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最新2015年高考解三角形做题技巧与方法总结
知识点整理
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a< br>2
＋b
2
＝c
2
。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝
aba
，cosA＝sinB＝，tanA＝。
ccb
2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
abc
2R
（R为外接圆半径）
sinAsinBsinC

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们
夹角的余弦的 积的两倍
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccosA； b
2
＝c
2
＋a
2
－2cacosB； c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC。
3．三角形的面积公式：
111
ah
a
＝bh
b
＝ch
c
（h
a
、h
b
、h
c
分别表示a 、b、c上的高）；
222
111
（2）
S

＝absi nC＝bcsinA＝acsinB；
222
（1）
S

＝
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其
中至少有一个是边）求 其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的
元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以 及内切圆半径、外接圆半径、面
积等等．主要类型：
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角
形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；c os(A+B)=－cosC；
tan(A+B)=－tanC。
sin
ABCABC
cos,cossin
；
2222< br>（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形
式或角的形式.
6．求解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；
（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；
（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。


三、典例解析
类型一：解三角形与向量的结合
例1.在
ABC
中，角A,B,C的对边 分别为
a
,b,c,且满足
asinC3ccosA
，
uuuru uur
ABAC2
．
（Ⅰ）求
ABC
的面积；
（Ⅱ）若
b1
，求边
c
与
a
的值．
解：（Ⅰ）由正弦定理得
sinAsinC3sinCcosA
，
sin A3cosA
，
tanA3
，
A60
o
，
uuuruuur
由
ABAC2
得
bc4
，
AB C
的面积为
3
．
（Ⅱ）因
b1
，故
c4
，
由余弦定理得
a13

练习：
1.在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
bcosC3acosBccosB.

（I）求cosB的值； （II）若
BABC2
，且
b2 2
，求
a和c
b的值.
解：（I）由正弦定理得
a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC
，
则2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB,
故sinBcos C3sinAcosBsinCcosB,
可得sinBcosCsinCcosB3sinA cosB,
即sin(BC)3sinAcosB,
可得sinA3sinAcosB. 又sinA0,
1
cosB.
3
因此

（II）解：由
BABC2,可得acosB2
，
1
又cosB, 故ac6,
3
由b
2
a
2
c
2
2 accosB,
可得a
2
c
2
12,
所以(ac)< br>2
0,即ac,

所以a＝c＝6


类型2解三角形与三角恒等变换的结合
例2：在
ABC
中，
a, b,c
分别是角
A,B,C
的对边，若
tanA3
，
co sC


（1）求角
B
的大小；
（2）若
c4,
求
ABC
面积。
5
。 5
解：（1）由
cosC
525
sinC,tanC2

55
Q
tanBtan(AC)
又
0B

，
B
tanAtanC
1
；
1tanAtanC

4
；

（2）由正弦定理
bcc
sinB10
， 可得，b
sinBsinCsinC
由
sinAsin(BC)sin(
所以

ABC面积
S
ABC


4
 C)
得，
sinA
310
；
10
1
bcsinA6
；
2
3
例3：如图，角
A
为钝角，且
sinA
，点
P
、
Q
分别 是在角
A
的两边
5
上不同于点
A
的动点. 新|课 | 标|第 |一| 网
（1）若
AP
=5，
PQ
=
35
，求
AQ
的长；
12
（2）设
APQ

,AQP

,且cos

,求sin(2



)
的值.

13
3
解：（1）
A
是钝角，
sinA
，
5
4
cosA

5
在
APQ
中，由余弦定理得：
PQ
2
AP
2
AQ
2
 2APAQcosA

所以
AQ
2
8AQ200

解得
AQ2
或
10
（舍去负值），所以
AQ2

（2）由
cos


125

,得sin



1313
在三角形
APQ
中，



A


3
又
s in(



)sin(

A)sinA,

5
4

cos(



)cosA

5
 sin(2



)sin[

(



)]sin

cos(



) cos

sin(



)

5412356



13513565
练习2：
1
在

ABC中，
sin(CA)1
, sinB=.
3
（I）求sinA的值 ， (II)设AC=
6
，求

ABC的面积.
本小题主要考查三角恒 等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解
能力。本小题满分12分
CA< br>解：（Ⅰ）由


B
A
2
，且
CA

B
，∴
42
，∴


B2BB< br>sinAsin()(cossin)
42222
，
11
3
sinA(1sinB)
sinA
23
，又
sinA0< br>，∴
3
∴
2
C
ACBC

（Ⅱ）如图，由正弦定理得
sinBsinA

A B
BC
ACsinA

sinB
6•
1< br>3
3
3
32
∴

，又
sinCsin( AB)sinAcosBcosAsinB

322616

33333

S
ABC

116
AC•BC•sinC63232
223

1
ac.

