广东松山学院-大学生安全教育主题班会

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能灵 活、熟练运
用正弦、余弦定理解三角形．
3．能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题.

知识点一 正弦定理及其推论
设△ABC的外接圆半径为R，则
abc
(1)＝＝＝2R.
sinAsinBsinC
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin _C.
abc
(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
2R2R2R
(4)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin_A>sin_B.
知识点二 余弦定理及其推论
1．a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos_A，b
2
＝c
2
＋a
2
－2 cacos_B，c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos_C.
b
2
＋c
2
－a
2
c
2
＋a2
－b
2
a
2
＋b
2
－c
2
2．cosA＝；cosB＝；cosC＝.
2bc2ca2ab
3．在△ABC中，c2
＝a
2
＋b
2
⇔C为直角；c
2
>a
2
＋b
2
⇔C为钝角；c
2
2
＋b
2
⇔C为锐角．
知识点三 三角形面积公式
111
1．S＝ah
a
＝bh
b
＝ch
c
；
222
111
2．S＝absinC＝bcsinA＝casinB.
222

类型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 如图，在△ABC中 ，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD
的长度．

解 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，
BC
2
＋AC
2
－AB
2
3
由余弦定理，得cosC＝＝，
2
2BC×AC
1
∴sinC＝.
2
在△ADC中，由正弦定理，
得
ADAC
＝，
sinC
sin∠ADC
21
×＝2.
2
2
2
∴AD＝
反思与感悟 解三角形的一般方法：
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求
较短边 所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和 A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求
C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种 情况．
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
π
1
跟踪训练1 如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝.
37
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．

1
解 (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，
7
43
所以sin∠ADC＝.
7
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝
4311333
×－×＝.
727214

(2)在△ABD中，由正弦定理，得
33
8×
14
ABsin∠BAD
BD＝＝＝3.
sin∠ADB
43
7
在△ABC中，由余弦定理，得
AC
2
＝AB
2
＋BC
2
－2AB×BC×cosB
1
＝8
2
＋5
2
－2×8×5×＝49，
2
所以AC＝7.
类型二 三角变换与解三角形的综合问题
命题角度1 三角形形状的判断
例2 在△ABC中，若(a
2
＋b
2
)sin (A－B)＝(a
2
－b
2
)·
sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
解 ∵(a
2
＋b
2
)sin(A－B)＝(a
2
－b
2
)sin(A＋B)，
∴b
2
[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
＝a
2
[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2b
2
sinAcosB＝2a
2
cosAsinB，
即a
2
cosAsinB＝b
2
sinAcosB.
方法一 由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∴sin
2
AcosAsinB＝sin
2
BsinAcosB，
又sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
π
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
方法二 由正弦定理、余弦定理，得 < br>b
2
＋c
2
－a
2
2
a
2
＋c
2
－b
2
ab×＝ba×，
2bc2ac
2
∴a
2
(b
2
＋c
2
－a
2
)＝b
2
(a
2
＋c
2
－b
2
)，
∴(a< br>2
－b
2
)(a
2
＋b
2
－c
2< br>)＝0，
∴a
2
－b
2
＝0或a
2
＋b< br>2
－c
2
＝0.
即a＝b或a
2
＋b
2
＝c
2
.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
命题角度2 三角形边、角、面积的求解

例3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
解 (1)由正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
得2RsinA＝2RsinBcosC＋2RsinCsinB
即sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.
又A＝π－(B＋C)，
∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋sinCsinB，
即sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，
∴cosBsinC＝sinCsinB.
∵sinC≠0，
∴cosB＝sinB且B为三角形内角，
π
∴B＝.
4
12
(2)S
△
ABC
＝acsinB＝ac，
24
bsinA2
由正弦定理，a＝＝×sinA＝22sinA，
sinB
2
2
同理，c＝22sinC，
∴S
△
ABC
＝
2
×22sinA×22sinC
4
＝22sinAsinC
3π
＝22sinAsin(－A)
4
33
＝22sinA(sin
πcosA－cosπsinA)
44
＝2(sinAcosA＋sin
2
A)
＝sin2A＋1－cos2A
π
＝2sin(2A－)＋1
4
ππ3π
∴当2A－＝，即A＝时，
428
S
△
ABC
有最大值2＋1.
反思与感悟 该类问 题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，在通
过定理进行边角互化时，经常用到 三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．

