理解力-向华胜

中考 2020
第18讲 锐角三角函数及其应用

1．锐角三角函数：如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，
a
∠A、∠B、∠C对应的边分别为a，b，c，则：∠a的正弦sinA＝；
c
ba
∠a的余弦cosA＝__；∠a的正切tanA＝.
cb

2．特殊角的三角函数值
30°，45°，60°的三角函数值，如下表：
正弦
1

2
余弦
3

2
正切
3

3
30°

45°
2

2
2

2
1
60°
3

2
1

2
3
3.解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 图形 解法

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一直角边和一锐角(a，∠
A)

aa
∠B＝90°－∠A，c＝，b＝
sinAtanA
已知斜边和一个锐角(c，
∠A)

∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA, b＝
c·cosA
已知两直角边(a，b)
a
c＝a2＋b2，由tanA＝求∠A，∠B＝
b
90°－∠A

已知斜边和一条直角边
(c，a)

4．锐角三角函数的实际应用中的常见概念
(1)铅垂线：重力线方向的直线；
a
b＝c2－a2，由sinA＝求∠A，∠B＝
c
90°－∠A
(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；
(5)坡角：坡面与水平面的夹角；

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(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫 做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，
h
用l表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；
l
(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角． < br>注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南 方向
指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.


考点1：直角三角形的边角关系
12
【例题1】如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝2.求：
32
(1)BC的长；

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(2)sin∠ADC的值．


【解析】：(1)过点A作AE⊥BC于点E.
∵cosC＝
2
，∴∠C＝45°.
2
在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，
∴AE＝CE＝1.
1AE1
在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，
3BE3
∴BE＝3AE＝3.
∴BC＝BE＋CE＝4.
1
(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.
2
∴DE＝CD－CE＝1.
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°.
∴sin∠ADC＝
2
.
2
归纳： 1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角．
2．在 求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或
勾 股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．
3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以 通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三
角形求解．
4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具．
考点2：锐角三角函数的实际应用
【例题2】（2019•甘肃省庆阳市•8分）图①是放置 在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高
度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩C D＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调
节一定的角度．使用发现： 当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为
49.6cm．请通过 计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：
3
取1.73）．

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【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB 于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．

∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE＝FH，
在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，
∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），
∴FH＝CE＝34.6（cm）
∵DH＝49.6cm，
∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），
在Rt△CDF中，sin∠DCF＝
∴∠DCF＝30°，
∴此时台灯光线为最佳．
归纳： 解决锐角三角函数有关的题目，常结合视角知识通过作辅助 线构造“直角三角形”，进而利用直角
三角函数进行求解，常见辅助线的作法和基本图形的构造如下所示 ：
(1)构造一个直角三角形：
(2)构造两个直角三角形：
DF151
＝＝，
CD302

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①不同地点测量：
②同一地点测量：



一、选择题：
1. （2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可 以在小河边取PA的垂线PB上的一点
C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于 （ ）

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A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
【答案】C
【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
2. (2019湖北宜昌3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在< br>这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A．
4

3
B．
3

4
C．
3

5

D．
4

5
【答案】D．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝
AD< br>2
CD
2
＝
3
2
4
2
＝5．
＝∴sin∠BAC＝
故选：D．
4
．
5

3. 如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′ B′，则
tanB′的值为（ ）

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A.
2
111
B. C. D.
4
234
【答案】：B
【解析】：解答：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=
CD1


BD3
∴tanB′=tanB=
故选B．
1
．
3
4. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为 30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，
若tan∠BAC＝
2
，则此斜坡的水平距离AC 为（ ）
5

A．75m
【答案】：A
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝
∴tan∠BAC＝
B．50m C．30m D．12m
2
，BC＝30m，
5
2BC30
==，
5ACAC
解得，AC＝75，
故选：A．
5. 已知△ABC中，∠C=90°，tanA=
1
，D是A C上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（ ）
2

