新教师个人发展规划-核舟记译文

2020年呼伦贝尔市普通高中第一次统考
理科数学

注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小 题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 若A

0,1,2

,Bx|x2
a
,aA，则
AUB

A．
{0,1,2}

2．复数

B.
{0,1,2，3}
C.
{0,1,2，4}
D.
{1,2，4}


12i


2i
D.
1i

A.
i
B.
1i
C.
i

3.在< br>△ABC
中
BDDC,AP2PD,BP

AB
< br>AC
， 则



=

A．
11
1
1
B．

C．

D．
2
3
32
4. 在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成
一个扶贫小组分 到某村工作，则不同的选法共有
A
．
60
种
B
．
70
种
C
．
75
种
D
．
150
种

5. 过抛物线y
2
＝4x的焦点 F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，
则直线AB的斜率为
A.
2
B.

2
C. 22 D．
22

6.等比数列
a
n

的前n项和为
S
n
，若
a
n< br>0
，公比
q1
，
a
3
a
5
 20,a
2
a
6
64,
则
S
5


A.31 B.36 C. 42 D.48
x
3
7.函数
f(x)
x
的图象大致是
e1

8.在天文学中，天体明暗的程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足

1

m
2
m
1

5
E< br>1
lg,

2E
2
其中星等为
m
k
的星的亮度为
E
k
(k1,2)
.
已知太阳的星等是-26.7， 天狼星的星等是-1.45，
则太阳与天狼星的亮度比值为
A.
10
10.1


B.
10.1

C.
lg10.1
D.
10
10.1

9．把函数
ysin(x
向右平 移

6
，再将图象
)
图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标 不变）

个单位，那么所得图象的一个对称中心为
3



A．（，0） B．（，0） C．（，0）
3412
D．（0，0）
10.在棱长均相等的正三棱柱AB C-A
1
B
1
C
1
中，D为BB
1
的中点 ，F在AC
1
上，且DF⊥AC
1
，
则下述结论：
①
AC
1
⊥
BC；②AF＝FC
1
；③平面DAC1
⊥平面ACC
1
A
1;
④异面直线AC
1
与CD所成角为60°.

其中正确命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
x
2
y
2
11．已知双曲线C：
2
2
1(a0,b0),
以点
P(0,b)
为圆心a为半径作圆，圆
P
与
ab
双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°,则双 曲线C的离心率为
A.
75
B. C.
22
2
D.
3

< br>1
1,1x0


f(x1)
12.已知
f(x)

，若方程
f(x)2axa1
有唯一解，则实数
a
的
x

,0x1

2

取值范围是
A．

8

(1,)
B．


16

(
1
,1](2,)
2
C．

8

[
1
,1](2,)
2

D．

32

[1,2](4,)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．
(xy)(2xy )
的展开式中
xy
的系数为______.
533

2


xy10

14.设实数
x
、
y
满足约束条件

xy2
，则
z2x3y
的最小 值为_______.

x4

15.一个四面体的顶点在空间直角坐标 系
O-xyz
中的坐标
A
(0,0,5)
,
B
(3 ,0,0)
,C
(0,1,0)
D
(3,1,5)
，则该四面体的外 接球的体积为_______.
16. 数列

a
n

的 前
n
项和为
S
n
，数列

b
n

的前
n
项和为
T
n
， 满足
a
1
2
，
3S
n
(nm)a
n
(nN

,mR)
，且
a
n
b
n
n1
. 若任意< br>nN
*
,

T
2n
T
n
成立 ，
则实数

的取值范围为_______．
三、解答题：共70分．解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第22、2 3题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
1
在ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，已知a2，c23，cosC.
2

（1）求A；
（2）设M为BC中点，求AM的长.
18.（12分）
万众瞩目的第14届全国冬 季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦
贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒 假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职
工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调 查，得到如图频数分布直方图：
频率组距


0.30
0.20
0.18
0.12
0.11
0.09

0
1 2 3 4 5 6 收看时间（小时）

3

（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义
为 “冰雪迷”，否则定义为 “非冰雪迷”，请根据频率分
布直方图补全
22
列联表;并判断能否有90%的把握 认为该校
教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽 样抽取6名，再从这6
名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工
的人数为< br>
，求的

分布列与数学期望．
附表及公式：
P

K
2
k
0


k
0

合计
冰雪迷
非冰雪迷
男

20

女
20


合计



0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
n

adbc

K
，
nabcd


ab

cd

ac

bd

2
19．(12分)
在如图所示的四棱锥F-ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
ABC＝60°，
FC⊥平面ABCD，AC⊥BF，CB＝CD＝1，

(1)求证：AC⊥平面BCF；
(2)已知二面角F－BD－C的余弦值为
F
5
，
5
A
C
D
B
求直线AF与平面DFB所成角的正弦值.
20.（12分）
x
2
y
2
1
上任意一点，直线
l:x
0
x2y
0
y2
与圆已知点
M(x
0
,y
0
)
为 椭圆
C:
2
(x1)
2
y
2
6

