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高考数学（理科）试题及答案2套
（一）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分） 和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考
试时间120分钟.
参考公式：球的表面积公式
S4

R
2
球的体积公式
V
4

R
3

3
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）
．．．．．．．．．．．．
1. 已知复数
z
满足
(1i)z3i
,则
|z|

A. 5
A．

x0x4


A．
bca

4. 函数
y


y
Ox
B. 3
B．

x1x4


B．
bac

C.
5
D.
3

C．

x0x4

D．

x1x4


C．
cab
D．
cba

2. 设
U
＝
R
，
A< br>＝
{x|x
2
4x0}
，
B
＝
{x|x 1}
，则
A
3. 已知
a2
0.3
，
b0. 3
2
，
clog
0.3
2
，则

(C
U
B)
＝
sinx
的大致图象为
2
cosx

y
Ox
y
y
Ox
O
x
5. 裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波
B C
A
D
那契以兔 子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推
｛a
n
｝
方法定义：数列满足：
a
1
a
2
1
，
a
n2
a
n
a
n1
，现从该数列的前40项中随
机抽取一项，则能被3整除的概率是
1
112
C. D.
4323
6．将向量
OA(1,1)
绕原点
O
顺 时针方向旋转75°得到
OB
，则
OB
＝
A. B.

6

262

26

2

6



,,,,
A．

B．

C．

D．

2

2


22

22

2

2


1
2n*
a
7. 已知数列

n

满足< br>2a
1
2a
2
...2a
n
n(nN)< br>，数列

的前
n


log
2
a
n
log
2
a
n1

项和为
S
n
，则
S
2019
=
高三数学（理科）·第 1 页 （共 25 页）

2019112018
B． C． D．
2019
8. 已知函数
f(x)
在
R
上满足
f< br>
4x

2f

x

2x
2
5x
，则曲线
yf(x)
在点
(2,f(2))
处的< br>A．
切线方程是
A．
yx
B．
yx4
C．
y3x8
D．
y5x12

9. 函数
ysin


x

的值为
A.










0

在

,

内单调递增，且图象关于直线
x

对称，则
6


22

521
C. D.
3
33
10.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆
B.
锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值
为
A．2
3
8
1

4
B．4 C．6 D．8
11.已知函数
f(x)lnxax
A．
0,e
2


3
有4个零点，则实数
a
的取值范围是
2

B．
,e
2



1

C．

0,e
2





1

D．

e
2
,




x
2
y
2
12.如图，
F
1
(c,0)
,
F
2
(c,0)
分别为双曲线
:
2

2
1(a,b0)
的左、右焦点，过点
F
1
作
ab222
直线
l
，使直线
l
与圆
(xc)yr相切于点
P
,设直线
l
交双曲线

的左右两支分别于
A
、
B
两点（
A
、
B
位于线段F
1
P
上），若
|F
1
A|:|AB|:|BP| 2:2:1
,则双曲线

的离
心率为

A.
5

B.

265

5
C.
2623

D.
263

第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）
．．．．．．．．．．．．
高三数学（理科）·第 2 页 （共 25 页）



1

x


1,x0
13. 已知函数
f

x




2< br>
则
f

f

1


.

2x
2
lnx,x0


xy0< br>
14. 已知实数
x,y
满足约束条件

xy40< br>，则
z2
2xy
的最大值为 .

y1

D
1
15. 函数
y1x1
与函数
yk(x2)
的图象有两个不同
的公共点,则实数
k
的取值范围是 .
16. 如图，在棱长为 1 的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1< br>D
1
中，点
M
是
2
C
1
A
1
B
1
，
AD
的中点，动点
P
在底面正方形
ABCD
内（不包括边界）
M
若
B
1
P
平面
A
1
BM
，则
C
1
P
长度的取值范围是 ．
A
D
B
C
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请
．
在答题卷的相应区域答题.）
．．．．．．．．．．．
17.（本小题满分12分）
已知在
ABC中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,且
（1）求角
C
的大小;
（2）若
c3
,求
ab
的取值范围.
18.（本小题满分12分）
田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌 经常与齐国众公子赛马,
孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。于是孙膑 给田忌将军
献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等
马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注。假设田忌的各等级马与某公
子 的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示:
公
获
子
胜

的
的
马
上等马
概

率
田忌的马

上等马 0.5
中等马 0.2
下等马 0


中等马


下等马
sinCsinAb
,

sinBsinAac
0.8
0.5
0.05
1
0.9
0.4
比赛规则规定: 一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有
胜和负两种,并且毎一方三场赛 马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为
最终胜利者.
高三数学（理科）·第 3 页 （共 25 页）

（1）如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
（2）如果比赛约定 ,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000
金,每月比赛一次,求田忌 一年赛马获利的数学期望.



