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2020年08月16日 10:44
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千里送鹅毛的歇后语-新员工年终总结




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222222
cabsinsinBAsinBsinCabsinA
（1） 例如：
AsincosBasinBcosCsinCcosBbcosCc
（2）（恒等式）

CsinbcsinB
） （3

22
Asina
222
Acosbc2bca
、余弦定理：
2
2

A,aA1bcbccosa2
的情况下，配 合均值不等式可得到此公式在已知 变式：
bccb

2
和 的最值 3、三角形面积公式：
1ahS
a
h
） （1为三角形的底，（为对应的高）


22

2111BacsinACbcsinSabsin
）（2

2 2211
2
RCAsinBsinBC2RsinA2RsinsinC2RsinS absin
为外接圆（3（其中）

半径）

CAB
，从而可得到：4、三角形内角和：
 

CCBsinsinAsinB
1）
正余弦关系式：（





CBcosAcoscosBC


）在已知一角的情况下，可用
另一个角表示第三个角，达到消元的目的（2 、 两角和差的正余弦公式：
5

ABsinBABcossinAcossin



BsinAsinBcoscosABcosA



b

22

sinasinAbc osBaAbtan
6，其中 、辅助角公式：

a
、三角形中的不等关系


7

）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验
证较小的两边之和是否比（1 第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少
（2）在三角形中，边角以及角的三 角函数值存在等价关系：
BcosAsinBcosAsinAabB


BsinAcosABcosABABsin
仅在一利用的是余弦函数 单调性，而其中由 个三角形内有
效。 8 、解三角形中处理不等关系的几种方法）转变为一个变量的 函数：通过边角互化和代入
消元，将多变量表达式转变为函数，从而（1 将问题转化为求函数的值域 ）利用均值不等式求
得最值（2 二、例题精析：


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满足1例：△ 各角的对应边分别为 ，则角

cb 1c,a,bABCA
的范围是 ，

baac
D A． ． BC．




]](0,(0,)[,,)[
．

6633cb1

思路：从所给条件入手，进行不等式化简：
baca

222
bcacacabbabb cac
，观察到余弦定理公式特征，进
222
1cba
222< br>cosAbcabc
Acos
：：，可解得而利用余弦定理表示

22bc

0,A



A

3

答案：
ca
c,A,B,Ca,b

ABC
，已知所对的边分别为2例：在 中，角
Csin

Acos3
A
的大小（1）求
cba6
）若 ，求的取值范围（2
ca
可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”解：（1）由


条件


ntaA31

CsinsinCAA33coscos

A


C sinAcos3CsinsinAac
3cb,CA,B,R
a
ABC
与， 从而可求出外接圆半径中，已经已知 ，进而（2）思路：考虑在

，若从边的角度考虑，则< br>能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”也可进行边角互化。
60A
但不易利用 这个
条件，考虑利用角来解决

abc34
解：

C3sinB,c43sinb4
BCACB


333ACsinsinBsin


22


2




Bsin43sinBc43BsinsinCb



3



1331

2222612si nBcossinBcosBsinBsin4312BB





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2
15,1B,B ,sin
B0



26666
3






6,12bc


c,Ca,bA,B,cCABC2a2bcos
，且例3：在锐角所对的边分别为中，角


B
（1）求角

CsinsinA
的取值范围（2）求
222
cabbc2bco sC2a22ac
）方法一：使用余弦定理（1 解：

ab2
222222
acacbcbcaa


1
222
Baccosc2ba
BsBco
由余弦定理得：


32c,b,a
齐次，考虑使用正 弦定理方法二：观察等式
sinC2sinAc2sinBcosC2bcosC2a



B2sinCcosCsincosC2sinCBCsin 2sinB



1cosBB



32

22ACAC
2） （
33

23113
2
AcosAsincosAsinAsinAAsi nAsinAsin



22223
1A2131cos2nAA2sisin

44264
0A


20,CA,B,A
ABC
为锐角三角形



2226



A0


23

3151 ,sinC,1sinAnsA2iA2,




4622666
CC A
满用代换，所以小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个
角均为锐角，而
A
来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有足锐
角的条件也由 范围，则这个范围由主元承担。
例所对的边分别为：在4中，角，已知

ca,,b CA,B,RBCsinpsinpsinAABC
，

1
2
bac
且


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4

5ca,p1,b
）当的值时，求 （1

4Bp
的取值范围 为锐角，求（2）若角
1555acbsinAsinCsinBac
解：（1）

4444
511aca

a4

4
或
11c1c

ac4

4
1
2
Bbpb,acac

也刚好（2）思路 ：
以“角为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而
4Bcospp10cosB
的关系式，再由与可解得
得到的范围
2

