北京高中录取分数线-做一个幸福的教师

2020
年湖南省长沙市高考数学二模试卷（一））

一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.

已知集合
A={1
，
2
，
3
，
4}
，
B={y|y=3x-5
，
x
∈
A}< br>，则
A∩B=
（ ）
A.
{1
，
2}

B.
{1
，
4}

C.
{2
，
4}

D.
{3
，
4}

2.

已知复数
z=-
，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A.
（
-1
，
-1
）
3.

已知双曲线
心率为（）
B.
（
-1
，
1
）
C.
（
1
，
2
）
D.
（
1
，
-2
）
的两条渐近线互相垂直，焦距为
8
，则
C
的离

B.
2

C.

D.

4.

高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国
100
个城
市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分
别为
x
1
，
x
2
，
x
3
，…
x
100
，它们的平均数为，方差为
s
2
；其中扫码支 付使用的人数
分别为
3x
1
+2
，
3x
2
+2
，
3x
3
+2
，…，
3x
100
+2
，它们的平均数为′，方差为
s
′
2
，则
′，
s< br>′
2
分别为（ ）
A.
A.
3+2
，
3s
2
+2

B.
3
，
3s
2

C.
3+2
，
9s
2

D.
3+2
，
9s
2
+2

5.

已 知变量
x
，
y
满足约束条件，则
z=x+2y
的最大值为（ ）
A.
9

6.

已知
θ
∈（
B.
8

），则
2cos
C.
7

=
（ ）
D.
6

A.
sinθ+cosθ

B.
sinθ-cosθ

C.
cosθ-sinθ

D.
3cosθ-sinθ

7.

已知抛物线
y
2< br>=2px
（
p
＞
0
）上的点
M
到其焦点F
的距离比点
M
到
y
轴的距离大，
则抛物线的标准方程 为（ ）
A.
y
2
=x

B.
y
2
=2x

C.
y
2
=4x

8.

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（ ）

A.
3π

B.
4π

C.
6π

D.
8π







D.
y
2
=8x

9.

在三棱锥
P-ABC
中，
PC
⊥底面
ABC
，∠< br>BAC=90°
，
AB=3
，
AC=4
，∠
PBC= 60°
，则三
棱锥
P-ABC
外接球的体积为（ ）
第1页，共14页

A.
100π

10.

函数
f
（
x
）
=
B.

C.
125π

D.

sin
（< br>2x+θ
）
+cos
（
2x+θ
）（
|θ|
）的图象向左平移个单位长度后
）对称，则
g
（
x
）的单调递得函数
g
（
x
）的图象，若
g
（
x
）的图象关于 点（
减区间是（ ）
A.
[+2kπ
，
+2kπ]
，
k
∈
Z

C.
[-+kπ
，
+kπ]
，
k
∈
Z

B.
[
D.
[
+kπ
，
+kπ]
，
k
∈
Z

+kπ
，
+kπ]
，
k
∈
Z

11.

a
，
b
，
c
分别为锐角△
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边，函数
f
（
x
）
=x
2
+c
2
-a
2-ab
有唯一零
点，则的取值范围是（ ）
A.
（
1
，
3
）
B.
（）
C.
（）
D.
（
1
，
2
）
12.

设
0
＜
m≤2
，已知函数，对于任意x
1
，
x
2
∈
[m-2
，
m]
，都有
|f
（
x
1
）
-f
（
x
2
）
|≤1
，则实数
m
的取值范围为（ ）
A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.

已知函数
f
（
x
）
=
， 则
=______
．
）
=______
． 14.

已知两个单位向量和夹角为
120°
，则（
15.

已知四 棱锥
P-ABCD
的底面边长都为
2
，
PA=PC=2
，< br>PB=PD
，且∠
DAB=60°
，
M
是
PC
的中点，则异面直线
MB
与
AP
所成的角为
______
．
16.

已知定义在
R
上的偶函数
y=f
（< br>x+2
），其图象连续不间断，当
x
＞
2
时，函数
y =f
（
x
）是单调函数，则满足
f
（
x
）
=f
（
1-
）的所有
x
之积为
______
．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
17.

已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
=3
，
a
n
+1
=2S
n
+3
（
n
∈
N
*< br>）．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）设
b
n
=log
3
a
n< br>，若数列的前
n
项和为
T
n
，证明：
T
n< br>＜
1
．







18.