π
B
跟踪训练2 在△ ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos
42
＝25
，求△ABC的面积S.
5
B3
解 因为cosB＝2cos
2
－1＝，
25
4
故B为锐角，所以sinB＝，
5
3π

所以sinA＝sin(π－B－C)＝sin


4
－B


3π3π
72
＝sincosB－cossinB＝.
4410
asinC10
由正弦定理，得c＝＝，
sinA7
11 1048
所以S
△
ABC
＝acsinB＝×2××＝.
22757
类型三 正弦、余弦定理在实际中的应用
例4 某气象仪器研究所按以下 方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、
B、C三地位于同一水平面上，在C处进行 该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100
2
米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声 音的时间比在B地晚秒．在A地测得该仪器弹至最
17
高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂 直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米秒)

解 由题意，设AC＝x，
2
则BC＝x－×340＝x－40.
17
在△ABC中，由余弦定理，得
BC
2
＝BA
2
＋AC
2
－2×BA×AC×co s∠BAC，
即(x－40)
2
＝10000＋x
2
－100x， 解得x＝420.
在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，
所以CH＝AC×tan∠CAH＝1403.
答 该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．
反思与感悟 应用解三角形知识解决实际问题的步骤：
(1)分析题意，准确理解题意；

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求问题 归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求
解；
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
跟踪训练3 甲 船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海
里的速度向正北方向行驶， 而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，
问经过多少小时后，甲、乙两船相距 最近？
解 设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时．

①当0≤t＜2时，如图(1)，
在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，
所以PQ＝AQ
2
＋AP
2
－2AQ×AP×cos120°
＝
1
－

20－10t
2
＋8t
2
－220－10t×8t×


2

＝84t2
－240t＋400＝221t
2
－60t＋100；
②当t＝2时，PQ＝8×2＝16；
③当t>2时，如图(2)，
在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，
∴PQ＝AQ
2
＋AP
2
－2AQ·APcos60°
＝221t
2
－60t＋100.
综合①②③知，PQ＝221t
2
－60t＋100(t≥0)．
3010
当且仅当t＝＝时，PQ最小．
217
10
答 甲、乙两船行驶小时后，相距最近．
7

1．在△ABC中，关于x的方程(1＋x
2
)sinA＋2xsinB＋(1－x
2
)sinC＝0有两个不等的实根 ，则A
为( )
A．锐角
C．钝角
B．直角
D．不存在

答案 A
解析 由方程可得(sinA－sinC)x
2
＋2xsinB＋sinA＋sinC＝0.
∵方程有两个不等的实根，
∴4sin
2
B－4(sin
2
A－sin
2
C)＞0.
abc
由正弦定理＝＝，
sinAs inBsinC
代入不等式中得b
2
－a
2
＋c
2
＞0，
再由余弦定理，有2bccosA＝b
2
＋c
2
－a
2
＞0.
∴0°2．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为( )
32
A.
2
3
C.
2
答案 B
解析 由余弦定理，得
AB
2
＋AC
2
－BC
2
32
＋4
2
－13
1
cosA＝＝＝，
2
2×AB×AC2×3×4
从而sinA＝
3
，
2
333
＝.
22
33
B.
2
D．33
则AC边上的高BD＝ABsinA＝3×
3．如图所示，在斜 度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为
15°，向山顶前进100米后到 达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求
此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值 ．

解 在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，
∠ACB＝45°－15°＝30°.
100BC
根据正弦定理，有＝，
sin30°sin15°
100sin15°
∴BC＝.
sin30°
100sin15°
又在△BCD中，∵CD＝50，BC＝，
sin30°

∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，
100sin15°
sin30
50
根据正弦定理，有＝.
sin45°
sin90°＋θ
解得cosθ＝3－1.
∴山对于地平面的倾斜角的余弦值为3－1.

