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南京市2020届高三年级学情调研卷
数 学
2019. 09

一、填空题： (本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． )
1、函数
f(x)x1
的定义域为 ▲
【答案】1,
【解析】被开方式大于等于 0
【点评】考查函数定义域的求解，该题属于基础题型.
2、已知复数z满足
(z2)i1i
，其中i是虚数单位，则复数z的模为 ▲ ．
【答案】
10

【解析】
zabi
，
(z2)i1ia3
，
b1z10
，
【点评】考查复数的运算，属于基础题型.
3、某算法的流程图如图所示，则物出的n的值为 ▲ ．

【答案】4
【解析】n＝2，p＝4；n＝3，p＝9；n＝4，p＝16．
【点评】考查流程图，属于基础题型.
4、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则 图中x的值为 ▲

1

【答案】0.018
【解析】
x0.1(0.0060.0060.01 0.0540.006)0.018

【点评】考查统计知识的基本运用，属于基础题型.
5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可
能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲
【答案】
2

3
【解析】
P
322


333
【点评】考查组合，属于基础题型.
6、把一个底面半径为3 cm，高为4 cm的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损
耗），则该钢球的半径为 ▲ cm.
【答案】 3
【解析】由圆柱和球的体积相等 得：

34
2
4
3

RR3

3
【点评】考查圆柱和球的体积计算，属于基础题型.
x
2
y2
7、在平面直角坐标系xoy中，若双曲线
2

2
1(a 0,b0)
的一条准线与两条渐近线恰能围
ab
成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
【答案】
23

3
ba
2

b3
【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得
tan30
a
2
c

，得
a
a3
c
b
2
23

e1
2


a3
【点评】考查双曲线的离心率计算，属于基础题型.
8、若函数
f(x)2sin(

x
▲ ．
【答案】[﹣1，2]
【解析】由周期为π，得

2
，则
f(x)2sin(2x
【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型.
9、若 锐角α满足tan（α＋
【答案】

)(

0)
的最小正 周期为

，则当
x[0,]
时，
f(x)
的值域为 62


6
)
，
x
[0，

]时，
f(x)
[﹣1，2]
2

）＝3tanα＋1，则tan2α的值为 ▲ ．
4
3

4
2

【解析 】由题意化简得：
tan

(3tan

1)0
，解得
tan

0
或
tan


∵α为锐角，∴
tan


1

3
13
，∴tan2α＝
34
【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型.
10、已知函数
f(x)
【答案】x＞1
【解析】由题意得
f( x)
为奇函数，通过分离常数法得
f(x)
是R上的增函数
转换可得
f(x3)f(2x)
，即
x32x
，x＞1
【点评】考查通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题
11、等差数列｛
an
｝的前n项和记为Sn，已知
a
1
a
4
a
7
＝99，
a
2
a
5
a
8
＝93， 若存在正整数
k，使得对任意n
N*
，都有
S
n
Sk
恒成立，则k的值为 ▲ ．
【答案】20
【解析】由等差数列，可得
3a
4
99
，∴
a
4
33
；
3a
5
93
，∴
a
5
31
；∴
d 2
，
a
1
39

2

S
n
n40n
，
S
n
最大值为
S
20
，所以k＝20．
x
，则不等式
f(x3)f(2x)0
的解集为 ▲ ．
1|x|
【点评】此题考查的是对等差数列求n项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题型 .
12、在△ABC中，点P是边AB的中点，已知CA＝4，CP＝
3
，∠ACB ＝
为 ▲ ．
【答案】6
【解析】∵
CP
2
< br>，则
CPCA
的值
3
1
(CACB)

2
22
1
2
11
∴
CPCACBCACBcosAC B

442
2
1
∴
34CBCB
，解得CB
＝2
4
111
2
1111
∴
CPCA (CACB)CACACACB1642()6

2222222

【点评】向量的数量积，考察向量的中点公式和模长；另外还可通过建系去做. 难度适中.
13
、在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆
若圆
M
上存在一 点
P
，使得以点
P
为圆心，
1
为半径的圆与圆
N< br>有公共点，则实数
a
的取值范围
为
▲
．