某电子商务平台的管理员随机抽取了
1000
位上网购物者 ，并对其年龄（在
10
岁到
69
岁之间）进行了调查，统计情况如表所示．
年龄

人数

[10
，
20
）

[20
，
30
）

[30
，
40
）

[40
，
50
）

[50
，
60
）

[60
，
70
）

100

150

a

第2页，共14页
200

b

50

已知
[30
，
40
），
[40
，
50
），
[50
，
60
）三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减
的等比数列．
（
1
）求
a
，
b
的值；
（
2< br>）若将年龄在
[30
，
50
）内的上网购物者定义为“消费主力军”， 其他年龄段内
的上网购物者定义为“消费潜力军”．现采用分层抽样的方式从参与调查的
100 0
位上网购物者中抽取
5
人，再从这
5
人中抽取
2
人，求这
2
人中至少有一人是消费
潜力军的概率．







19.

在四棱锥
M-ABCD
中，平面
MAD
⊥平面
ABCD
，底面
ABCD
为 矩形，
AB=2
，
AM=AD=3
，
MD=3
，
E
，
F
分
别为线段
BC
，
MD
上一点，且< br>CE=1
，
DF=
．
（
1
）证明：
AM
⊥
BD
；
（
2
）证明：
EF
∥平面
MAB
，并求三棱锥
D-AEF的体积．











20.

设
D
是圆
O：
x
2
+y
2
=16
上的任意一点，
m
是过点
D
且与
x
轴垂直的直线，
E
是直线
m与
x
轴的交点，点
Q
在直线
m
上，且满足
2| EQ|=|ED|
．当点
D
在圆
O
上运动
时，记点
Q
的轨迹为曲线
C
．
（
1
）求曲线
C
的方程．
（
2
）已知点
P
（
2
，
3
），过
F
（
2
，
0
）的直线
l
交曲线
C
于
A
，
B
两点，交直线
x=8
于点
M
．判定直线
PA
，
PM
，
PB
的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．







21.

已知函数
f
（
x
）
=1+lnx- ax
2
．
（
1
）讨论函数
f
（
x
）的单调区间；
（
2
）证明：
xf
（
x
）＜•
e
x
+x-ax
3
．

第3页，共14页

22.

在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为（
t
为参数），其中< br>，∈
k
∈
Z
．以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程
ρ
2
-2ρcosθ -4ρsinθ+4=0
．
（
1
）求曲线
C
1
和 曲线
C
2
的直角坐标方程；
（
2
）已知曲线
C< br>1
与曲线
C
2
交于
A
，
B
两点，点
P
（
-1
，
2
），求
|PA|
2
+|PB|
2
的取值
范围．







23.

已知函数
f
（
x
）
=|x-1|
（
1< br>）解不等式
f
（
x-2
）
+f
（
x+2）
≥8
（
2
）若
|a|
＜
1
，|b|
＜
1
，
a≠0
．求证：






．
第4页，共14页

-------- 答案与解析 --------

1.
答案：
B

解析：解：
B={-2
，
1
，
4
，7}
；
∴
A∩B={1
，
4}
．
故选：
B
．
可求出集合
B
，然后进行交集的运算即可．
考查列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，以及交集的运算．
2.
答案：
A

解析：【分析】
根据复数的运算，化简得
z=-1+i
，根据共轭复数的概念，即可求解．
本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，
以及共轭复数的概 念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
【解答】
解：
z=- =-1+i
，
=-1-i
，对应点到坐标为（
-1
，
-1< br>），
故选：
A
．
3.
答案：
D

解析：解：由题意，双曲线
C
：
8
，
=1
（a
＞
0
，
b
＞
0
）的两条渐近线互相垂直，焦 距为
可得，得，所以双曲线的离心率
e=
．
故选：
D
．
根据题意，列出方程组，求得
a
，
b
，
c
的值，再 利用离心率的计算公式，即可求解．
本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的 几何性质，合理、准
确列出方程组，求得
a
，
b
，
c
的值，再利用离心率的计算公式求解是解答的关键，着重
考查了推理与运算能力，属于基础题．
4.
答案：
C

