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2020年高三一模数学（理）试题北京顺义区Word
版带解析

数学试卷〔理科〕
【一】选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中， 选出符
合题目要求的一项〕
1.集合
A{x|x3x20}
，
B{2，1，1，2}
，那么
A
2
B

A.{2，1}

B.{1，2}

C.{1，2}

D.{2，-1，1，2}

2.在复平面内，复数
(12i)
对应的点位于
2
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3.
“



2
是〝曲线
ysin(x

)
关 于
y
轴对称〞的
”
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
4.当
n5
时，执行如下图的程序框图，输出的
S
值为
A.2

B.4

C.7

D.11

5.假设
441
，那么
xy
的取值范围是
xy
A.[0,1]

B.[1,0]


C.[1,)

D.(,1]

x< br>2
y
2
5
6.假设双曲线
2

2
 1
的离心率为，那么其渐近
2
ab
线方程为
11
A.y2x

B.y4x

C.yx

D.x

2
4

kxy4

2yx4

，
7.假设
x,y
满足

且
z5yx
的最小值为
8
，那么
k
的值为
x0



y0
1
1
A.

B.

C.2

D.2

2
2
8.
f(x)
为定义在
R
上的偶函数，当
x0
时，有
f(x1)f(x)
，且当
x[0,1)
时，

f(x)log
2
(x1)
，给出以下命题
①
f(2014)f(2015)0
； ②函数
f(x)
在定义域上是周期为2的函
数；
③直线
yx与函数
f(x)
的图象有2个交点；④函数
f(x)
的值域为
( 1,1)
.
其中正确的选项是
A.
①，②
B.
②，③
C.
①，④
D.
①，②，③，④
【二】填空题〔本大题共6个小题，每题5分，共30分〕 < br>9.圆的极坐标方程为

6sin

，圆心为
M
， 点
N
的极坐标为
(6,
那么
|MN|

10．设 向量
a(3,1),b(2,2)
，假设
(

ab)(< br>
ab)
，那么实数




11.无穷 数列
{a
n
}
满足：
a
1
10,a
n 1
a
n
2(nN)
.那么数列
{a
n
}< br>的前
n
项和的最小

6
)
，
值为
12.

如图，在圆内接四边形
ABCD
中，
AB

DC
，过点
A
作圆的切线与
CB
的延长线交
于点< br>E
.假设
ABADBC5,AE6
，那么
BE

DC

13. 如果在一周内〔周一至周日〕安排四所学校的学生
参观顺义 啤酒厂，每天最多只安排一所学校，要求甲学
校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有
__________种〔用数字作答〕.
14.函数
f(x) 3sin

xcos

x(

0),xR.
又
f(x
1
)2,f(x
2
)0
且
|x1
x
2
|
的
最小值等于

.那么

的值为
【三】解答题〔本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕
15.〔本小题总分值13分〕
在
 ABC
中,角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
,
b 32,sinB
(I)求
a
的值;
(II)求
cosC
的值.
16.〔本小题总分值13分〕
6

,
BA
.
3
2

某农民在一块耕地上种植一种作物，每年种植成本为
800
元，此作物的市场价格和这块地< br>上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

〔I〕设
X表示该农民在这块地上种植1年此作物的利润，求
X
的分布列；
〔II〕假设在这块地上连续3年种植此作物，求这3年中第二年的利润少于第一年的概率.
17.〔本小题总分值14分〕
如图，在四棱锥
PABCD
中，底面ABCD
为直角梯形，
AD

BC
，
ADDC
，平面
PAD
底面
ABCD
，
Q
为
AD
的中点，
M
是棱
PC
的中点，
PAPD2,BC
1
AD1,CD3.