【答案】[﹣2，2]
【解析】设
P(x
，
y)
，因为以
P
为圆心，半径为
1
的圆与圆
N
有公共点


所以
1
≤
(x2)
2
(y 1)
2
≤
3
，又
P
在圆
M
，可得
(2a)
2
(2a1)
2
≤
5
3

可得：实数
a
的取值范围为﹣< br>2
≤
a
≤
2
．

【点评】圆的存在性问题，考察圆与圆的位置关系
.
难度适中，

14
、已知函数若函数有
6
个零点（互不相同），则实数
a
的取值范 围为
▲
．

【答案】
(
3
，
2)
4
【解析】作出
f(x)
与
g(x)
的图像

由题知，
g(f(x))a
有
6
个解，令
f(x)t< br>

当
a
＜
0
时，
g(t) a
只有一个解，且
t
＜﹣
4
，对应
f(x)t
只有一个解，舍去；


当
0
≤
a
≤
3
时，
g(t)a
有两个解，且
4t
1
 3
，
1t
2
0
，结合图像可知
f(x)t

4
没有
6
个解，舍去；


当
3
＜
a
＜
2
时，
g(t)a
有两个解， 且
t
1
，
t
2

(
﹣
3
，
1)
，结合图像可知
f(x)t
有
6
个
4解；


当
a
≥
2
时，
g(t)a
只有一个解，且
t
＞
1
，对应
f(x)t
只有一个解，舍去．


综上得
a
的取值范围是
3
＜
a
＜
2
．

4


【点评】本题主要考查根的个数，利用换元法转化为两 个函数的焦点问题个数问题，利用分类讨论
和数形结合时解决本题的关键，综合性较大
.

二、解答题：本大题共
5
小题，共计
90
分。

15、（本小题满分14分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 asin2B＝
2
bsinA.
（1）求B的大小；
4

(2）若cosC＝
5
，求sin（A－C)的值．
5


【点评】本题主要考察了解三角形及三角恒等变换的应用。第一问主要考察了利用正弦定 理对三角
形进行边角互化，第二问主要考察了和差角的恒等变换，本题作为解答题的第一 题，难度较低。
16.（本小题满分14分）
如图，在三梭柱ABC－A
1< br>B
1
C
1
中，AC＝BC，E，F分别为AB，A
1
B
1
的中点．
(1）求证：AF∥平面B
1
CE；
(2）若A
1
B
1
⊥B1C，求证：平面B
1
CE⊥平面A BC.

5

【点评】本题主要考查立体几何当中线面平行的证明以及面面垂直的证明。第一问难度比 较低，直
接通过平行四边形得到线线平行来证线面平行；第二问则是用线线垂直来推出线 面垂直，从而得到
最终要求的面面垂直。本体的难度适中，需要学生对立体几何部分的平 行以及垂直判定定理比较熟
悉。
17、（本小题满分14分）
6

随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路
运行时 ，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，
t
N，平均每趟地铁的载客人数p( t)
（单位：人）与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系：

(1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t的值．
（
2
）若平均每趟地铁每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间

隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．


【点评】本题考的是函数型应用题。第一问除了考察一元二次不等式之外还要注意t的取值范围才
能得 出正确答案；第二问要分段讨论，考察基本不等式和观察法判断函数单调性，总体难度偏低。
18.（本小题满分16分）
x
2
y
2
如图，在平面 直角坐标系xoy中，椭圆
2

2
1(ab0)
的左、右顶点 分别为A， B，
ab
点（
a
，3e)和(b，
3e
）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
2
(1）求椭圆的标准方程；
(2)若点C是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC的垂直平分线与直线BC，AC分别交
于点P，Q，求证：
OBPQ
为定值．
7