解析：【分析】
根据题意，由平均数公 式可得
=
（
x
1
+x
2
+
…
+x
100
），
s
2
=[
（
x
1
-< br>）
2
+
（
x
2
-
）
2
+< br>……
+
（
x
100
-
）
2
]
，进而分析数据
3x
1
+2
，
3x
2
+2
，
3x
3
+2
，…，
3x
100
+2
的 平均数与方差，即可
得答案．
本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，应该熟 记样本数据的平均数和
方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属 于基
础题．
【解答】
第5页，共14页

解：根据题意， 数据
x
1
，
x
2
，…
x
100
的 平均数为，方差为
s
2
；
则
=
（
x
1< br>+x
2
+
…
+x
100
），
s
2< br>=[
（
x
1
-
）
2
+
（
x
2
-
）
2
+
……
+
（
x
100
-
）
2
]
，
若
3x
1
+ 2
，
3x
2
+2
，
3x
3
+2
， …，
3x
100
+2
的平均数为′，
则′
=[
（
3x
1
+2
）
+
（
3x
2
+2< br>）
+
……
+
（
3x
100
+2
）< br>]=3+2
，
[
（
3x
1
+2-3-2
）
2
+
（
3x
2
+2-3-2
）
2
+
……
+
（
3x
100
+2-3-2
）
2
]=9s
2
， 方差
s
′
2
=
故选：
C
．


5.
答案：
A

解析：解：由题意，作出约束条件所表示的可行区域（如
图所示），
目标函数
z=x+2y
，可化为
当直线
，
过点
A
时，此时直线在
y
轴上的截距
最大，此时目标函数取得最大值，
又由，解得
A
（
1
，
4
），
4=9
， 所以目标函数的最大值为
z=1+2×
故选：
A
．
作出约束条件所表示的可行区域，结合图形确定目标的最优解，代入即可求解．
本题主要考查 简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表
示的可行域，利用“一画、二移 、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重
考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基 础题．
6.
答案：
A

解析：解：因为
θ
∈（
关系式，可得
2cos
故选：
A
．
由
θ
∈（），则
sinθ
＞
cosθ
，再利用三角函数的诱导公司和三角函数的基 本关系式，
=2cosθ+=2cosθ+sinθ-cosθ=sinθ+cosθ
． ），则
sinθ
＞
cosθ
，用三角函数的诱导公司和三角函数的基本< br>即可得到答案．
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简问题，其中 解答中
熟记三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了运算与求
解 能力，属于基础题．
7.
答案：
B

第6页，共14页

解析：解：抛物线
y
2
=2px
（
p
＞< br>0
）上的点
M
到其焦点
F
的距离比点
M
到< br>y
轴的距离大，
可得，可得
p=1
，
所以抛物线的标准方程为：
y
2
=2x
．
故选：
B
．
利用抛物线的定义，转化列出方程求出
p
，即可得到抛物线方程．
本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知识的考查．
8.
答案：
A

解析：解：由三视图知，几何体是一个简单组合体 ，左侧是一个半
圆柱，底面的半径是
1
，高为：
4
，
右侧是一个半圆柱，底面半径为
1
，高是
2
，
∴组合体的体积是：
=3π
，
故选：
A
．
几何 体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是
1
，
高为：
4
，右侧是一个半圆柱，底面半径为
1
，高是
2
，根据体积公
式得到 结果．
本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本
题是一个基础题，题 目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．
9.
答案：
B

解析：【分析】
本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体 的结构特
征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中
档试题．
在三棱锥
P-ABC
中，求得
BC=5
，又
PC
⊥底面
ABC
，所以
PC
⊥
BC
，在直角△
PBC
中，
求得
PB=10
，进而得到三棱锥
P-ABC
外接球的直径，得到
R=5
，利用体积公式，即可
求解．
【解答】
解：由题意知，在三棱锥
P-ABC
中，∠
BAC=90°
，
AB =3
，
AC=4
，所以
BC=5
，
又由
PC⊥底面
ABC
，所以
PC
⊥
BC
，
PC
⊥
AC
，
在直角△
PBC
中，
BC=5
，∠< br>PBC=60°
，
所以
PB=10
，
PC=5
，
故
PA==
，
由，故
PA
⊥
AB
， < br>根据球的性质，可得三棱锥
P-ABC
外接球的直径为
2R=PB=10
，即
R=5
，
所以球的体积为
V=
故选：
B
．
10.
答案：
C
==
，

解析：解：∵函数< br>f
（
x
）
=sin
（
2x+θ
）
+ cos
（
2x+θ
）
=2sin
（
2x+θ+
）（
|θ|
）的图象
向左平移个单位长度后，
第7页，共14页