2
〔I〕求证：
PQAB
；
〔II〕求直线
PB
与平面
PCD
所成角的正弦值；
〔III〕求二面角
PQBM
的余弦值.
18.〔本小题总分值13分〕
函数
f(x)axaxlnx
.
〔I〕当
a0
时，求函数
f(x)
的单调区间；
〔II 〕设
g(x)axf(x)
，且函数
g(x)
在点
x1
处的切线为
l
，直线
l


l
，且
l
在
22
22
y
轴上的截距为1.求证：无论
a取任何实数，函数
g(x)
的图象恒在直线
l

的下方.
19.〔本小题总分值14分〕
3x4y12.
椭圆
C：
〔I〕求椭圆
C
的离心率；
〔II〕设椭圆
C< br>上在第二象限的点
P
的横坐标为
1
，过点
P
的直线
l
1
,l
2
与椭圆
C
的另一
交点分别为< br>A,B
.且
l
1
,l
2
的斜率互为相反数，
A,B
两点关于坐标原点
O
的对称点分别为
22
M,N
,求四边形
ABMN
的面积的最大值.
20.〔本小题总分值13分〕
1
3

为
S
n
，点
(n,S
n
) (nN)
在二次函数
yf(x)
的图象上.
〔I〕求数列
{a
n
}
的通项公式；
二次函数
y f(x)
的图象的顶点坐标为
(1,)
，且过坐标原点
O
.数 列
{a
n
}
的前
n
项和

〔II〕设
b
n
a
n
a
n1
cos(n1)

,(nN

)
，数列
{b
n
}
的前n
项和为
T
n
，假设
T
n
tn
2< br>对
nN

恒成立，求实数
t
的取值范围；
〔II I〕在数列
{a
n
}
中是否存在这样一些项：
a
n
1
,a
n
2
,a
n
3
,,a
n
k
,
(1n
1
n
2
n
3

 n
k
,kN

)
，这些项都能够构成以
a
1
为首项，
q(0q5,qN

)
为公比的

等比数列
{a
n
k
},kN
？假设存在，写出
n
k
关于
k
的表达式；假设不存在，说明理由.
顺义区2019届高三第一次统练
数学试卷答案〔理科〕
【一】CBAD DCBC
【二】
9.
33
10.
2
11. -30 12.360 13.4，
【三】
15.解
解: (I)在
ABC
中,因为
BA
所以
BA
1
25
14.
2
4

2
,

2
,即

2
B

, ……................................................ .............2分
所以




si nAsin

B

sin

B

cosB
..........................................4分
2

2


6

3
. .......................................
1si n
2
B1



3


3< br>


2
...5分
ab

得
sinAsinB
3
32
bsinA
3
3
. ...........................7分
a
sinB
6
3
由正弦定理,

(II)因为
BA

2
,即
BA

2
,
所以
B
为钝角,
A
为锐角.
由(I)可知,
sinA
所以
3
,
3

3

6
2
. ...........................................9分
cosA1sinA1




3

3< br>
又
sinB
所以
2
63
,cosB
, ...........................................10分
33
cosCcos





AB



cos

AB

...........................................11分
...........................................12分
cosAcosBsinAsinB
6

3

36
 




3

3


3

3

22
.
3
...........................................13分
16.解〔I〕设
A
表示事件〝作物产量为300kg〞，
B
表示事件〝作 物市场价格为
6元kg〞，
由题意知
P(A)0.3,P(B)0.6.
...........................................1分
因为利润

产量

市场价格

成本
所以
X
的所有可能的取值为
30068001000,30010 8002200,
50068002200,500108004200.
P (X1000)P(A)P(B)0.50.60.3
P(X2200)P(A)P( B)P(A)P(B)0.50.40.50.6
0.5
P(X4200) P(A)P(B)0.50.40.2

............. ......................
........6分
所以
X
的分布列为
...........................................7分
〔II〕
这3年中第二年的利润少于第一年的概率为
P(X2200)P(X 1000)P(X4200)P(X1000)
P(X4200)P(X2200)

0.31.
.....................................
......13分
17.
〔I〕证明：在
PAD
中，
PAPD,Q
为< br>AD
中点.
所以
PQAD

...........................................1分
因为平面
PAD
底面
ABCD
，且平面
PAD
底面
ABCDAD

所以
PQ
底面
ABCD
...........................................3分
又
AB
平面
ABCD

所以
PQAB
. ...........................................4分
〔II〕解：在直角梯形
ABCD
中，
AD

BC,BC
所 以
所以四边形
BCDQ
为平行四边形
因为
ADDC

所以
ADQB

由〔I〕可知
PQ
平面
ABCD

1
AD,Q
为
AD
中点
2

所以， 以
Q
为坐标原点，建立空间直角坐标系，
Qxyz.
如图.