19．（本小题满分12分）
已知
C
是以
AB
为直径的圆周上一点，
ABC
（1）求 证：平面
PAC
平面
PBC
；
（2）若异面直线
PB
与
AC
所成的为








20．（本小题满分12分）

3
，
PA
平面
ABC


，求二面角
CPBA
的余弦值。
3
x
2
y
2
2
)
。 已知椭圆
C :
2

2
1(ab0)
的焦距为
2
，过点< br>(1,
2
ab
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2 ）设椭圆的右焦点为
F
，定点
P
(2,0)
，过点
F
且斜率不为零的直线
l
与椭圆交于
A
，
B
两点，以线段< br>AP
为直径的圆与直线
x2
的另一个交点为
Q
，证明：直线
BQ
恒过一定
点，并求出该定点的坐标。


21．（本小题满分12分）
函数
f(x)
1
2
ax(1a)xlnx
，
2
（1）求
f(x)
的单调区间；
（2）在函数
f(x)
的图象上取
A(x
1
,y
1
)
，
B(x< br>2
,y
2
)
两个不同的点，令直线
AB
的斜率 为
k
，则在函数的图象上是否存在点
P(x
0
,y
0< br>)
，且
x
0

在，求
A
，
B
两点的坐标，若不存在，说明理由。

高三数学（理科）·第 4 页 （共 25 页）
x
1
x
2
'
，使得
kf(x
0
)
？若存
2

考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如 果多做，则按所做的第一个题目计分.作
答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy< br>中，
l
是过定点
P(1,1)
且倾斜角为

的直线。 以坐标原点
O
为极点，
以
x
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线< br>C
的极坐标方程为

4cos

。
（1）求直线
l
的参数方程与曲线
C
的直角坐标方程；
（ 2）若曲线
C
与直线
l
相交于
M
，
N
两点 ，求
PMPN
的取值范围.


23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
f(x)2x1x2

（1）解不等式
f(x)5
;
（2）若
f(x)a3a< br>2
3
恒成立,求
a
的取值范围.
2
参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C
7.A 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.
2
14.
0.5
15.
(
30
4
,2)

,1]
16.
[
5
3
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
解: （1）由
sinCsinAbcab
则

sinBsinAac baac

a
2
b
2
c
2
ab
…………………………………………………………3分
a
2
b
2
c
2
ab1


而
C(0,

)
故
C
………………6分 所以< br>cosC
2ab2ab2
3
222
（2）由
abca b
且
c3


(ab)
2
2ab9ab

ab
2
)


(ab)
2
93ab3(
2
2
……………………………………………10分

(ab)36
所以
ab6

又
abc3

所以
ab
的取值范围是
(3,6]
…………………………………………………12分
高三数学（理科）·第 5 页 （共 25 页）

18. （本小题满分12分）
解： （1）记事件
A
：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，
对于事件
A
，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜，
故
P(A)0.80.90.72
……………………………………………………………………4分
（2）设田忌在每次比赛中所得的奖金 为随机变量

（金），则

的取值为
-1000
和
1000
。
若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜 ，胜
负胜，胜胜负 ………………………………………………………………………………6分
设在该月的比赛中田忌获胜的概率为
P
，则
P0.50.50.4 0.50.50.60.50.50.40.50.50.40.45
…………8分
……………………………………………10分
E（

）-1000（1p）1000p100

因此田忌一年赛马获利的数学期望为
100121200
（金） …………………12分
19.（本小题满分12分）
（1）证明：因为
AB
为圆的直径，所以
ACBC
，
又
PA
平面
ABC
，而
BC
平面
ABC
，所以
PABC
，
又
ACPAA
,所以
BC
平面
PAC
， < br>而
BC
平面
PBC
，所以平面
PBC
平面
PAC

（2）解法1：建系如图所示，令
AB2t
，而
AB C
……………………5分

3
，则
BAC

6
,
AC3t
，
z
3t3t
,,0）
则
A(0,0,0)
，
B（0，
,
C（
，令
P(0,0,h )(h0)

2t,0）
P
22
3t3t
,,0)
， 所以
BP (0,2t,h)
，
AC(
22
因为异面直线
PB
与
AC
所成的角为

，
3

1
，解得
h22t

2
x
B
A
O
C
y
故
cos

3
BPAC
BPAC

3t
2
4t
2
h< br>2
3t
令平面
PBC
的一个法向量为
n(1,y,z)，
3tt
,,0)
，
BP

（0,2t,22 t）
22
3tt
y0
,所以
y3
由
nBC0
,
22
66
)
由
nBP0< br>，
-23t22tz0
所以
z
，即
n(1,3,22
而
BC(
而平面
PAB
的一个法向量为
m(1 ,0,0)

高三数学（理科）·第 6 页 （共 25 页）

所 以
cos


nm
nm
3
2
解法2： 过
B
作
AC
的平行线
BM
交圆于
M
，连接
PM
，
AM
，所以直线
PB
与
AC
所成的角即为
PB
与
BM
所成的角，
因为
AB
为圆的直径，所以
AMBM
，
又
PA 
平面
ABC
，而
BM
平面
ABC
，所以
PABM