得函数
g
（
x
）
=2sin
（
2x++ θ+
）
=2sin
（
2x+θ+
）的图象，
再由函数g
（
x
）的图象关于点（
=2sin
（
2x+
）．
令
2kπ+≤2x+≤2kπ+
，可得
kπ-≤x≤kπ+
， 故函数的减区间为
[kπ-
，
kπ+]
，
k
∈
Z< br>．
故选：
C
．
利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，利用函 数
y=Asin
（
ωx+φ
）的图象变换规
律，求得
g（
x
）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得
θ
的值，再利用正 弦单
调性求得
g
（
x
）的减区间．
本题主要考查了三角函 数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三
角函数的图象变换，以及合理、准确应用 三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查
了推理与运算能力，属于基础题．
11.
答案：
D
）对称，∴
θ+=kπ+
，
k< br>∈
Z
，∴
θ=
，得到函数
g
（
x
）

解析：解：由题意，函数
f
（
x
）为偶函数且有唯一零点 ，则
f
（
0
）
=0
，
所以
c
2
=a
2
+ab
．
由余弦定理， 得：
c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC=a2
+ab
，整理得：
b
2
-2abcosC=ab
，
即
b-2acosC=a
，
所以
=1+2cosC
， < br>由正弦定理，得：
sinB-2sinAcosC=sinA
，即：
sin（
A+C
）
-2sinAcosC=sinA
，
所以：
sinCcosA-sinAcosC=sinA
，
所以：
sin
（
C-A
）
=sinA
，
所以：
C-A=A
，或
C-A+A=π
（舍），
故：
C=2A
，
结合锐角△
ABC
，
3A+B=π
，
则
0
＜
π-3A
＜，
0
＜
2A
＜，
所以＜
A
＜，
由
=1+2cosC
，
又因为＜
C=2A
＜，
所以：
1
＜
=1+2cosC
＜
2
，
即的取值范围是（
1
，
2
）．
故选：
D
．
由
f
（
0
）
=0< br>，可得
c
2
=a
2
+ab
，再利用余弦定理，得：< br>b-2acosC=a
，再由正弦定理，得：
sin
（
C-A
）
=sinA
，求得
C=2A
，结合锐角△
ABC
，求得： ＜
C
＜，根据
=1+2cosC
，即
可求解的取值范围．
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问
第8页，共14页

题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，< br>利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用
正、余弦定 理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积
公式，结合正、余弦定理解题 ．
12.
答案：
B

解析：【分析】
本题考查利用导 数分析函数的最值，注意分析
g
（
x
）
=x
3
-1 2x+50
的最值．
根据题意，设
g
（
x
）
=x
3
-12x+50
，求出其导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析
其单 调性，结合
m
的范围分析可得
g
（
x
）在
[m-2
，
m]
上为减函数，进而可得函数
在
[m-2
，
m ]
上也为减函数，据此求出
f
（
x
）在
[m-2
，
m]
上的最大值与最
小值；结合题意分析可得必有
f
（
x< br>）
max
-f
（
x
）
min
≤1
， 即
f
（
m-2
）
-f
（
m
）
=- ≤1
，变形解可得
m
的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根 据题意，设
g
（
x
）
=x
3
-12x+50
，
其导数
g
′（
x
）
=3x
2
-12 =3
（
x
2
-4
），
当
x
＜
- 2
时，
g
′（
x
）＞
0
，即函数
g
（
x
）在（
-∞
，
-2
）上为增函数，
当-2≤x≤2
时，
g
′（
x
）
≤0
，即函数< br>g
（
x
）在
[-2
，
2]
上为减函数， < br>当
x
＞
2
时，
g
′（
x
）＞
0
，即函数
g
（
x
）在（
2
，
+∞）上为增函数，
又由
0
＜
m≤2
，则
[m-2
，
m]
⊂
[-2
，
2]
，
则在
[m- 2
，
m]
上，
g
（
x
）为减函数，
又由
0
＜
m≤2
，则函数
在
[m-2
，
m]< br>上也为减函数，
则
f
（
x
）
max
=f< br>（
m-2
）
=
f
（
x
）
min< br>=f
（
m
）
=
，
，