那么
Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,3),C(1,3,0),

D(1,0,0),B(0,3,0).

所以
uuruuuruuu r
PB(0,3,3),CD(0,3,0),PD(1,0,3)
...........................................
6分
设平面
PCD
的法向量为
n(x,y,z),
那么
< br>


3y0

nCD0

y0
,
,
即亦即








x3z

x3z0

nPD0
令
z1
，得
x3,y0.
所以
n(3,0,1) ...........................................8
分
设直线
PB
与平面
PCD
所成角为

，那么
sin

|cosn,PB|
nPB2
.

4
|n||PB|
2
.
....... ....................................10
4
所以< br>PB
与平面
PCD
所成角的正弦值为
分
〔III〕解：如〔II〕中建立空间直角坐标系
因为
AQPQ,AQBQ

所以
AQ
平面
PQB

即
QA
为平面< br>PQB
的法向量，且
QA(1,0,0).
...........................................11分
因为
M
是棱
PC
的中点

所以点
M
的坐标为
(,
又
QB(0,3,0)

133
,)

222
设平面
MQB
的法向量为
m(x,y,z).



mQB0
那么




mQM0

3y0

即

1

33
yz0

x
222
令
z1,
得
x3,y0

所以
m(3,0,1)

........................... .........................................
..13分
所以
cosQA,m
OAm3


2
|OA||m|
由题知，二面角
PQBM
为锐角
所以二面角
PQBM
的余弦值为
分
18.
〔I〕解：
f(x)a
2
x
2
axlnx

3
................ ........................ ...................14
2
12a
2
x
2ax1
f

(x)2axa
xx

(ax 1)(2ax1)
(x0)
x
2
............... ...........................................2
分
所以，
a0
时，
变化情况如下：

f (x)
与
f

(x)
的

因此，函数
f(x)
的单调递增区间为
(
单调递减区间位
1
,)
；
2a
(0,
1
............... ...........................................6分
).
2a

〔II〕证明：
g(x)a
2
x
2
f(x)lnxax

g

(x)
1
a

x
所以
g

(1)1a

所以
l的斜率为
k
l
1a
............... ...........................................7分

因为
l


l
，且
l

在
y
轴上的截距为
1

所以直线
l

的方程为
y(1a)x1

............... ...........................................8分
令
h(x)g(x)[(1a)x1]lnxx1(x0)

那么无论
a
取任何实数，函数
g(x)
的图象恒在直线
l

的下方，等价于
h(x)0

(aR,x0)

............... ..................................
.........9分
而
h

(x)
11x
............... ......................................
1
x x

.....10分
当x(0,1)
时，
h

(x)0
，当
x(1, )
时，
h

(x)0

所以函数
h(x)在
(0,1)
上单调递增，在
(1,)
上单调递减
从而当
x1
时，
h(x)
取得最大值
h(1)2

即在
(0,)
上，
h(x)
取得最大值
h(1)2

............... ...........................................12分
所以
h(x)20(aR,x0)

因此，无 论
a
取任何实数，函数
g(x)
的图象恒在直线
l

的下
方. ......................................13分
x
2
y
2
1.
19.解：〔I〕由题意，椭圆
C
的标准方程为
43
所以
a
2
4,b
2
3,
从而
c
2
a
2
b
2
1.< br>
因此，
a2,c1.

故椭圆
C
的离心率
e
c1
..... ...........................................4分
.
a2

3
2
〔II〕由题意可知，点
P
的坐标为
(1,).

设l
1
的方程为
yk(x1).
那么
l
2
的方程为
3
2
3
yk(x1).
............ ............................5分
2
3

yk(x1)

2222
由

2
得
(4k3)x(8k12k)x4k12k30.