又
AMPAA
,所以
BM
平面
PAM
113
而
PM
平面
PAM
，所以
BMPM< br>，则
PBM
令
AB2t
，且
ABC
1

222


1111

3


3
所以
ACBM3t
，
AMBCt
< br>PM3ttan

3
2
3t
，
PA（3t） t
2
22t
，
PB(22t)
2
(2t)
2
23t
,
PC(22t)
2
(3t)
2
11t

过
A
作
ANPC
交
PC
于< br>N
，过
A
作
AQPB
交
PB
于
Q
,连接
QN
，由三垂线定
理知
QNPB
，
所以
AQN
即为二面角
CPBA
的平面角 ……………………………………8分
PAAB22t2t26PAAC22t3t266
，
AN

PB3PC11
23t11t
22
AN2663311
，
cosAQN

sinAQN
11
AQ1126
11
AQ
即为二面角
CPBA
的余弦值为
2 0. （本小题满分12分）
22

11
……………………………………12分
1


1
c
2
2
1
解： （1）由题知

解得
a2
，
b1
，

2
1
2

2b

a
x
2
y
2
1
…………………………………………………………4分 所以椭圆C
的方程为
2
（2）设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
因为直线
l的斜率不为零，令
l
的方程为：
xmy1


xmy1

22
由

x
2
得
(m2)y2my10

2
y1


2
2m1
则
y
1
y
2

2
，
y
1
y
2

2
， …………………………………………6分
m2m2
高三数学（理科）·第 7 页 （共 25 页）

因为以
AP
为直径的圆与直线
x2
的 另一个交点为
Q
,所以
AQPQ
，则
Q(2,y
1
)

y
2
y
1
yy
1
(x2)
……………………8分 ，故
BQ
的方程为：
yy
1

2
x
2
2x
2
2
由椭圆的对称性，则定点必在
x
轴上，所以令
y0
，则
y
1
(x
2
2)y
1
(my
2
1)my
1
y
2
y
1
x222

y
2
y
1y
2
y
1
y
2
y
1
则
k
BQ

y
1
y
2
2m1
，，
myy
yy
12
12
22
2
m2m2yy
2

1
y
1
13
2
所以x22

y
2
y
1
22
3故直线
BQ
恒过定点，且定点为
(,0)
………………………………………12分
2
而
y
1
y
2

21.（本小题满分12分）
解： （1）由题知定义域为，
（0， ）
1ax
2
(1a)x1(ax1)(x1)
f(x)ax 1a
………………1分
xxx
1
①当
a1
时，
01
，
a
11
''
令
f(x)0
，解得
x(,1)
，
f(x)0
，解得
x(0,)(1,)

aa11
即函数
f(x)
在
(,1)
上单调递增，在
(0,)
及
(1,)
上单调递减；
aa
(x1 )(x1)(x1)
2
1
'
0
， ②当
a1
时，
1
，在
(0,)
上
f(x)
xx< br>a
即函数
f(x)
在
(0,)
上单调递减；
1
③当
1a0
时，
1

a
11
''
令
f(x)0
，解得
x(1,)
，
f( x)0
，解得
x(0,1)(,)

aa
11
即函数
f(x)
在
(1,)
上单调递增，在
(0,1)
及
(,)
上单调递减；
aa
④当
a0
时，
''
令
f(x)0
，解得
x(1,)
，
f(x)0
，解得
x(0,1)< br>
即函数
f(x)
在
(1,)
上单调递增，在
(0,1)
上单调递减； …………………………5分
'
综上所述： 当
a1
时，增区间为
(
11
,1)
，减区间为< br>(0,)
及
(1,)
；
aa
高三数学（理科）·第 8 页 （共 25 页）

当
a1
时，减区间为
(0,)
；
当
1a0
时，增区间为
(1,)
，减区间为
(0,1)及
(
1
a
1
,)
；
a
当a0
时，减区间为
(0,1)
，增区间为
(1,)
； ……………………………………6分
'
（2）假设存在，即满足
k
ABf(x
0
)

因为已知
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
不妨令
0x
1
x
2

则
k
AB



'
y
2
y
1
1
(x
2
x
1
)(x
2
x
1
)(1a)(x
2x
1
)lnx
2
lnx
1
a
x
2
x
1
2x
2
x
1
(x
2
x
1
)x
2
x
1
(x
2
x
1
)alnx
2
lnx
1
1a
2x
2
x
1
而
f(x
0
)ax
0
1a
得
1
(x
1
x
2
)a
2
'
1a
由
k
AB
f(x
0
)

x
0
2x
1
x
2
lnx
2
lnx
1
2(x
2
x
1
)
2
0
存在 …………9分 存在，也就是证
lnx
2
lnx
1< br>
x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
x
2
1)
x
xx
1
2(t1)
只要证
ln
2