222
B12ac bac2accosBaccos
解：考虑余弦定理
113
22222
Bbcos1cosBbpbp


222
3
2
,2p
B
0pbpac
1B 0cos

为锐角，


2




62p,

2CsinB2sinsinA2
CABCcos
的内角满足 ，则 例5：若的最小值是


222
cabcosC
Cco s
虑，行表示，：所求考弦的最值可想到余定理用边进路思

ab2

c2a2bsinA2sinB2sinCc
，进而消去计算表达式的最值即可角化 边得到：
222
cab
cb2asinB2sinC22sinACc os
解：可得：由
ab2

231
22
ba
22
abab


2

222
23a1babc


ba2c



2
2

b2a

242cosC


44a822abab2abb


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6a3b2

448ba

6
答案：
4
b
c,A2B
CABCbB
的取值范围是6：在锐角、则中的对边长分别是,、例

cb+
( )


31111221)(,)(,)(,)(,
． CA． D． B．


44332323
：边化角从： 本题所给条件为角的关系，不易边入手，所以将所求进行路思

1bsinB
Cs in
BA,
关系，从的范围即可。条件所给的是，只需求出

Cnsi
Bsin
nisCb+csinB1


BsinAcossinBCsinsinAcosB
,2BA
：的个数减少角而， 利用

BsinsinB
2
1BcosB,cosAcos2B2co ssinAsin2B2sinB
：得入可，代

Csin
2
B14cosB
的范围即可。，根据锐角三角形求出

CsinCsinBb+csin1

Bsin1sinBb
解：



Bsin

BsinAABcossinsinCAcosBsin

BsinsinsinBB

1B2cosBsin2B2sinBcosB ,cosAcos22ABsinA
由
2
BBsinBsinC2si nBcoscos2
22
1B2cos4cosBcos2B

2
BsinsinB

B02


B ABCBA20
因为解得： 为锐角三角形



462



3B0C

2

22
Bsin
1b11,


答案：




Csin
32
2
,cosB
1,2B14cos



Csin2+bc31

Bsin
B


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本题的关键 点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，

小炼有话说：


只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分
B
，所
以在求式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是
CA,B
表
达式范围时将来进行表示，以便于求得值域。均用
2
222< br>cB,Ca,b,A,ababcABCABC
的的角，
且所对的边分别是7例： 已知，若



3

23
ABC
__________ 外接圆半径为，则面积的最大值为

2

222
1abc2
222
cosCabc ba
Ccos
所以可联想到余弦定理求，由，从思路：

32ab3
，，而所求面积可表示为则只需解出

221sinCCabsinS
ab
由外的最大值即可。



ABC
32

22




232122

，

232
22
Rab16a b
4sinCc2RsinC
而，及所以可得接圆半径：
S4212 abba2122abab16ab
，所以 ，所以有

ABC
323

24
答案：




C
，在计算面积时有小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从 而解出
111BacsinbcsinAabsinCS
，通常是“依角而选”，从而把 三组边角可供选择：

222ab
的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项 ，再配上均值不等式往往目标转向求 可以
找到最值。
Bsincb,aCa,b,c,A,B ,ABC
的取值范围所对的边为成等比数列，例8：设的内角，
若则

Asin

______________
是
Bsin
22
c,a,b
CBsinAsinsinbac
所求表达式也可视为成等比数列 可得：思路：由 ，，



a
AsinBsinb
< br>22
BAsinsinABsinsinBsinACsin
无法与也可视为则 。如果从角入手，
Aasin
2
b
2
cacb
ca bABCabc
，，在则由中，若可得： ，联系。所以考虑从边入手。

2
2


a
aa2a



b
b5bb1
ba
acb011则，所以同，即理，若，

综上，解得：



2
b51b1b551sinB1abcab,
。



a2a22asinA


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1515,
答 案：
22
cb
aca,b,
的取值BC边上的高为所对的边分别为 ，
则，且例9：已知△ABC中，角A,B,C

bc
．范围为______


cbcbcb22
cb
时

bcbcbc
22
cbcb
可联想到

思路：一 方面由所求出发，可用均值不等式得到，验证
余弦定理存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度 入手
bccb
222
A2abcbcosc
得的底和高可，而由题目中
11
22
AsinabcbcsinAaS
，所以有：


ABC
22
2

Acos2bccos2bcAbcs inAbcaA2cosAsin
A2cosAsin
的，只需求得

bcbccb
12



55cb


AsinA2cosA55sinAsinAcos2tan
，范围 即可，考虑，


）在解三角形中，能


5A2cossinA
52,
所以，综上：
bc
52,
答案：

小炼有话说：< br>够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题（1没有选择边化角，而是

< p>
抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件能否把多余的元消
2
a
，从而整理出一个可操
作的表达式去（比如本题中的）

的一）最后运用辅角公式时 ，辅助角并不是特殊角。这种情
况下可用代替俯角，并用（2

AA
的范围 能个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观
察到的范围，从而确定

5
，所以经过能够取到
2C,,BAABC
足角例已知满的内重10：（2014，
庆）

1

ca,b,niBn(CC)BsAinsiA 2As2S1S
分别是，面积满足，记

2CA,,B
）所
对的边，则下列不等式一定成立的是（



8bcbc2abab16
A. B.

