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解三角形中有关范围问题的一般方法
江苏省阜宁中学 顾乃春
解三角 形是高中数学的重要内容，是继三角函数、三角恒等变换之后的内容，所以解三角
形问题常常和前面的知 识综合应用，特别是在考查两角和与差的三角公式这个重要的知识点
时，三角形作为主要的载体，在高考 试卷中以填空题或解答题形式出现，近年又多以解答题形
式出现，其中涉及范围的求解问题出现的频率又 较高，应引起重视。求范围问题大体包括三角
形中的角、角的三角函数值、边、面积的范围。本文以求三 角形的面积为例来说明解决这类问
题的主要方法。
22
2R(sinAsinC)(3ab)sinB
.
ABC
例：半径为R的圆外接于，且
①求角C； ②求
ABC
面积的最大值；
①先利用正弦定理，再利用余弦定理易得
C
②解法一：三角公式法
解：
ABC

AC

B

BA

6
；

6

11

S
ABC
absinC2RsinA2RsinBsin
226

2
RsinAsin(

B)
R
2
sinAsin(

A)

6
R
2
sinA(

3131
sin AcosA)R
2
(sin
2
AsinAcosA)
2222



1
2
31
R[(1cos2A)sin2A]
222

1
2

3
R[sin(2A)]
232


0A
5


4
2A

6

333

2
R
5
S

当
2A
即
A

时，
ABC
取最 大值为
(23)

4
3212

从解三角形的角度出发 ，把所有的角都用一个未知角来表示，利用已学的三角公式：两角
和与差正弦、余弦、正切公式，倍角公 式来解决，包括公式的倒用、变用。作为解决这类问题
的通解通法，一般较易想到。
解法二：积化和差（或和差化积）法
解：
B

AC
5

A

6


S
ABC
1
2
3
21
R[cos(AB)]
R[cos(AB)cos(AB)]
RsinAsinB
22

2
2
1

< br>当
AB
5

时，
S
ABC
取最大值为
1
R
2
(23)

124
5

5

2
1
R[cos(2A)cos]
5

2
266
或解：
S
ABC
RsinAsin(A)
6
5

55

5

0A
2A
6

666


当
A< br>5

时，
S
ABC
取最大值为
1
R
2
(23)

124
此法也是三角公式法的一种，但此公式在教学中已经 要求不高，所以把此法单独列出。把
A-B看作整体或者把B用A来表示。从解法过程来看，虽然公式不 要求掌握，但可以用两角和
与差公式推导出，其实也是两角和与差公式的应用，如果掌握能更有效的解决 相关问题。
解法三：导数法
解：
sinBsin(

B) sin(AC)sin(A

6
)

1

SabsinCR
2
sinAsinBR
2
sinAsin(A)
26

令
f(A)RsinAsin(A
2

6
)

)]R
2
sin(2A)
6

66
5


115

令
f(A)0

0A
即
2A

A

< br>666612

在
(0,
5

)
上，
f(A)
单调递增； 在
(
5

,
5

)
上，
f(A)
单调递减；
12126
5

1< br>f(A)
max
f()R
2
(23)
124

)sinAcos(A
三角函数作为特殊的函数，由于在三角形中，所以角在一定的范围内 ，可以尝试利用导数
来解决有关范围问题，会达到意想不到的效果，思维过程更简洁明了，这也是解决三 角函数最
值问题的通解通法。
解法四：基本不等式法
解：
abc2abcosc

222
f

(A)R
2
[cosAsin(A


a
2
b
2
c
2
2abcos


6

a
2
b
2
3abc
2
(2Rsin)< br>2
R
2
6

22
ab3ab2ab3ab


又

R
2
5
ab
AB

2
(ab)R(2 3)

23
ab
max
12
时， 当即


S
ABC

11
absinCab
24

2

(S
ABC
)
max

1
2
R(23)
4

因为要求的范围中含有乘积的形式（或者和的形 式），可以尝试利用基本不等式来解决范
围问题或者最值问题，这样会更快捷。
解法五：数形结合法
解：
C

6
在⊙O中取弧
ADB

6

C
如图，当点C在弧
ACB
上运动，
构成
ABC
时，是满足条件的三角形。
过C作
CHAB
，垂足为H
S
ABC
Q
线段AB的长为定值，当CH过圆心O时，
CH的长度最大。
此时CD为AB的垂直平分线，
则
ACHBCH
D
1
gABgCH
2

A H
D
C
B

12

O
H B
11
A
(S
ABC
)
max
gABgCHACgBCgsinACB
22

1

< br>1
2

1
g2Rcosg2RcosR
2
cos
2
R(1cos)R
2
(23)
4121212264
运用数形结合的方法，来尝试处理作为基本几何图形的角的有关问题，可以充分利用几何
性质，有时会达到巧妙的解题效果。此法有一定的技巧性，虽然不易想到，但对我们以后处理
类似问题带 来全新的启示。
本文主要以求面积的范围为例，其实有关角、角的三角函数值、边等的范围或者最值问 题，
这些方法一样适用。总之在解决解三角形有关范围问题时可以尝试利用1.两角和与差公式、
倍角公式；2.积化和差或者和差化积公式；3.导数；4.基本不等式；5.几何性质。掌握了这些
基本的方法，解决这类较复杂、较综合的问题就会游刃有余。
读者可以试用选用以上介绍的方法去完成以下练习：
①在△ABC中，若a，b，c满足2b=a+c,求∠B的取值范围.
②在△ABC中，已知BC=10，周长为25，则cosA的最小值.
③在△ABC中，已知2B=A+C，b=1，求a+c的取值范围.













3

练习题答案及提示：
题1是求三角形中角的范围类问题
提示：利用法四——基本不等式法可得
B(0,
题2是求三角形中角的三角函数值范围类 问题
提示：利用方法四——基本不等式法可得
(cosA)
min


3
]

1

9
题3是求三角形中边的范围类问题
提示：利用方法一——三角公式法；方法二—— 积化和差（或和差化积）法；方法五——导数
法可得
(ab)(1,2]

1、解：∵2b=a+c
∴
cosB
acb

2a c
33
(ac)
2
4ac
1
44
11

2ac2ac2
222
a
2
c
2
(
ac
2
ac
2
)(ac)
2
2ac()
22


2ac2ac
又∵
B(0,

)

∴
B(0,

3
]

2、解：设三角形三边分别为a，b，c
∵a=BC=10，a+b+c=25
∴
bc152bc

∴
bc(
15
2
)

2
b
2< br>c
2
a
2
(bc)
2
2bca
2
15
2
10
2
1
∴
cosA
2bc2bc2bc
1251
1

225
9
2
4
1
∴
(cosA)
min

9

3、解：∵2B=A+C ∴
B

3
acb12

∴
2R3


sinAsinCsinb
sin
3
3
222
3(sinAsin(

A))
其 中
A(0,

)
∴a+c=2R(sinA+sinC)=
333
解法完全同文中例题，解略。
又∵
b=1

4