0(t1)
存在
0
存在，令
2
t1
，故转化为
lnt
x< br>2
x
1
t1
x
1
1
x
1
44
即需要证明
lnt2(t1)
令
g(t)lnt(t1)

t1t1
14(t1)
2
'
则有
g(t) 0
故
g(t)
在
t1
上单调递增，所以
g(t) g(1)2
，
t
(t1)
2
t(t1)
2
2(
故不存在。 ………………………………………………………………………………12分
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）
l
的参数方程：


x1tcos

（
t
为参数 ） …………………………………2分

y1tsin

22曲线
C
的直角坐标方程：
(x2)y4
………………………………………………5分
（2）将
l
的参数方程代入曲线
C
的方程得

t(2sin

2cos

)t20
①
由于
(2sin

2cos

)80
恒成立，所 以方程①有两个不等实根
t
1
、t
2
，
由于
t< br>1
t
2
20
，所以
t
1
、t
2
异号
则
PMPNt
1
t
2
t
1
t
2
(t
1
t
2
)4t
1t
2
124sin2

[22,4]
…10分

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当
x 
2
2
2
141
，则
2x1x25


x

232
高三数学（理科）·第 9 页 （共 25 页）

1
1
x2
时，则
2x1x25



x2

2
2
当
x2
时，则
2x1x25
，此时无解
4
故解集为
{x|x2}
……………………………………………………5分
31

3x1(x)

2
1
5

1
（2）由（1）知
y

，所以当
x
时，
y
的最小值为，则
x3(x2)
2
2

2

3x1(x2)

35
a
2
3a

22
2

a3a40
所以
a[1,4]
……………………………………………10分
当



（二） < br>一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要 求的．
1．（5分）若集合
A
＝{
x
|﹣1＜
x
＜2}，
B
＝{
x
|﹣2＜
x
＜0}，则集合
A< br>∪
B
＝（ ）
A．{
x
|﹣1＜
x
＜0} B．{
x
|﹣1＜
x
＜2} C．{
x
|﹣2＜
x
＜0} D．{
x
|﹣2＜
x
＜2}
2．（5分）已知复数
z＝1+
i
（
i
是虚数单位），则＝（ ）
A．2+2
i
B．2﹣2
i
C．2
i
D．﹣2
i

3．（5分）已知命题
p
：∀
x
∈R ，cos
x
≤1，则（ ）
A．￢
p
：∃
x
∈R，cos
x
≥1
C．￢
p
：∃
x
∈R，cos
x
≤1
B．￢
p
：∃
x
∈R，cos
x
＜1
D．￢
p
：∃
x
∈R，cos
x
＞1

4．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数
a
，
b
，
c
，要求输出这三个数中最大的数，
那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
高三数学（理科）·第 10 页 （共 25 页）

A．
c
＞
x
B．
x
＞
a
C．
c
＞
b

5．（5分）双曲线＝1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C．
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（

A．5 B．6 C．7
7．（5分）设
x
，
y
满足，则
z
＝
x
+
y
（ ）
高三数学（理科）·第 11 页 （共 25 页）
D．
b
＞
c

D．

D．8

）

A．有最小值，最大值
B．有最小值，无最大值
C．有最小值，无最大值
D．既无最小值，也无最大值
8．（5分）公差不为零的等差数列{
a
n< br>}的前
n
项和为
S
n
，若
a
5
是< br>a
3
与
a
8
的等比中项，
S
5
＝2 0，
则
S
10
＝（ ）
A．45 B．55 C．65 D．90
9．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何 ？”
其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”
现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A． B． C．
3
D．
10．（5分）设定义在R上的奇函数
f
（
x）满足
f
（
x
）＝
x
﹣8（
x
＞0） ，则{
x
|
f
（
x
﹣2）
≥0}＝（ ）
A．[﹣2，0）∪[2，+∞）
C．[0，2）∪[4，+∞）
B．（﹣∞﹣2]∪[2，+∞）
D．[0，2]∪[4，+∞）
11．（5分 ）已知三棱锥
P
﹣
ABC
中，
PA
，
PB
，
PC
两两垂直，且长度相等．若点
P
，
A
，
B< br>，
C
都在半径为1的球面上，则球心到平面
ABC
的距离为（ ）
A． B．
2
C．
x
2
D．
12．（5分） 函数
f
（
x
）＝﹣
x
+3
x
﹣
a
，
g
（
x
）＝2﹣
x
，若
f
[< br>g
（
x
）]≥0对
x
∈[0，1]恒
成立，则实数< br>a
的范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，
e
] C．（﹣∞，
ln
2] D．[0，）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣2，
m
），＝（﹣1，2），若（< br>则
m
＝ ．
高三数学（理科）·第 12 页 （共 25 页）
）∥，