若对于任 意
x
1
，
x
2
∈
[m-2
，
m]
，
都有
|f
（
x
1
）
-f
（< br>x
2
）
|≤1
，
则有
f
（
x）
max
-f
（
x
）
min
≤1
，
即
f
（
m-2
）
-f
（
m
）
=-≤1
，
变形可得：
3m
2
+2m-8≥0
，
解可得：
m≤-2
或
m≥
，
又由
0
＜< br>m≤2
，则
m
的取值范围为
[
，
2]
；
故选：
B
．
13.
答案：
-1

第9页，共14页

解析：解：∵函数
f
（
x
）
=
∴
f
（
-
）
=-+2=
，
=f
（）
=log
2
=-1
．
故答案为：
-1
．
推导出
f
（
-
）
=-+2=
，从而
，
=f
（），由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.
答案：


解析：解：根据向量的数量积的运算公式，
可得（）
=+=1
•
1
•
cos120°+1=
．
故答案为：．
根据向量的数量积的运算公式，即可求解（）的值，得到答案．
本题 主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理
准确运算是解答的关键 ，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

15.
答案：
30°

解析：解：如图所示，连接
AC与
BD
相交于
N
，则
MN
∥
PA
，< br>
根据异面直线所成角的定义，可得
MB
，
AP
所成的角为∠
NMB
或∠
NMB
的补角，
由题意，在△
MNB
中，
NB=1
，
MN=
，
BN
⊥
MN
，
则
tan
∠
NMB=
，
∴∠
NMB=30°
，
故答案为：
30°
．
根 据异面直线所成角的定义，可得则
MB
，
AP
所成的角为∠
NMB< br>或∠
NMB
的补角，在
△
MNB
中即可求解．
本题 主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成角的概念，把异
面直线所成的角转化为 相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，
属于基础题．
16.
答案：
39

解析：解：因为函数
y=f
（
x+2
）是连续的偶函数，所以直线
x=0
是它的对称轴，
从面 直线
x=2
就是函数
y=f
（
x
）图象的对称轴．
因为
由
由
，所以或．
，得
x
2
+3x- 3=0
，设方程的两根为
n
，
n
，所以
x
1
x
2
=-3
；
，得
x
2
+x-13=0
，设方程的两根为
x
3
，
x
4
，所以
x
3
x
4
=-13
，
所以
x
1
x
2
x
3
x
4
=39
．
第10页，共14页

故答案为：
39
．
由题意首先确定函数的对称性，然后结合题意和韦达定理整理计算即可求得最终结果．
本题主要考查函数的对称性，分类讨论的数学思想，韦达定理的应用等知识，属于中等
题． < br>17.
答案：（
1
）解：因为
a
n
+1
=2 S
n
+3
，①
a
n
=2S
n
-1
+3
．

②
①
-
②得
a
n
+1
-a
n
=2a
n
，即
a
n
+1
=3a
n
（
n≥ 2
），
所以
{a
n
}
为从第
2
项开始的 等比数列，且公比
q=3
，
又
a
1
=3
，所以< br>a
2
=9
，所以数列
{a
n
}
的通项公式< br>a
n
=3
n
（
n≥2
）．
当
n= 1
时，
a
1
=3
满足上式，所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=3
n
．
（
2< br>）证明：由（
1
）知
b
n
=log
3
an
=log
3
3
n
=n
，
所以
所以
，
=
得证．