2412abc12abc6
D. C.
件简。靠所发件从，较子的判题：思路本需断式比多先条出向求拢化已条知


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11

ninsnsAiBiABC)sinsCABC4sin2Asin(
即得，可


221
2
CAsinBsinS2rsinsinCsinsinAB21S
：式可得及，联想到面积公

81
2
2r2r122abc
r
由方面可求出范围，另，从而用可一进行表示

4

ccbabcbcbcabcb
，利用 不等式的传递性即可求出的范围
1

sinBCAsin2Asin(A BC)
解：

21


Csin2Asinsin2B2


21CBsin2sin2Asin2


21

B2A2sin2Asin2Bsin


21sin2Bcos2Asin2Asin2Bsin2Acos2B


21

A11cos2Bsin2Bsin2Acos2


2




1
22
B2sin2AsinBsinA2sin2

21
22
sinsinAB4sinBcosBA4sinAcos

21

ABcossinAcosBsinsinAsinB

811

BsinBCsinAsinAsinBsinsinA
即
88CRsinsinB,c2a2RsinA,b2R
由正弦定理可得：
111
22
RBsinCsinBsinC2RsinsinARSabsinC 2sinA2R


ABC
422

1
2
2R21R222S1
所以由可得：
4

33
DC,
2R8,16abc8RsinAsinBsinC
均不正确，所以


8cabcbcbacbA

正确


8abcababBcba
不正确 同理， 三、近年好题精选
cb,aBA,,C,
ABC
，且的三内角
所对边 的边长分别为2016、1（，上海十校联考）设锐角

A1,B2a
b
，则的
取值范围为（）


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


0,2
2,21,332,
A.
C.
B. D.

N4,3,AC AB
ACABCAB
（含的中点，是、（2016江苏高三第一次联考）在中，边2

M
AcosBMCN
_______
，则端点）上存在点的取值范围是 ，使得
75BCA
2ABCDBCAB
的取值，）在平行四边形，
则 中，I3、（2015，新课标

范围是
_______
c,b,A,B, Ca
ABC
，且中，内角2016，哈尔滨六中上学期期末考试）在的对边分别为4、
（

ab2c2,
ABC
_________
的面积最大值为，则

CB,a,b,cA,2aABC
且分别为）已知的 对边，三个内角5、（2014，新课标全国卷I


CcbsinBsinb2sinAABC
_______
，则面积的最大值为

cA,B,Ca,b,
ABC
，则下列命题正 确所对的边分别为月月考）在的内角、（2016，洛阳126

________
的是

2
C2sinsinAsinB
C0
，则 若①

4C0c2ab
② 若，则




3
444
cab
ABC
，则若③ 为锐角三角形


④ 若
2cb,Ca,A,B,ABC
，陕西）7、（2014的对边分别为的内角

abb2caC
，则


cb,a,CAsinAsinC2sin
1（）若成等差数列，证明：
c,b,aBcos
）若（2的最小值成等
比数列，求
1bacosCc
,c,A,B,Cab,
ABC
. 的内角所对的边分别为、设8且
（1）求角
ABCa1l
.
，求的周 长（2）若的取值范围
,CB,sincosCcos,sinsinBACAcosAB
ABC
、已知9和满足：