A.
1010
33
B. C. D.
510
510
【答案】：A

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【解析】：解答：作DE⊥AB于点E．

∵∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD=
BCCDDE1
=，

ACBCAE2
设CD=1，则BC=2，AC=4，
∴AD=AC- CD=3，
在直角△ABC中，AB=
AC
2
BC
2
 41625
，
在直角△ADE中，设DE=x，则AE=2x，
∵AE+DE=AD，
∴x+（2x）=9，
解得：x=
22
222
35
，
5
则DE=
3565
，AE=．
55
6545
=，
55
∴BE=AB- AE=
25

∴tan∠DBA=
DE3

，
BE4
3
．
5
∴sin∠DBA=
故选A．
二、填空题：
6. （2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC= 90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，
则线段CD= ．
【答案】：17
【解答】解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD=，
∴=，

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设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）+（4x）=20，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD=
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴=，又BC=10，
=5，
222
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD=
故答案为：17．
=17，

7. （2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些 小正方形的顶点上，AB、
CD相交于点O，则tan∠AOD= 2 ．

【答案】：2
【解答】解：如图，连接BE，

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∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF=
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为：2
8. （2018•无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2
【答案】：15或10．
，∠B=30°，则△ABC的面积等于 ．
=2，
【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，

在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=AB cosB=5
在Rt△ACD中，∵AC=2
∴CD=
则BC=BD+CD=6
=
，
×5=15；
，
=，
，
∴S
△A BC
=•BC•AD=×6
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，

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由①知，BD=5
则BC=BD﹣CD=4
，CD=
，
，
∴S
△ABC
=•BC•AD=×4
综上，△ABC的面积是15
故答案为 15或10
×5=10
或10
．
，
．
9. （201 9•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调
整晾 衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为 120 cm．（参
考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8， cos53°≈0.6．）

【答案】120
【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝
11
∠BOD＝×74°＝37°，
22
∴∠FAB＝∠BOE＝37°，
在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，
∴h＝AF＝AB•cos∠FAB＝150×0.8＝120cm，
故答案为：120

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三、解答题：
10. （2018·湖北荆州·10分）问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数． < br>探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求 出
α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．

【解答】解：（1）连结AM、MH，则∠MHP=∠α．

∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠HMC=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，即α+β=45°．
（2）由勾股定理可知MH=
∵∠MHR=45°，
=．

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∴==．
11. （2019•湖北十堰•7分 ）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，
β＝ 30°，求BC的长．

【分析】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得 到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到
AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得 到结论．
【解答】解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，
∵坡角α＝45°，β＝30°，
∴BE＝AE＝6，CF＝
3
DF＝6
3
，
∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6
3
＝9+6
3
，
∴BC＝（9+6
3
）m，
答：BC的长（9+6
3
）m．
12. （2019•江苏宿迁•10分） 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共
享单车放在水平地面上的实物 图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD
＝64°，BC ＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2） 根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，
现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．
（结果精确到0.1cm，参考数据：s in64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）

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【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案； < br>（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝
E'H
求得E′C的长度，再根据EE′ ＝CE﹣CE′可得答案
sinECH
【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，

由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，
∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；
（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，

由题意知E′H＝80×0.8＝64，
则E′C＝
E'H64
＝≈71，1，
sinECHsin64
∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．
25
13. 如图，已知，在△ABC中，AB＝AC＝25，sinB＝，D为边BC的中点 ，E为边BC的延长线上一点，
5

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且CE＝BC.连接AE，F为线段AE的中点．求：
(1)线段DE的长；
(2)∠CAE的正切值．
【解析】：(1)连接AD.
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
即∠ADB＝90°.
∵AB＝AC＝25，sinB＝
25
5
，
∴
AD
AB
＝
25
5
.∴AD＝4.
由勾股定理，得BD＝2，∴DC＝BD＝2，BC＝4.
∵CE＝BC，∴CE＝4.
∴DE＝DC＋CE＝2＋4＝6.
(2)过点C作CM⊥AE于点M, 则∠CMA＝∠CME＝90°.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
AE＝AD
2
＋DE
2
＝213.
∵CM
2＝AC
2
－AM
2
＝CE
2
－EM
2
，
∴(25)
2
－AM
2
＝4
2
－(213－A M)
2
，
解得AM＝
1413
13
.
∴CM＝AC
2
－AM
2
＝
813
13
.
∴tan∠CAE＝
CM
AM
＝
4
7
.