14．（5分）将函数
f
（
x
）＝s in﹣
函数的单调递增区间是 ．
cos的图象向右平移个单位后得到的图象对应< br>15．（5分）已知抛物线
y
＝
ax
2
的准线与圆
x
2
+
y
2
﹣6
y
﹣7＝0相切，则
a的值为 ．
16．（5分）设
S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和，若
S
n
＝（﹣1）
a
n
n
，则
S
1
+
S
2
+…+
S< br>11
＝ ．
三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各 题中写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
17．（12分）在△
ABC
中 ，角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，且
a
＝4，
b
＝2
（Ⅰ）求s in
A
的值；
（Ⅱ）求
c
的值．
18．（12分）某调 查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从
该校随机抽查了100名不同性 别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父
母生“二孩”，现已得知100人中同意父母 生“二孩”占60%，统计情况如表：

男生
女生
合计
同意 不同意
5
合计


100
，
B
＝2
A
．
a

40

d


（1）求
a
，
d
的值，根据以上数 据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与
性别有关？请说明理由；
（2） 将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4
位学生进行长期跟踪调 查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为
X
，求
X
的分
布 列及数学期望．
附：

0.15 0.100 0.050 0.025 0.010
P
（
k
2
≥
k
0
）
高三数学（理科）·第 13 页 （共 25 页）

k
0
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
19．（12分）如图，在正三棱柱
A
1
B
1
C
1
﹣
ABC
中，AB
＝
AA
1
，
E
，
F
分别是
AC
，
A
1
B
1
的中点．
（Ⅰ）证明：
EF
∥平面
BCC
1
B
1
；
（Ⅱ）点
M
在
CC
1
上，若
A
1
E
⊥
BM
，求二面角
B
﹣
FM
﹣
E
的余弦值．

20．（12分）椭圆
C
的中心在坐标原点，焦点在坐标轴 上，过
C
的长轴，短轴端点的一条直
线方程是
x
+
y
﹣2＝0．
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）过点
P
（ 0，2）作直线交椭圆
C
于
A
，
B
两点，若点
B< br>关于
y
轴的对称点为
B
′，证
明直线
AB
′ 过定点．
21．（12分）已知函数
f
（
x
）＝
xln< br>（
x
+1）﹣
ax
（
a
≤1）．
（Ⅰ）若 曲线
y
＝
f
（
x
）在点
x
＝
e< br>﹣1处的切线与直线
x
﹣
ey
＝0平行，求
a
的值；
（Ⅱ）是否存在
a
使得
f
（
x
）仅有一个极值点？ 若存在求出
a
的取值范围，若不存在，
请说明理由．
选考题：共10分，请 考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分．作
答时用2B铅笔在答题卡上 把所选题目的题号涂黑．
22．（10分）在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为（
t
为参数），
2
以
O
为极点，
x
轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆
C
的极坐标方程为ρ＝2
a
cosθ（
a
＞0）．
（Ⅰ）求圆
C
的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线
l
与圆
C
交于
A
，
B
两点，点
P
（，0），且|
PA
|+|
PB
|＝，求a
的值．
高三数学（理科）·第 14 页 （共 25 页）

23．已知函数
f
（
x
）＝|
x
+3|﹣|
x< br>﹣1|．
（Ⅰ）求函数
f
（
x
）的值域；
（Ⅱ） 若对∀
x
∈R，
f
（
x
）＜|
x
﹣
a
|恒成立，求
a
的取值范围．

参考答案
一、选择 题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的．
1．【解答】解：∵
A
＝{
x
|﹣1＜
x
＜2}，
B
＝{
x
|﹣2＜
x
＜0}；
∴
A
∪
B
＝{
x
|﹣2＜
x
＜2}．
故选：
D
．
2．【解答】解：∵
z
＝1+
i
，
∴＝．
故选：
B
．
3．【解答】解：命题
p
：∀
x∈R，cos
x
≤1，是一个全称命题
∴￢
p
：∃
x
∈R，cos
x
＞1，
故选：
D
．
4．【解答】解：由流程图可知：
第一个选择框作用是比较
x
与
b
的大小，
故第二个选择框的作用应该是比较
x
与
c
的大小，
∵条件成立时，保存最大值的变量
X
＝
C

故选：
A
．
5．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为
其焦点坐 标为（±3，0），其渐近线方程为
y
＝±
＝1，
x
，即
x
±
y
＝0，
高三数学（理科）·第 15 页 （共 25 页）

