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余弦定理
一、选择题
1．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1
C．3
B．2
D．4
2．在△ABC中 ，已知a
2
＝b
2
＋bc＋c
2
，则角A为( )
π
A.
3
2π
C.
3
π
B.
6
π2π
D.或
33
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a ，b，c满足(a＋b)
2
－c
2
＝4，且C＝60°，则ab
的值 为( )
4
A.
3
C．1
B．8－43
2
D.
3
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若( a
2
＋c
2
－b
2
)tanB＝3ac，则角
B为 ( )
π
A.
6
π5π
C.或
66
π
B.
3
π2π
D.或
33
5． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝42，B＝45°，则
sin C等于( )
4
A.
41
4
C.
25
二、填空题
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a ＝1，b＝7，c＝3，则
B＝________.
7．在△ABC中，已知a，b是方程x
2
－5x＋2＝0的两根，C＝120°，则边c＝________.
8．(20 15·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC
1
＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.
4

三、解答题 < br>9．(2016·北京高考)在△ABC中，a
2
＋c
2
＝b
2
＋2ac.
.
4
B.
5
441
D.
41

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(1)求∠B的大小；



(2)求2cosA＋cosC的最大值．



10 ．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且满足(sinA－sinB)(sinA＋sinB)＝sinC( 2sinA
－sinC)．
(1)求角B；


3
(2)若sinA＝，求cosC的值．
5
























.

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答案与解析
1．A 在△ABC中，由余弦定理 得AB
2
＝BC
2
＋AC
2
－2×BC×AC×cosC， 即13＝9＋
1
－

，∴AC
2
＋3AC－4＝0，∴AC ＝1或AC＝－4(舍去)． AC
2
－2×3AC×


2

2．C 由已知得b
2
＋c
2
－a
2
＝－bc，
b
2
＋c
2
－a
2
1
∴cosA＝＝－，
2bc2
2π
又∵03
3．A ∵(a＋b)
2
－c
2
＝4，∴a
2
＋b
2
－c
2
＝4－2a
a
2
＋b
2
－c
2
1< br>由余弦定理得cosC＝＝cos60°＝，
2ab2
4
∴4－2ab＝ab，∴ab＝.
3
4．D ∵(a
2
＋c
2
－b
2
)tanB＝3ac，
a
2
＋c
2
－b
2
3
∴tanB＝，
2ac2
即cosBtanB＝
π2π
∴B＝或.
33
5．B 由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB＝
1
2
＋(42)
2
－2×1×42×
2
＝25.
2
33
，∴sinB＝，
22
B.
a
2< br>＋b
2
－c
2
3
∴b＝5.∴cosC＝＝－，
2ab5
4
sinC＝1－cos
2
C＝.
5
5π
6.
6
a
2
＋c
2
－b
2
1＋3－7
3
5π
解析：由余弦定理得cosB＝＝＝－，又0< B<π，∴B＝.
2ac26
2×1×3
7.23
.

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解析：由题意得a＋b＝5，ab＝2.∵(a＋b)
2< br>＝a
2
＋b
2
＋2ab，∴25＝a
2
＋b
2
＋4，即a
2
＋b
2
1
－

＝23，∴ c＝23. ＝21.∴c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos 120°＝21－2×2×


2

8．4
解析：∵3sinA＝2sinB，∴由正弦定理得3a＝2
∵a＝2，∴b＝3.
a
2
＋b
2
－c
2
由余弦定理cosC＝， 2ab
1
2
2
＋3
2
－c
2
得－＝，
4
2×2×3
即c
2
＝16.又c>0，
∴c＝4. < br>a
2
＋c
2
－b
2
2ac2
π
9． 解：(1)由余弦定理及题设得cosB＝＝＝，又∵02ac2ac24
3π
(2)由(1)得A＋C＝，
4
∴2cosA＋cosC
3π
－A

＝2cosA＋ cos


4

＝2cosA－
＝
22
c osA＋sinA
22
B.
22
cosA＋sinA
22
π
A－

. ＝cos


4

3ππ
∵04410．解：(1)由已知得sin
2
A－sin
2
B＝2sinAsin C－sin
2
C，
由正弦定理得a
2
－b
2
＝2ac－c
2
，即
a
2
＋c
2
－b
2
＝2ac.
a
2
＋c
2
－b
2
2ac2
由余弦定理得cosB＝＝＝，
2ac2ac2
π
又04
π
32
(2)∵B＝，sinA＝<，
452
∴A4
∴cosA＝.
5
3 π

∴cosC＝cos


4
－A


.

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3π3π
＝coscosA＋sinsinA
44
＝－
24232
×＋×＝－.
252510
.