交于
A,B
两点，点
F
为椭圆
C
的左焦点．
（1）求证：直线
l
与椭圆
C
相切；
（2）判断
AFB
是否为定值，并说明理由．
21.（12分）
已知函数
f(x)ln
（1）当
a1
时
4x
(2a)(x1)

x

4

①求函数
f(x)
在
(2,f(2))
处的切线方程；
② 定义
S
n
f()f()f(
1
n
2
n< br>4n1
)
其中
nN
*
，求
S
2020< br>；
n
2
（2）当
a2
时,
设
t(x) f(x)ln4xx,g(x)xe

1x
(
e
为自然对 数的底数), 若对任
意给定的
x
0


0,e

,在

0,e

上总存在两个不同的x
i
(i1 ,2)
，使得
t(x
i
)g(x
0
)
成立，求< br>a
的取值范围.


（二）选考题：共10分.请考生在第22、2 3题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一
题计分.
22.[选修4－4：极坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参 数方程


x1cos

．以O
(

为参数，
0



）

ysin
< br>为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2 ）直线
l
的极坐标方程是
2

sin(



3
)33
，射线OM：



3
与 曲线C的交点为
P，与直线
l
的交点为Q，求线段PQ的长．


23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x)＝|x－1|．
（1）解不等式
f(x)f(x4)8

（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f(
b
)．
a
2020年呼伦贝尔市普通高中第一次统考
理科数学（答案）

二、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题 给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1
C
2
A
3
B
4
C
5
D
6
A
7
D
8
A
9
D
10
B
11
C
12
B

5

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.40 14.14 15.
9

1
16.



22
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考 生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.
1ca
,且0C 

，C120,由正弦定理
2sinAsinA
231
 ,sinA，
sinAsin1202
C120
A锐角，A30
（2）A30,C120
B30
ba2
在AMC 中，由余弦定理得AM
2
AC
2
CM
2
2ACCM cosC
1
14221()
2
7
AM7（1）cosC

18.解（1）由题意得下表：
男 女
合
计
60
40
10
0
冰雪迷
非冰雪迷
40
20
20
20
合计

60 40
······ 3分

6

k
2
的观测值为
100(800400)
2
． ·······6分
25
2.706
604060409
所以有
90%
的把握认为该校教 职工是“冰雪迷”与“性别”有关．
（2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工，·····7分
所以的可能取值为0，1，2．
1
C
2
62
C
1
C
2
81
4
4
C
2

， ···10分 且
P


0


2

，
P


1


2

，
P


2


2
2
C
6
15C
6
15
C
6
155
所以的分布列为


P

0
2

5
1
8

15
2
1

15
281102E



012
51515153
． ········· 12分
19.解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD， ∠ABC＝60°，所以∠ADC＝∠
BCD＝120°.又AD＝CD，所以∠ACD＝30°，
因此∠ACB＝90°，AC⊥BC， ········· 3分
又AC⊥BF，
且BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面BCF，(没有BC∩BF＝B扣1分)
所以AC⊥平面BCF. ·········5分
(2)取BD的中点G，连接CG，FG，
由于CB＝CD，因此CG⊥BD，
又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD.
由于FC∩CG＝C，FC，CG⊂平面FCG，
所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，
所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角．在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，
1
因此CG＝，又CB＝CF=1，
2
因为cos ∠FGC＝

以CA为x轴、CB为y轴、CF为z轴建立空间直角坐标系，则D
(
B（0,1,0 ）
则平面DBF的法向量
n
5
，所以
tanFGC2
，所以FC=1 ·········8 分
5
31
,,0)
，F（0, 0,1），
22
(3,1,1)
，
AF(3,0,1)
，
7

设直线AF与平面BDF所成角为

，则sin

20.（12分）

|AFn|
|n||AF|
=
5
······· 12分
5
解：（1）当
y
0
0
时直线
l
方程为
x2
或
x2
，直线
l
与椭圆
C相切．

x
2

y
2
1,
< br>2

xx2yy2
0

0
当
y
0
0
时，由
2222
(2yx)x4xx44y0
，
0000
得
2
x
0
2
y
0
1
22
x2y2
，
2
00
由题知，，即
222 22222
(4x)4(2yx)(44y)16[x2(1y)]16(x2y 2)0
．
00000000
所以 =
故直线
l
与椭圆
C
相切．…………………………………6分 （2）设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，
当
y
0
0
时，
x
1
x
2
，
y
1
y
2，
x
1
2
，
uuuruuur
2
FA FB(x
1
1)
2
y
1
(x
1
 1)
2
6(x
1
1)
2
2x
1
2
40
，
uuuruuur
o
FAFB
所以，即
AFB90
．
22