则其焦点到渐近线的距离
d
＝
故选：
D
．
＝；
6．【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个棱长为1的正方体，
正方体的边长为2，三棱锥的三个侧棱长为1，
则该几何体的体积
V
＝2×2×2﹣1×1×1＝7，
故选：
C
．
7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由
z
＝
x
+
y
得
y
＝﹣
x
+
z
，平移直线
y
＝﹣
x
+
z
，
由图象可知当直线
y
＝﹣
x
+
z
经过点
C
时，
直 线
y
＝﹣
x
+
z
的截距最小，此时
z
最小 ．
由，
解得
C
（，﹣），
代入目标函数
z
＝
x
+
y
得
z
＝．
即目标函数
z
＝
x
+
y
的最小值为．
无最大．
故选：
B
．
8．【解答】解：设等差数列{
a
n
}的公差为
d
≠0，∵
a
5
是
a
3
与
a
8
的等比中项，
S
5
＝20，
∴＝（
a
1
+2
d
）（
a
1
+7
d
），5
a
1
+
d
＝20，
联立解得：
a
1
＝2，
d
＝1．
则
S
10
＝10×2+
故选：
C
．
9．【解答】解：直角三角形的斜边长为，
1＝65．
设内切圆的半径为
r
，则5﹣
r
+12﹣
r
＝13，解得
r
＝2．
高三数学（理科）·第 16 页 （共 25 页）

∴内切圆的面积为π
r
＝4π，
∴豆子落在内切圆外部的概率
P
＝1﹣
故选：
C
．
10．【解答】解：∵
f
（
x
）是
R
上的奇函数，且x
＞0时，
f
（
x
）＝
x
3
﹣8；
∴
f
（0）＝
f
（2）＝
f
（﹣2）＝0，且f
（
x
）在（0，+∞），（﹣∞，0）上都单调递增；
∴①
x
＝2时，满足
f
（
x
﹣2）≥0；
②
x
＞2时，由
f
（
x
﹣2）≥0得，
f
（
x
﹣2）≥
f
（2）；
∴
x
﹣2≥2；
∴
x
≥4；
③
x
＜2时，由
f
（
x
﹣2）≥0得，
f
（
x
﹣2）≥
f
（﹣2）；
∴
x
﹣2≥﹣2；
∴
x
≥0；
∴0≤
x
＜2；
综上得，
f
（
x
﹣2）≥0的解集为[0，2]∪[4，+∞）．
故选：
D
．
11．【解答】解：∵三棱锥
P
﹣
A BC
中，
PA
，
PB
，
PC
两两垂直，且长度相等 ，
∴此三棱锥的外接球即以
PA
，
PB
，
PC
为 三边的正方体的外接球
O
，
∵球
O
的半径为1，
∴正方体的边长为，即
PA
＝
PB
＝
PC
＝，
＝1﹣，
2
球心到截面
ABC
的距离即正方体中心到截面
ABC
的距离，
设
P
到截面
ABC
的距离为
h< br>，则正三棱锥
P
﹣
ABC
的体积
V
＝
S△
ABC
×
h
＝
S
△
PAB
×
PC
＝×
，
△
ABC
为边长为的正三角形，
S
△
ABC
＝＝，
高三数学（理科）·第 17 页 （共 25 页）

∴
h
＝，
∴球心（即正方体中心）
O
到截面
ABC
的距离为．
故选：
C
．
12．【解答】解：
g
（
x
）＝2
x
﹣
x
2
，
g
′（
x
）＝ 2
x
ln
2﹣2
x
，
∵
g
′（0）＝< br>ln
2＞0，
g
′（1）＝2
ln
2﹣2＜0，
∴
g
′（
x
）在（0，1）上有零点，
又[
g< br>′（
x
）]′＝
ln
2
2•2
x
﹣2＜0在 [0，1]上成立，
∴
g
′（
x
）在（0，1）上有唯一零点，设 为
x
0
，
则当
x
∈（0，
x
0
）时，
g
′（
x
）＞0，当
x
∈（
x
0< br>，1）时，
g
′（
∴
g
（
x
）在
x
∈[0，1]上有最大值
g
（
x
0
）＜2，
又
g
（0）＝
g
（1）＝1，
∴
g
（< br>x
）∈[1，
g
（
x
0
）]，
令
t
＝
g
（
x
）∈[1，
g
（
x
0
）]，
要使
f
[
g
（
x
）]≥0对x
∈[0，1]恒成立，则
f
（
t
）≥0对
t
∈[1，
g
（
x
0
）]恒成立，
即﹣
t
2
+3
t
﹣
a
≥0对
t
∈[1，
g（
x
0
）]恒成立，
分离
a
，得
a
≤﹣
t
2
+3
t
，
函数﹣
t
2
+3
t
的对称轴为
t
＝，又
g
（
x
0）＜2，
∴（﹣
t
2
+3
t
）
min
＝2，
则
a
≤2．
则实数
a
的范围是（﹣∞，2]．
故选：
A
．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【解答】解：∵＝（1，﹣2），＝（﹣2，
m
），
∴，
高三数学（理科）·第 18 页 （共 25 页）
x
）＜0，