2
∴
类型3：解三角形中的最值问题
例4：
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且
a
2
c
2
b
2

AC
cos2B
的值； （2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
2
1
解：(1) 由余弦定理：conB=
4

（1）求
sin
2
AB
2
+cos2B= -
1
sin
4
2
（2）由
cosB
115
,得sinB.< br>44
∵b=2，
8
15
2
2
a
+c
=
1
ac+4≥2ac,得ac≤
3
,S△ABC=
1
acsinB≤
3
(a=c时取等号)
22
15
故S△ABC的最大值为
3

5、在
ABC
中，已知内角A、B、 C所对的边分别为a、b、c，向量
m2sinB,3
，


B

n

cos2B,2cos
2
1

，且
mn
。
2

（I）求锐角B的大小； （II） 如果
b2
，求
ABC
的面积
S
ABC
的最大 值。
(1)解：m∥n
B
2sinB(2cos2
2
－1)＝－3cos2B
tan2B＝－3 ……4分 2sinBcosB＝－3cos2B
2ππ
∵0＜2B＜π,∴2B＝
3
,∴锐角B＝
3
……2分
π5π
(2)由tan2B＝－3 B＝或
36
π
①当B＝
3
时，已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立) ……3分
13
∵△ABC的面积S△ABC＝
2
acsinB＝
4
ac≤3
∴△ABC的面积最大值为3 ……1分
5π
②当B＝
6
时，已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2＋3ac≥2ac＋3ac＝(2＋3)ac(当且仅当a＝c＝6－2时等号成立)
∴ac≤4(2－3) ……1分
11
∵△ABC的面积S△ABC＝
2
acsinB＝
4
ac≤2－3
∴△ABC的面积最大值为2－3 ……1分
注：没有指明等号成立条件的不扣分.
类型4：解三角形中的综合题目
ur
例5：在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量
m(1,2sinA)< br>，
rurr

n(sinA,1cosA),满足mn,bc3a.< br> （I）求A的大小；（II）求
sin(B
6
)
的值.
2
2sinA1cosA0
解：（1）由mn得……2分

2
即
2cosAcosA10

cosA
A是ABC的内角,cosA1
舍去
A
3

1
或cosA1
2


（2）
bc3a




由正弦定理，
sinBsinC3sinA
3
2

2

3
2
sinBsin(B)
BC

3

32

333

3
cosBsin B即sin(B)
22262


练习：△ABC中，a，b，c分别 是角A，B，C的对边，且有sin2C+
3
cos（A+B）
=0，.当
a 4,c13
，求△ABC的面积。
由
sin2C3cos(AB)0且ABC


2sinCcosC3cosC0所以,cosC0或sinC
3
2
……6分 有
由
a4,c13,有ca,所以只能sinC
3
< br>,则C
23
， ……8分
2222
cab2abcosC有b4b30,解得b1或b3
由余弦定理
当
b3时,S
1
absinC33
2
当b1时,S
1
absinC3.
2











课后作业 < /p>

1.在
ABC
中，
a,b,c
分别是角
A, B,C
的对边，若
tanA3
，
cosC


（1）求角
B
的大小；
（2）若
c4,
求
ABC
面积
5
。
5
解：（1）由
cosC
525
sinC,tanC2

55
Q
tanBtan(AC)
又
0B
< br>，
B
（2）由正弦定理
分
tanAtanC
1
；……………………4分
1tanAtanC

4
；……………………6分
bcc
sinB10
，可得，
b
；…………………8
sinBsinCs inC
由
sinAsin(BC)sin(
所以

ABC面积
S
ABC


4
C)
得，
sinA
310
；……………………10分
10
1
bcsinA6
；……………………12分
2
2 、△
ABC
中，
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，< br>tanC
sinAsinB
,
sin(BA)cosC
.
cosAcosB
（1）求
A,C
； （2）若
S
ABC
33
,求
a,c
.
tanC
sinAsinBsinCsinAsinB

cosAc osB
，即
cosCcosAcosB
， 解：(1) 因为
所以
sinCcosAsinCcosBcosCsinAcosCsinB
，
即
sinCcosAcosCsinAcosCsinBsinCcosB
，
得
sin(CA)sin(BC)
. 所以
CABC
,或
CA

(BC)
(不成
立).
C

3
，所以.即
2CAB
, 得
BA
2

3

又因为
sin(BA)c osC

15

BA
BA
6
，或
2
，则
6
（舍去）

得
A

4
,B
5

12

(2)
S
ABC< br>
162
acsinBac33
28
，
ac

ac
23

2
，21世纪教育网 又
sinAsinC
, 即
2
得
a22,c23.

3.
ABC
中，
D
为边
BC
上的一点，
BD33
，
sinB


53
，
cosADC
，求
AD

135