(x1)y6,

2222
x0
x2y
0
y2

(y1)x2(2yx)x2 10y0
，
y0

0000
0
当时，由得
2
2(2y
0
x
0
)
x
1
x
2

2
1y
0
2
210y
0
x
1
x
2

2
1y
0
则，，
22
x
0
x
0
5x
0
4x
0
4
1
y
1
y
2

2
x
1
x
2

2
(x
1
x
2
)
2

2
4y
0
2y
0
y
0
22y
0
．
因为
uuuruuur
FAFB(x
1
1,y< br>1
)(x
2
1,y
2
)


x
1
x
2
x
1
x
2
1 y
1
y
2

2222
420y
0
8y
0
4x
0
22y
0
5x
0
4x
0
4

22
22y
0
22y
0< br>22
5(x
0
2y
0
)10
0
2
22y
0

．

8

uuuruuur
oo
所以
FAFB
，即
AFB90
．故
AFB
为定值
90
． ………………………………
12分
21.（1）①
a1
f(x)l n(4x)lnxx1,(0x4)

f

(x)
11
1
f

(2)1f(2)1
4xx
,
所以切线方程为
yx1
.
········· 3分
②
f(x)f(4x)2,(0x4)
.
i
ii< br>,则
f()f(4)2
,
(i1,2,,4n1)
.
n
nn
1221
因为
S
n
f()f() f(4)f(4)
①,
nnnn
1221
所以
S
n
f(4)f(4)f()f()
②,
nnnn
令x
*
由①+②得
2S
n
2(4n1)
,所以S
n
4n1,(nN)
.
所以
S
2020
8079
. ········· 7分
（2）
g

(x)e
1x
xe
1x
( 1x)e
1x
,
当
x(0,1)
时，
g
< br>(x)0,
函数
g(x)
单调递增；
2e
当
x 

1,e

时，
g

(x)0
，函数
g(x)
单调递减
g(0)0,g(1)1,g(e)e
所以，函 数
g(x)在

0,e

上的值域为

0,1
.

0

因为
a2
，
t
(x)2a
故
0
2

x
(2a) (x
x
2
)
2a
,x(0,e]

22
e,a2
①
2ae
此时，当
x
变化时
t

(x)
、
t(x)
的变化情况如下：
x

t

(x)

t(x)

(0,
2
)

2a
—
2

2a
0
最小值

2

,e




2a

+
单调增 单调减

9

x0,h(x),

22
t()a2ln,t (e)(2a)(e1)2
2a2a
,
对任意给定的
x
0


0,e

，在区间

0,e
< br>上总存在两个不同的
x
i
(i1,2),

使得
t (x
i
)g(x
0
)
成立，当且仅当
a
满足下列 条件
2

2


t()0

a2l n0
,即



2a

2a
 

t(e)1

(2a)(e1)21
令
h( a)a2ln

②
③
22
,a(,2),

2ae
2a
h

(a)12[ln2ln(2a)]
1,
2aa2
2
e

当
a( ,0)
时，
h

(a)0,
函数
h(a)
单调 递增，当
a(0,2)
时，
h

(a)0,
函数h(a)
单调递减
所以，对任意
a(,2),
有
h( a)h(0)0,
即②对任意
a(,2)
恒成立。
由③式解得 ：
a2
2
e
2
e
3
.
④ < br>e1


3

时,对任意给定的x
0
< br>
0,e

,

e1


综合① ④可知，当
a

,2
在

0,e

上总存在两个不同的x
i
(i1,2),
使
t(x
i
)g(x
0
)
成立。 ······· 12
分
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按 所做第一
题计分.
22.(10分）
2
（1）曲线C的普通方程是（x 1）y
2
1（,0x1，0y1)...........2分.
又x

cos

,y

sin

,所以曲线 C的极坐标方程是


2cos

（0

< br>
2
），.............4分.(没有0



2
扣1分)

2cos

1

1< br>

1

1

..........（2）设P 的极坐标为（

1
，

1
），则有

解得

6分




11

33< br>


2
(sin

2
3cos

2
)33

3


2

..........设Q的极坐标为（

2
，

2
）， 则有

解得

8分




< br>2
2


3

3

由于

1


2
，所以|PQ||

1

2
|2,所以线段PQ的长为2.........10分

10

解法二：直线l的直角坐标方程为
3xy330
,
射线直角坐标方程为
3xy330(x0)
…………………6分
所以两线交点
Q(,
333
)

22
射线与圆交点
P(,
13
)
， 所以
|PQ|2
…………………10分
22

2x2,x 3

23.解：（1）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝
< br>4,3x1


2x2,x1

当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；
当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；
当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．
所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3} …………………5分

（2）f(ab)＞|a|f(
b
)即|ab－1|＞|a－b|．
a
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab－1|
2
－|a－b |
2
＝(a
2
b
2
－2ab＋1)－(a
2
－2ab＋b
2
)＝(a
2
－1)(b
2
－1)＞0，
所以|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立． …………………10分





11