又＝（﹣1，2），且（）∥，
∴﹣1×2+（
m
﹣2）＝0，即
m
＝4．
故答案为：4．
14．【解答】解：将函数
f
（
x
）＝sin﹣
单位后，
得到的图象对应函数的解析式为
y
＝2sin（﹣﹣）＝﹣2cos，
c os＝2sin（﹣）的图象向右平移个
令2
k
π≤≤2
k
π+π， 求得4
k
π≤
x
≤2π+4
k
π，可得所得函数的单调递增 区间为[4
k
π，
2π+4
k
π]，
k
∈Z，
故答案为：[4
k
π，2π+4
k
π]，
k
∈Z．
15．【解答】解：抛物线
y
＝
ax
，即
x
＝y
，准线方程为
y
＝﹣
因为抛物线
x
＝
y的准线与圆
x
+（
y
﹣3）＝16相切，
当
a
＞0时，3+
当
a
＜0时，﹣
故答案为：或﹣
＝4，解得
a
＝，
﹣3＝4，解得
a
＝﹣
．
，
，
222
22
，
16．【解答】解：
S
n
＝（﹣1 ）
n
a
n
当
n
＝1时，
a
1
＝< br>S
1
＝﹣
a
1
+，解得
a
1
＝，
n
≥2时，
a
n
＝
S
n
﹣
Sn
﹣1
，
可得
S
n
＝（﹣1）
n
（
S
n
﹣
S
n
﹣1
）
当
n
为偶数时，
S
n
＝
S
n
﹣
S
n
﹣ 1
，
，即有
S
n
﹣1
＝；
， 当
n< br>为奇数（
n
≥3）时，
S
n
＝﹣（
S
n﹣
S
n
﹣1
）
可得
S
n
﹣1
＝2
S
n
﹣＝2•﹣＝0，
高三数学（理科）·第 19 页 （共 25 页）

即有
S
1
+
S
2
+…+S
11
＝+0++0++0+…+
＝＝．
故答案为：．
三 、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程
或演算步骤 ．
17．【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵
a
＝4，
b
＝2，
B
＝2
A
．
∴sin
B
＝si n2
A
＝2sin
A
cos
A
，
∴cos
A
＝
∴sin
A
＝
＝＝
＝
，
…6分
，可得：
c
2
（Ⅱ）由余弦定理
a
2
＝
b
2
+
c
2
﹣2
bc
cos
A
，可 得：16＝24+
c
2
﹣2×
﹣6
c
+8＝0，
解得：
c
＝2或
c
＝4（舍去）…12分
18．【解答】解：（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，
所以
a
＝60﹣40＝20，
d
＝40﹣5＝35；
由列 联表可得
K
2
＝
而
P
（
K
＞5.024） ＝2.5%，
所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；
（2）由题意知持“同意”态度的学生的频率为＝，
2
＝＞5.024；
即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为，由于总体容量很大，
故
X
服从二项分布，
高三数学（理科）·第 20 页 （共 25 页）

即
X
～
B
（4，），
P
（
X
＝
k
）＝
从而
X
的分布列为：
••，
k
＝0，1，2，3，4；
X

P

0

1

．
2

3

4

X
的数学期望为
E
（
X
）＝4×＝
19．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连结
EN
，
FN
，则
N E
∥
BC
，
FN
∥
B
1
B
， < br>∵
NE
∩
FN
＝
N
，
BC
∩
B
1
B
＝
B
，
∴平面
EFN
∥平面
B
1
BCC
1
， < br>∵
EF
⊂平面
EFN
，∴
EF
∥平面
BCC
1
B
1
．
解：（Ⅱ）以
E
为原点，
EB
为
x
轴，
EC
为
y
轴，
EF
为< br>z
轴，
建立空间直角坐标系，
不妨设
AB
＝2，则
B
（
设
M
（0，1，
a
），则
＝（﹣
， 0，0），
F
（
＝（0，1，﹣2），
），
A
1
（ 0，﹣1，2），
E
（0，0，0），
＝（﹣，1，
a
），
，﹣，2），
•＝1﹣2
a
＝0，解得
a
＝，∴
M
（0，1，）， ∵
A
1
E
⊥
BM
，∴
设平面
BFM
的法向量为＝（
x
，
y
，
z
），
则，取
z
＝4，得＝（3，7，4），
同理可得平面
MEF
的法向量为＝（﹣3
∴cos＜＞＝＝
，﹣1，2），
＝．
∴二面角
B
﹣
FM
﹣
E
的余弦值为．
高三数学（理科）·第 21 页 （共 25 页）