2A
的大小；
111111


ABC
）求证：是钝角三
角形 ，并求最大角的度数1
（
最小值2（）求



222
CBsinsinsinA
的

1fxxcos22x2cos
. 10、2016（，安徽六校联考）已知函数


3




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
xf
（1）求的对称中心
b

0fA
c b,A,B,Ca,
ABC
，求的取值范围，且2（）若锐角所对
的边分别为中角
习题答案：A

c

1、答案：
Asin2sinBB2A
解析：
A2coscosAB2sinAcosAb2asin


2A0B

2
：解由锐角所可




AABC0A
以，得知，


462



3ABA0C2

32


32,b2cosA,cosA
，从而



223,1
、答案：2


8
解析：

MBNCCNBMAC
，使得方法一：若，则存在点为锐角或直角
BNC

在中



222
0BCCNBN


222
AACcosAC2ANCNAN


222
Acos2ABACBCABAC


22222
0A2ABACAN2ACcosAACABcosBNAN AC



34ACAB,3,BNAN
，可得：代入
2
99

024cosA12cosA91616


44
39soAcA12cos



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82
3,1Acos



8
方法二（向量法）

3


0N3,0B,,
nA o4csA,4sCi
x
ABA
，以点为原，直线设为，轴建系，则

2

4AMt0t


3


sAsn,4,NAiBMc4c3tosA,tsionAC
AtsinMcostA,



2

3

04sinAAtcosA34cosAtsinBMBMCN 



2

3155
 
,1AcosA8cos
,11t0,4cosA
由和可得


83t8




：延长点解

22,66
3、答案：
CDBA,EEAD
在，则交于析中，



30EADEDAE105,45,



DEADAExAD
得可定理则设由正弦，


EADsin sinADEsinE
26xAE2x,DE
mCD
：定理弦，则由正设226xm

226BCCE2

，可得：

m2x6
，整理后可得：

2sin30sin75EsinsinB

26

26xmABBEAECE262xAE
可知 ，由所以
，

222
ab2c2,Cabcoscab2
：得可代：
2


20,x
262,6AB
，所以
22
、答案：4
入得定：解析由余弦理可
2
4a3

222
CcosC4a2a22acos
，即，所以有：

2
a22

22422

24
1a1624a212

ABC4
4a2228

16a24Sacos1aCabsinCa




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1


22
8212a1

4

22S
12a
时，所以当有最大值为
ABC

3
5、答案： 解析：由正弦定理可得：

< br>cb2caAsinBcbbsinCb2bsin

bcbcb2a2ab


2222
4bccbcbb4c


22

1
222


32

A2bcccos4ab
AcosA


31bcbcsinAS


ABC
42

2222
bcc24bbcbc
且




3S4bc4bc2bc

即
ABC
答案： ①②③
ab
2222
c2ab
aCbc2abcos
，< br>
6、
由余弦定理可得，整解析：① 由正弦定理可知：
2
ab22
ab

2311ab12cosC1
C 0
理
可得：，所以



2442ba42ab< br>4

2
ba
22
ba
22222< br>1bba32ababc33a4cosC
②



4aab8b2ab2ab81b1ab13a3
 

0,C
cosC2
，从而从而


3
2448ba8ba



22222 44224
0ca2bacabb
以所 ，③

22222222222222
0abc0ccbabbaca
则即 ，，
222
cab0socC
ABCABC
，

ab2
所以是锐角三角形最大角为锐角。即




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

abcab2C
12,cab
满足，则，不符题意④ 取

23cb,a,
）成等差数列、解
析：（17
弦定理可得：

cba2
，由正



CABCsin2sinBsinA





CACsinAsinC2sin2s inA

cb,,a
acb
成等比数列2）
2
（


由余弦定理可得：


22222
caacb1ac1aacc1112cosB




2c2ac2ac2caa2ca
等号成立当且仅当
1Bcos
的最小值为

211BsinsinCbsinAacosCcosCc
81）、解析：（


221

CACsinCsinsinAcos


2


1AcossinCCsinAcossinAcosCsinC

21Acos

2

A

3
21cab
）
（2
ACsinsinBsin33222bsinCsinB,c


332

1clsinBsinCab


3

3



sinBsi nBBsinABCsinBsinsin



3313BcosBBsinsinBcosBsin



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2222




B3sin



6

2B0


3

,ABCA



223B0C

33


52,B0,B
解得：


6663

3



3,BsinCsin




2


2,3l



AcoscosA
1
2AcossinA
1
BsinBcosBBcoscos
CAB
1）不妨设可 得：，
由、解析：9（

11
2CCsincos
1


CCcoscos

1
2



0,CA0,B,
若，则
22
AA
1




1111
222CC

11
22

AA


2
 
33


CBCABABB
， 三式相加可得： ，


1
2
等式显然不成立

0sin1AAcosA
若，则，显然不成立
1
2







, A
CABABCBB
，此时，三式相加可得：


2
22



CC

1
2
1111


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3


AAA
，解得：

4
4

222
CsinAsinsinB



42

3
0,B
BC
）可得：且（2）由（1



C13cos21cos2B
2
sin



242

13Bcos2cos2B



422

2313
 
2sin2BBsincos2B





4444

42222
3,0,2BB




2,1sin2B




24




23

222
BCAsinsinsinB
处取得） （在

28
min

（）
22< br>
12sin2xx3sin2cos2x1


31

1cos2xx2cos2xfsin2x
110、解析：


6

k

Zkxk2x

对称中心为：

2612


,1k
对称中心为：



12

12A2sin2A10sin
2）由已知可得：（


266

5AA2A2
（舍）或
13CsinCsincosC



36666

13bsinB

322


2CCCCcsinsinsin2tan


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ABC
因为为锐角三角形


C0


2,C






226BC0

23

31btanC,2



32c




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