心情不好说说-科普读物读后感

第四课时 三角形中的几何计算（一）
一、教学目标：1进一步熟悉正、余弦定理内 容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的
相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4 能够利用正、余弦定理证明三角
形中的三角恒等式
二、教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系
三、教学方法：启发引导式
四、教学过程
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与
所证结论的 联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余
弦值互为相反数等；2引 导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥
正、余弦定理的边角互换作用
（一）、复习引入：
正弦定理：
abc
2R

si nAsinBsinC
222
b
2
c
2
a
2< br>余弦定理：
abc2bccosA,

cosA

2 bc
c
2
a
2
b
2
bca2cacos B,

cosB

2ca
222
a
2
b
2
c
2

cab2abcosC
，

cosC

2ab
222
（二）、范例探析：
例1、在任一△ABC中求证：
a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0

证 ：左边=
2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC (sinAsinB)

=
2R[sinAsinBsinAsinCsinB sinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]
=0=右边
例2 、在△ABC中，已知
a3
，
b2
，B=45 求A、C及c
asinB3sin45

3
解：由正弦定理得：
sinA
∵B= 45

b2
2
<90 即b

∴A=60或120当A=60时C=75
bsinC


c
sinB
62

2
2
2sin75



sin45
62
当A=120
2
时C=1 5
bsinC2sin15



c
sinB
sin45

例3、 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程
x23x20
的两个根，且2cos(A+B)=1
求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=
1
∴C=120
2
2

2

ab23
222
（2）由题设：

∴AB=AC+BC

ab2
2AC•BC•osC
ab2abc os120

a
2
b
2
ab
(ab)< br>2
ab(23)
2
210
即AB=
10

（3）S
△ABC
=
11133
absinCabsin120< br>
2

22222
求最大角 2求以此最例4 、△AB C中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1
大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最 大面积
解：1设三边
ak1,bk,ck1

kN
且
k1


a
2
b
2
c
2
k4
0
解得
1k4
∵C为钝角 ∴
cosC
2ac2(k1)
∵
kN
∴
k2
或3 但
k2
时不能构成三角形应舍去
当
k3
时
a2,b3,c4,cosC
2

1
,C109


4
设夹C角的两边为
x,y

xy4

S
xysinCx(4x)
当
x2
时S
最大
=
15

1515
(x
2
4x)

44
例5、 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定
理涉 及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中

x
，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程
2
x
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，在△ADB
2
x
4
2
()
2
5
2
222
ADBDAB
2
中，cosADB＝
,

x
2A DBD
24
2
x
4
2
()
2
3
2
222
ADDCAC
2
在△ADC中，cosADC＝
.
又
x
2ADDC
24
2
点，所以BD、DC 可表示为
∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosA DC
xx
4
2
()
2
5
2
4
2
()
2
3
2
22
∴

xx
2424
22
解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相 反数这一
性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角 平分线性质可得
ABBD5

，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、
ACDC3
∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA ，再由同角平
方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积
解：设△ABC三边 为a，b，c则Ｓ
△ABC
＝
1
acsinB

2
∴
S
ABC
acsinBsinB


abc2abc2b
b
2R
，其中R为三角形外接圆半径
sinB
S
ABC
1

, ∴abc＝4RS
△ABC
＝4×1×0．25＝1
abc4R

又
∴
所以三角形三边长的乘积为1

评述：由于题设条件有三角形外接圆 半径，故联想正弦定理：
abc
2R
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正 弦的三角形面积公式
sinAsinBsinC
1
Ｓ
△ABC
＝acsinB
发生联系，对abc进行整体求解
2
35
2在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值
5 13
解：∵cosA＝
2
34
＜＝cos45°，0＜A＜π∴45°＜A＜ 90°, ∴sinA＝
2
55
51
＜＝sin30°，0＜B＜π∴0° ＜B＜30°或150°＜B＜180°
132
12
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符∴0°＜B＜30° cosB＝
13
3124516
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sin A·sinB＝

，又C＝180°－（A＋B）

51351365< br>∵sinB＝

∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
16
65
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角
函数值进 行比较
四、小结：通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不
断提高三 角形问题的求解能力。
五、课后作业：课本本节习题2-2 A组3、4、5、6 B组2、3
八、教后反思：