝3．
∴P点的坐标为（3，）
∴解得：a＝1，b＝，
则渐近线方程为y＝x，
＝， 即有点F到双曲线的渐近线的距离为d＝
故答案为：．
16．如图，在三棱锥A﹣BCD中， 点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BD＝CD，△ACD
为正三角形，点M，N分别在AE，C D上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C
﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD 的外接球的表面积为 32π ．

【解答】解：设ED＝a，则CD＝a．可得CE
2
+DE
2
＝CD
2
，∴CE⊥ED．
当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x．
则四面体C﹣EMN的体积＝（a﹣x）××a×x×＝ax（a﹣x）≤a
＝，当且仅当x＝时取等 号．
解得a＝2．
此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa
2
＝32π．
故答案为：32π．
三、解答题（共5题，70分）
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a﹣c＝2bcosC．
（1）求
（2）若b＝
的值；
，求c﹣a的取值范围．
， 【解 答】解：（1）因为2a﹣c＝2bcosC＝

整理可得，a
2
+c< br>2
﹣b
2
＝ac，
由余弦定理可得，cosB＝，
故B＝60°，A+C＝120°，
所以＝sin120°＝；
， （2由正弦定理可得，
所以a＝2sinA，c＝2sinC，
所以c﹣a＝2sinC﹣2 sinA＝2sinC﹣2sin（120°﹣C）＝sinC﹣
＝2sin（C﹣60°），
因为0°＜C＜120°，所以﹣60°＜C﹣60°＜60°，
所以﹣
故﹣
sin（C﹣60
0
）＜
＜c﹣a
，
cosC，
18．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分 较为严重．为
了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：
考试分数
频数
赞成人数
[85，95） [95，105） [105，115） [115，125） [125，135） [135，145]
5
4
10
6
15
9
5
3
10
6
5
4
（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第1 问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否
优秀的关系，列出2×2列联表 ，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是
否优秀有关系．
参考公式及数据：
P（K
2
≥k
0
）
k
0

0.100
2.706
0.050
3.841
0.025
5.024
．
0.010
6.635
【解答】解：（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50×30%＝15，
由表中数据知，优秀分数线应定为125分．
（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有50×0.3＝15人，其中“赞成的”有10人；

测试成绩不优秀的学生有50﹣15＝35人，其中“赞成的”有22人；
填写2×2列联表如下：

优秀
不优秀
合计
计算
赞成
10
22
32
不赞成
5
13
18
，
合计
15
35
50
因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝
PA＝AD＝2 ，E为PB的中点，F是PC上的点．
（1）若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点．
（2）求点C到平面PBD的距离．

【解答】（1）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BC∥平面PAD．
因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，
又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM．
因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，
所以EF∥PM，
从而得EF∥BC．
因为E为PB的中点，所以F为PC的中点．
（2）解：因为PA⊥底面
所以，
，
，

所以
设点C到平面PBD的距离为d，
由V
C
﹣< br>PBD
＝V
P
﹣
BCD
，得
即•6d＝•2•2•2 ，
解得．
．
，

20．设抛物线C：y
2
＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，AB为过焦点F且垂直于x轴的
抛物线C的弦，已知以AB 为直径的圆经过点（﹣1，0）．
（1）求p的值及该圆的方程；
（2）设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF⊥NF．
【解答】解：（1）易知A点的坐标为（，±p），
所以p＝，解得p＝2，
又圆的圆心为F（1，0），
所以圆的方程为（x﹣1）
2
+y＝4；
（2）证明：易知直线MN的斜率存在且不为0，
设M（﹣1，y
0
），M N的方程为y＝k（x+1）+y
0
，代入C的方程得ky
2
﹣4y+4（y
0
+k）＝0，
令△＝16﹣16k（y
0
+k）＝0．得， < br>所以ky
2
﹣4y+4（y
0
+k）＝
将
所以
所以
代入C的方程，得x＝
＝（﹣2，y
0
），
＝2﹣+y
0
＝（
＝2﹣
＝0，解得
，即N点的坐标为（
，），
+（）
，
，），
＝0
故MF⊥NF．