20．【解答】解：（ Ⅰ）对于
x
+
＝2，即
a
＝2，
∴椭圆的方程为+＝1，
y
﹣2＝0，当
x
＝0时，
y
＝，即
b
＝ ，当
y
＝0，
x
（Ⅱ）证明：设直线
AB
：
y＝
kx
+2，（
k
≠0），
设
A
，
B
两点的坐标分别为（
x
1
，
y
1
），（
x
2
，
y
2
），则
B
′（﹣
x
2
，
y
2
），
联立直线
AB
与椭圆得
得（ 1+2
k
2
）
x
2
+8
kx
+4＝0，
∴△＝64
k
2
﹣8（1+2
k
2
）＞0，解得< br>k
2
＞
∴
x
1
+
x
2
＝ ﹣，
x
1
x
2
＝，
，
∴
k
AB
′
＝，
∴直线
AB
′：
y
﹣
y
1
＝（
x
﹣
x
1
），
∴令
x
＝0，得
y
＝＝＝+2＝2
k
•
+ 2＝﹣1+2＝1，
∴直线
AB
′过定点
Q
（0，1），
21．【解答】解：（Ⅰ）
f
′（
x
）＝
ln
（
x
+1）+
∴
f
′（
e
﹣1）＝2﹣﹣2
a
（
e
﹣1），
∵曲线
y
＝
f
（
x）在点
x
＝
e
﹣1处的切线与直线
x
﹣
ey< br>＝0平行，
高三数学（理科）·第 22 页 （共 25 页）
﹣2
ax
，

∴2﹣﹣2
a
（
e
﹣1）＝，
解得
a
＝．
（Ⅱ）∵
f
′（
x
）＝ln
（
x
+1）+
∴
f
′（0）＝0，且
f< br>″（
x
）＝
﹣2
ax
，
x
＞﹣1，
+﹣2
a
，
当
a
＜0时，
f
″（
x
）＞0，
f
′（
x
）单调递增，又
f
′（0） ＝0，
∴当﹣1＜
x
＜0，
f
′（0）＜0，函数
f（
x
）单调递减，
当
x
＞0，
f
′（0）＞ 0，函数
f
（
x
）单调递增，
故函数
f
（
x
）仅有一个极小值点
x
＝0， 当
a
＞0，设＝
t
，则
2
+＝
t
2< br>+
t
，（
t
＞0）
当﹣1＜
x
＜0时，< br>t
＞1，此时
t
+
t
＞2，
当
x
＞0时，0＜
t
＜1，此时
t
+
t
＜2，
∴当< br>a
＝1时，
f
″（
x
）＝0，此时
t
＝1，
x
＝0，
∴当﹣1＜
x
＜0，
f
′′（
x
）＞0，函数
f
′（
x
）单调递减，
当
x＞0，
f
′′（
x
）＜0，函数
f
′（
x）单调递减，
∴
f
′（
x
）＜
f
（0）＝0，
∴f
（
x
）在（﹣1，+∞）单调递减，
f
（
x
）无极值，
当0＜
a
＜1时，
f
″（
x
）＝0存 在唯一的实数根
x
0
，且
x
0
＞0，
∴当﹣1＜
x
＜
x
0
，
f
′′（
x
）＞0， 函数
f
′（
x
）单调递减，
当
x
＞
x< br>0
，
f
′′（
x
）＜0，函数
f
′（
x
）单调递减，
∵
f
′（0）＝0，
∴0为
f
（
x
）一个极值点，
∵
f
′（ ﹣1）＝﹣2
lna
+1﹣
a
2
﹣2
a
（
+2＝
）＝﹣2
lna
+1﹣
a
2
﹣+2
a
＝
lna

+1）＞0，
2
∴
ln
′（
a
）＝﹣﹣2
a
++2﹣2
a
＝（2﹣2
a
）（
高三数学（理科）·第 23 页 （共 25 页）

∴
ln
′（
a
）单调递增，
∴
f
′（﹣1）＝
ln
（
a
）＜
ln
1＝0，
∴
f
′（
x
）存在零点
x
1
，且
x1
为
f
（
x
）的极值点，
∴当0＜
a
＜1时，
f
（
x
）有两个极值点
综上所述
a
≤0．
选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题 作答，如果多做，则按所做的第题计分．作
答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．【解答】解：（Ⅰ）圆
C
的极坐标方程为ρ＝2
a
cosθ（
a
＞0）．
转换为直角坐标方程为：
x
2
+
y
2
﹣2
ax
＝0．
（Ⅱ）把直线
l
的参数方程（
t
为参数），
转换为标准形 式为：（
t
为参数），代入
x
+
y
﹣2
ax
＝0，
22
得到：
所以：
由于
a
＞0，
所以 ：|
PA
|+|
PB
|＝|
t
1
+
t2
|＝
即：
解得：
a
＝1．
，
（
t
1
和
t
2
为
A
、
B
对应的参数 ），
，
，
23．【解答】解：（Ⅰ）∵
f
（
x
）＝
∴
f
（
x
）的值域是[﹣4，4]
高三数学（理科）·第 24 页 （共 25 页）

（Ⅱ）如图所示
a
＜﹣．


高三数学（理科）·第 25 页 （共 25 页）