3x
2
4y
2
12

由于
x1
是此方 程的一个解.
4k
2
12k3
所以此方程的另一解
x
A


2
4k3
同理
4k
2
12k 3
x
B

............... ............ ..............................
4k
2
3

.7分
故直线
AB
的斜率为
k
AB

33
k(x
B
1)k(x
A
1)
y y
A
22


B

x
B
xA
x
B
x
A
8k
2
6
k(< br>2
2)
1
4k3
.
........... ...........................................9分
24k
2
4k
2
3

设直线
AB
的 方程为
y
1
xm.

2
1

yxm

由

得
x
2
mxm
2
30

2
3x
2
4y
2
12

222
所以
|AB|1()m4(m3)
1
2
15
4m
2

2
又原点
O
到直线
AB
的距离为
d
2|m|
.

5
所以
OAB
的面积
S
 OAB

1152|m|3
4m
2
m
2
( 4m
2
)

222
5
3m
2
(4m
2
)
3.

22
当且仅当
m
24m
2
，即
m
2
2,m2
时.
OAB
的面积达到最大.且最大值为
3
. ............... ...........................................13分
由题意可知，四边形
ABMN
为平行四边形,
所以，四边形
AB MN
的面积
S
4
S
OAB

43
,
故四边形
ABMN
面积的最大值为
43
. ............... ...........................................14分
20.解〔I〕由题意可知
f(x)(x1)
2
.

所以
1
3
1
3
1112
............... ...........................................
Sn
(n1)
2
n
2
n(nN

) .
3333

1分
当
n2
时，
an
S
n
S
n1

1
2
2122 n1
nn[(n1)
2
(n1)].

33333< br>当
n1
时
a
1
S
1
1
适合上 式

所以，数列
{
a
n
}
的通项公式为a
n

2n1
(nN

)
....... ......... ...........................................4分
3
〔II〕因为
b
n
a
n
a
n1
co s(n1)

,(nN

)

所以
T
n
b
1
b
2
b
n

(1)
n1
a
n
a
n1
< br>a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
4
a
4
a
5

由〔I〕可知，数 列
{
a
n
}
是以1为首项，公差为
① 当
n2m,mN
时，

2
的等差数列.
3
T
n
T
2m
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
4
a
4
a
5
(1)
2m1
a
2m
a
2m1
< br>a
2
(a
1
a
3
)a
4
(a
3
a
5
)

(a
2
a
4

a
2m
(a
2m1
a
2m1
)

44
aa
2m
a
2m
)
2
m
332
11
(8m
2
12m)(2n2
6n).
99

② 当
n2m1,mN
时，
T
n
T
2m1
T
2m
(1)
2 m1
a
2m
a
2m1

11
(8m
2
12m)(16m
2
16m3)
99

1 1
(8m
2
4m3)(2n
2
6n7).
99
所以

1
2
(2n6n),n


9
T
n




1
(2n
2< br>6n7),n


9
............... ..................................
.........7分
要使
T
n
tn
2
对
nN

恒 成立，
只要使
(2n
2
6n)tn
2
(n
为正偶数〕恒成立.
即使
(2)t
对
n
为正偶数恒成立，
1
9
1
9
6
n

故实数
t< br>的取值范围是
5
............... ...........................................9分
(,].
9

〔III〕由
a
n

2n1
知，数列
{a
n
}
中每一 项都不可能是偶数.
3

① 如存在以
a
1
为首项，公比
q
为2或4的数列
{a
n
k
},kN
，此时{a
n
k
}
中每一项除第一
项外都是偶数，故不存在以
a
1
为首项，公比为偶数的数列
{a
n
k
}
.
② 当
q1
时，显然不存在这样的数列
{a
n
k
}
.
当
q3
时，假设存在以
a
1
为首项，公比为3的数列{a
n
k
},kN

，那么
a
n
1
1,


n
1
1,a
n
k
3
k1
2n
k
1
3
k
1
,n
k
.

32
3
k
1
(kN

).

所以存在满足条件的数列
{
a
n
k
}
，且
n
k

2
............... ..................................
.........13分