解析：（
1< br>）利用
a
n
+1
=2S
n
+3
，①
a
n
=2S
n
-1
+3
．

②，①-
②得
{a
n
}
为从第
2
项开始的等比
数列，且公比
q=3
，然后求解通项公式．
（
2
）通过裂项消项法转化求解数列的和，证明即可．
本题考查数列递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．
18.
答案：解：（
1
）由题意得：
，
解得
a=400
，
b=100
．
（
2
） 由题意可知在抽取的
5
人中，有
3
人是消费主力军，分别记为
a1
，
a
2
，
a
3
，
有
2< br>人是消费主力军，分别记为
b
1
，
b
2
，
记“这
2
人中至少有一人是消费潜力军”为事件
A
，
从这
5
人中抽取
2
人所有可能情况有
10
种，分别为：
（
a
1
，
a
2
），（
a
1
，< br>a
3
），（
a
1
，
b
1
），（a
1
，
b
2
），（
a
2
，
a
3
），
（
a
2
，
b
1
），（< br>a
2
，
b
2
），（
a
3
，
b
1
），（
a
3
，
b
2
），（
b
1
，
b
2
）．
符合条件
A
的有
7
种，分别为：
（
a
1
，
b
1
），（
a
1
，
b
2
），（
a
2
，
b
1
），（
a
2
，
b
2
），（
a
3
，
b
1
），（
a
3
，
b
2
），（
b
1
，
b
2
），
∴这
2
人中至少有一人是消费潜力军的概率
P=
．
解析：（
1
）由频率分布表和等比数列的性质列出方程组，能求出
a
，< br>b
．
（
2
）在抽取的
5
人中，有
3
人是消费主力军，分别记为
a
1
，
a
2
，
a3
，有
2
人是消费主力
军，分别记为
b
1
，< br>b
2
，利用列举法能求出这
2
人中至少有一人是消费潜力军的概率．
本题考查等差数列、随机事件所包含的基本事件、古典概型及概率计算公式等等基础知
识，考查 运用概率知识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能力，是基础题．
19.
答案：解 ：证明：（
1
）∵
AM=AD=3
，
MD=3
，

∴
AM
2
+AD
2
=MD
2
，∴
AM
⊥
AD
，
∵平面
MAD
⊥平面
ABCD，平面
MAD∩
平面
ABCD=AD
，
∴
AM
⊥平面
ABCD
，
又
BD
⊂平面
ABCD
，∴
AM
⊥
BD
．
（
2
）在棱
AD
上取一点
N
，使得
ND=1
，
∵< br>CE=1
，∴
CE=ND
，又
BC
∥
AD
，
第11页，共14页

∴
ECND
，又
AB
∥
CD
，∴
EN
∥
AB
，
∵
=
，∴
FN
∥
AM
，
∵
FN ∩EN=N
，∴平面
ENF
∥平面
MAB
，又
EF
⊂平面
ENF
，
∴
EF
∥平面
MAB
，
∵
AM
⊥平面
ABCD
，且
FD=MD
，
AM= 3
，
∴
F
到平面
ABCD
的距离
d=
∴
V
D
-
AEF
=V
F
-
ADE
=
，
=1
．

解析：本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积 的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． （
1
）推导出
AM
⊥
AD
，从而
AM
⊥平面
ABCD
，由此能证明
AM
⊥
BD
．
（< br>2
）推导出
CE=ND
，
BC
∥
AD
，EN
∥
AB
，
FN
∥
AM
，从而平面
ENF
∥平面
MAB
，进而
EF
∥
平面
MAB，由
V
D
-
AEF
=V
F
-
ADE< br>，能求出三棱锥
D-AEF
的体积．
20.
答案：解：（
1
）设
Q
（
x
，
y
），
D
（
x
0
，
y
0
），∵
2|EQ|=|ED|
，Q
在直线
m
上，
∴
x
0
=x
，|y
0
|=|y|
．①
∵点
D
在圆
x
2
+y
2
=16
上运动，
∴
x
0
2
+y
0
2
=16
， < br>将①式代入②式即得曲线
C
的方程为
x
2
+y
2=16
，即
+=1
，
（
2
）直线
PA
，
PM
，
PB
的斜率成等差数列，证明如下：
由（
1< br>）知椭圆
C
：
3x
2
+4y
2
=48
，
直线
l
的方程为
y=k
（
x-2
）， 代入椭圆方程并整理，得（
3+4k
2
）
x
2
-16k
2
x+16k
2
-48=0
．
设
A
（< br>x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），直线
PA
，
PM
，
P B
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，
k
3
，
则有
x
1
+x
2
=
，
x< br>1
x
2
=
，
可知
M
的坐标为（
8
，
6k
）．
∴k
1
+k
3
=
=2k-3
•
2k
2< br>=2
•
=2k-1
．
+=+
=2k-3
•

=2k-1
，
∴
k
1
+k
3
=2k
2
．
故直线
PA
，
PM
，
PB
的斜率成等差数列．

解析：（
1
）由题意设
Q
（
x
，
y
），
D
（
x
0
，
y
0
），根 据
2|EQ|=|ED|
，
Q
在直线
m
上，
则椭圆 的方程即可得到；
（
2
）设出直线
l
的方程，和椭圆方程联立，利 用根与系数的关系得到
k
1
+k
3
，并求得
k
2< br>的值，由
k
1
+k
3
=2k
2
说明直线PA
，
PM
，
PB
的斜率成等差数列．
本题主要考查 直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的
关系解题，是处理这类问题的最 为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要
第12页，共14页