8

【点评】考察直线与椭圆综合问题，第一问利用点在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程求 解；第二问
考查定值问题，设出点坐标，将所求定值的表达式写出，化简求值，难度一 般，思路较为清晰，但
计算量较大。
19.
（本小题满分
16
分）


已知函数

(1)
若曲线
yf(x)
在
x
＝
1
处的切线为
y
＝
2x
－
3
，求实教
a
，
b
的值．

(2)
若
a
＝
0
，且
f(x)
－
2
对一切正实数
x
值成立，求实数
b
的取值范围．

(3)
若
b
＝
4
，求函数
f(x)
的单调区间．



9

【点评】第一问考察切线方程，根据函数值和导数值列出方程组求解即可，较为基础；第
二问恒成
立问题既可以通过分离参数法求解，也可以通过整体构造函数进行求解，较为简

单；第三问属于含
参的分类讨论问题，题型常规，难度适中。

20.
（本小题满分
16
分）


已知数列｛< br>a
n
｝的首项
a
1
＝
2
，前
n项和为
Sn
，且数列｛
(1
）求数列｛
a
n
｝的通项公式；

10

S
n
1
｝是以为公差的等差数列·

n2

n
(2
）设
b
n< br>2a
n
，
nN*
，数列｛
b
n
｝的前< br>n
项和为
Tn
，


①求证：数列｛
T
n
｝为等比数列，

n
，其中< br>
为常数，且


－
2
，求

的② 若存在整数
m
，
n (m
＞
n
＞
1)
，使得
所有可能值．



11

南京市
2020
届高三年级学情调研卷

数学附加题
2019.09

注意事项：

1
．附加题供选修物理的考生使用．

2.
本试卷共
40
分，考试时间
30
分钟．

3.
答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试从的答案写在等题卡上对应题目
的 答案空格内．考试结束后，交回答题卡．

21．【选做题】本题包括A、B、C四小题，请 选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
做 ，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.
选修
4
－
2
：矩阵与变换


已知二阶矩阵
A
＝

(1)
求
A
－
1
；

(2)
若曲线
C
在矩阵
A
对应的变换作用下得到曲线
C'
：
x
2
一
3y
2
＝
1
，求曲线
C
的方程．


【点评】考查矩阵的运算和方程的求解，该题属于基础题型。

B.
选修
4
－
4
．坐标系与参数方程．


在平面直角坐标系
xoy
中，直线
l
：
(t
为参数，
a
为常数），曲线
C:
12

(
θ为参数）．若曲线
C
上的点
P< br>到直线
l
的距离的最大值为
3
，求
a
的值．


【点评】考察极坐标参数方程的转化，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离，难度较

小。

C.
选修
A
－
5
：不等式选讲


解不等式
x
2
2|x1|6


【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．
22.
（本小题满分
10
分）


如图，四棱锥
P
一
ABCD
的底面
ABCD
是矩形，
PA
⊥平面
ABCD
，
PA
＝
AD
＝
2
，
E
，
F
分别为

PA
，
AB
的中点，且
DF
⊥
CE.

（
1
）求
AB
的长，

(2)
求直线
CF
与平面
DEF
所成角的正弦值．


13

【点评】考察直线与平面所成的角及空间向量问题，可建立空间直角坐标系求解，难度适中

23.
（本小题满分
10
分）


已知集合A
＝｛
1
，
2
，
3
，
4
｝和 集合
B
＝｛
1
，
2
，
3
，…，
n
｝，其中
n
≥
5
，
nN*
．从集合
A
中任取三个不同的元素，其中最小的元素用
S
表示；从集合
B
中任取 三个不同的元素，其中最大的
元素用
T
表示．记
X
＝
T－
S.
(1
）当
n
＝
5
时，求随机 变量
X
的概率分布和数学期望
E(X
）；

(2
）求
P(X
＝
n
一
3
）．


14

15