杜甫草堂导游词-大自然手抄报

常用不等式
琴生不等式：设
f(x)
是（
a,b
） 内的凸函数，则对于（
a,b
）内任意的几个实数
x
1
,x
2
,

,x
n
有
f(
x
1
< br>x
2

x
n
1
)[f(x
1
)f(x
2
)

f(x
n
)]
，
nn
等号当且仅当
x
1
x
2
x
n
时取得。
加权的琴生不等式：
f(q
1
x
1
q
2
x
2
...q
n
x
n
)q
1f(x
1
)q
2
f(x
2
)Lq
nf(x
n
)
，其中
(q
1
,q
2
, ...,q
n

0,且

q
i

1)。
i

1
n
例1、利用琴生不等式证明均值不等式。










例2、(1)在△ABC中，求sinA+sinB+sinC和cosA+cosB+cosC的最大 值。
222
(2)若
a
1
,a
2
,...,a< br>n
是一组实数，且
a
1
a
2
...a
n
k
（k为定值），试求
a
1
a
2
... a
n
的最小值。







1

柯西不等式：设
a
i
,b
i
R(i1,2,..,n)
，则
(

ab)
i

1
ii
n
2

(

a
i)(

b
i
2
)
，当数组
2
i

1i

1
nn
a
1
,a
2
, ...,a
n
;b
1
,b
2
,...,b
n
不全为零时，当且仅当
b
i


a
i
(1i n)
时等号成立。
推论1：对n个正数
a
1
,a
2
,...,a
n
，有
(
推论1: 对n个正数
a
1
,a
2
,...,a
n
，有
(
例3、
⑴已知实数a,b,c,d,t满足
abcdt8
,
abcdt16
，求t的最大值。
⑵若正数a,b,c,满足
a bc1
，求
(a

)

(b

)< br>
(c

)
的最小值。
222
22222

a)(

a
)

n
i
ii
i< br>2
i
ii
1
2
，当且仅当
a
1
. ..a
n
时取等号。

a)n(

a
i2
)
，当且仅当
a
1
...a
n
时取等号 。
1
a
1
b
1
c









例4、设
p
1,p
2
,...,p
n
(n2)
，是1，2，…,n的任意一 个排列，求证：
1111n

1

...


p< br>1

p
2
p
2

p
3
p< br>n

2

p
n

1
p
n< br>
1

p
n
n

2









2

排序不等式：设有两个数组：
a
1
a
2
....a
n
;b
1
b
2
....b< br>n
，令
S=
a
1
b
1
a
2< br>b
2
...a
n
b
n
，
S
1< br>a
1
b
i1
a
2
b
i2
.. .a
n
b
in
，
S
2

a
1< br>b
n

a
2
b
n

1
< br>...

a
n
b
1
，
则有
S S
1
S
2
，当且仅当
a
1
a
2
....a
n
;b
1
b
2
....b
n
时取等号。
a
12
b
12
c
12
 
a
10

b
10

c
10
,a ,b,c

R


例5、证明
bccaab












例6、有10个人各拿一只水桶到水龙头前打水，他们所花的时间分别是1分钟，2分钟，< br>3分钟，…..，10分钟，因为只有一个水龙头，所以他们得排队打水。问：怎样适当安排
他们 的打水顺序，才能使这个排队等候打水的时间总和最小？最小多少？














3

例7、设
a,b,c,d
都是正实数，证明不等式：
abcd2


b

2c

3dc

2d

3ad

2a

3ba

2b

3c3





















例8、△ABC三内角度数分别为A,B,C所 对边长分别为a,b,c，证明：
P












4
aA

bB

cC



a

b

c3

5