求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题．
21.
答案：解 ：（
1
）
f
（
x
）的定义域是（
0
，+∞
），
f
′（
x
）
=
，
故a≤0
时，
f
′（
x
）＞
0
，
f（
x
）在（
0
，
+∞
）递增，
当
a
＞
0
时，令
f
′（
x
）
=0
，解 得：
x=
故
f
（
x
）在（
0
，）递增，在 （
，
，
+∞
）递减；
（
2
）证明：要证
xf
（
x
）＜•
e
x
+x-ax
3
，
即证
xlnx
＜•
e
x
，也即证＜
令
g< br>（
x
）
=
•（
x
＞
0
），
则
g
′（
x
）
=
，
，
故g
（
x
）在（
0
，
2
）递减，在（
2
，
+∞
）递增，
故
g
（
x
）
最 小值
=g
（
2
）
=
，
令
k
（< br>x
）
=
，则
k
′（
x
）
=
，
故
k
（
x
）在（
0
，
e
）递 增，在（
e
，
+∞
）递减，
故
k
（
x< br>）
最大值
=k
（
e
）
=
，
∵＜，
故
k
（
x
）＜
h
（
x
），
即
lnx
＜，
故
xf
（
x
）＜•
e
x
+x-ax
3
．

解析：本题考查了函数的单调性 ，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，分类
讨论思想，转化思想，是一道综合题．
（
1
）求出函数的导数，通过讨论
a
的范围，求出函数的单调区间即可； < br>（
2
）问题转化为证＜，令
g
（
x
）
=•（
x
＞
0
），令
k
（
x
）
=
，根据函数的单调
性求出函数的最值，从而证明结论．
22.
答案：解： （
1
）曲线
C
1
的普通方程
y=
（
x+1
）
tanα+2
，其中
α≠kπ+
，
k
∈
Z
，
曲线
C
2
的直角坐标方程（
x-1
）
2
+
（
y-2
）
2
=1
，
（
2
）将代入（
x-1
）
2
+
（
y-2
）< br>2
=1
，
化简得
t
2
-4tcosα+3=0，因为△＞
0
，所以
cos
2
α
＞，
设A
，
B
两点对应的参数分别为
t
1
，
t
2
，则有
t
1
+t
2
=4cosα
，
t
1
t
2
=3
＞
0
，
|PA|
2
+|PB|
2
=
（
|PA|+|PB|
）
2
-2|PA||PB|=
（
|t
1
|+|t
2
|
）
2
-2|t
1
||t
2
|=
（
t
1
+t
2
）
2
-2t
1
t
2
= 16cos
2
α-6
∈（
6
，
第13页，共14页

10]
．
所以
|PA|
2
+|PB|2
的取值范围是（
6
，
10]
．

解析：（
1
）根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线
C
1
的普通方程；根 据极坐标与
直角坐标的互化公式，即可得到曲线
C
2
的直角坐标过程． （
2
）将直线
l
的参数方程代入曲线
C
2
，利 用韦达定理和参数
t
的几何意义，即可求解，
得到答案．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.
答案：解：（
1）函数
f
（
x
）
=|x-1|
那么
f
（
x-2
）
+f
（
x+2
）
=|x-3|+|x +1|≥8
，
∴或或

解得：
x≥5
或
x≤-3
；
∴原不等式的解集为
{x|x≥5
或
x≤-3}
；
（2
）要证
只要证
|ab-1|
＞
|a|
•
|< br>．
|
．
即
|ab-1|
＞
|b-a|
，
只要证
|ab-1|
2
＞
|b-a|
2
作差：< br>|ab-1|
2
-|b-a|
2
=a
2
b
2
-2ab+1-b
2
+2ab-a
2
=a
2
b2
+1-b
2
-a
2
=
（
a
2
-1
）（
b
2
-1
）
∵
|a|
＜
1
，
|b|
＜
1
，
∴（
a
2
-1
）（
b
2
-1
）＞
0
即
|ab-1|
＞
|b-a|
成立
故得．

解析：本题考查了绝对值不等式的解法和证明．属于中档题．
（
1
）利用零点分段即可求解；
（
2
）由．可得
|ab-1|
＞
|a|
•
||
．
|ab-1|
＞< br>|b-a|
，平方后作差即可证明；

第14页，共14页