1．在三角形中，大角对大边，大边 对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，
即在△ABC中，A>B等价于a>b等价于s inA>sinB.
2．对所给条件进行变形，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．正弦定理 是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系
就可以通过约分达到解决 问题的目的，在解题时要学会灵活运用．运用余弦定理时，要注意
整体思想的运用．
40分钟课时作业
一、选择题
1．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，A＝30°，则角C等于( )
A．30°
C．60°
答案 D
解析 由余弦定理可得a＝3，根据正弦定理有
ac
＝，
sinAsinC
故sinC＝
3
，故C＝60 °或120°.若C＝60°，
2
B．60°或120°
D．120°
则B＝90°＞C，而b故C＝120°.
2．已知a 、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为( )
A．60°
C．120°
答案 C
解析 ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a
2
＋b
2
－c
2
＝－ab，
B．90°
D．150°

a
2
＋b
2< br>－c
2
1
即＝－，
2ab2
1
∴cosC＝－，
2
∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
3．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则角A的对边长为( )
A．5B．6C．7D．8
答案 C
解析 ∵a＋b＋c＝20，
∴b＋c＝20－a，
即b
2
＋c
2
＋2bc＝400＋a
2
－40a，
∴b
2
＋c
2
－a
2
＝400－40a－2bc，
b
2
＋c
2
A＝
－a
2
又cos
1
2bc
＝
2
，
∴b
2
＋c
2
－a
2
＝bc.
又S
1
△
ABC
＝
2
bcsinA＝103，
∴bc＝40.
由①②③可知a＝7.
4．在△ABC中，B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积为(
A．23 B.3
C．23或43 D.3或23
答案 D
解析 方法一
如图，
AD＝ABsin B＝3<2，

故△ABC有两解：
S
1
△
ABC
＝
2
BC×AD＝3，
S
1
△
ABC
′
＝
2
BC′×AD＝23.
方法二 如图，
①
②
③
)

设BC＝x，
由余弦定理可得2
2
＝(23)
2
＋x2
－2x×23×cos30°，
解得x＝2或x＝4，
故△ABC有两解：
1
S
△
ABC
＝BC×AB×sinB
2
1
＝×23×2×sin30°＝3，
2
1
或S
△
ABC
＝×BC×AB×sinB
2
1
＝×23×4×sin30°
2
＝23.
5．如图 ，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )

A.3
C．63
答案 B
解析 连接BD，四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分面积的和，
由余弦定理，得BD＝23，
1
S
△
BCD
＝BC×CDsin120°＝3，
2
∠ABD＝120°－30°＝90°，
1
∴S
△
ABD
＝AB×BD＝43.
2
∴S
四边形
ABCD
＝3＋43＝53.
6．已知△A BC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，
c－ a)，若p∥q，则角C的大小为( )
π
A.
6
π
B.
3
B．53
D．73

π
C.
2
答案 B
2π
D.
3
解析 p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
a
2
＋b
2
－c
2
1
即c－a－b＋ab＝0⇒＝＝cosC，
2ab2
222
又∵C∈(0，π)，
π
∴C＝.
3< br>7.如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M
处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为( )

176
A.海里时
2
172
C.海里时
2
答案 A
解析 由题意可知PM＝68，∠MPN＝120°，
∠PNM＝45°，
∴由正弦定理可得
3
68×
2
PM·sin∠MPN
MN＝＝＝346，
s in∠PNM
2
2
346176
∴这艘船航行的速度为＝(海里时)，
42
故选A.
二、填空题
8．在等腰三角形ABC中，已知sinA∶s inB＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是________．
答案 50
解析 由正弦定理，得BC∶AC＝sinA∶sinB＝1∶2，
又∵底边BC＝10，∴AC＝20，
∴AB＝AC＝20，
∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.
9．某人在点C测得塔顶A在南偏西80°， 仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到
D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为__ __________米．
B．346海里时
D．342海里时

答案 100
解析 如图，

设塔高x米，
则BC＝x，BD＝3x(x>0)，
∵CD＝100，∠BCD＝80°＋40°＝120°，
BD
2
＝BC< br>2
＋CD
2
－2×BC×CDcos∠BCD，
1
∴3x< br>2
＝x
2
＋100
2
－2×100×x×(－)，
2
∴2x
2
－100x－10000＝0，
∴x
2
－50x－5000＝0，
∴x＝100(负值舍去)．
10．海上一观测站A测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船D，在商船D的正东
方有一艘 海盗船B正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站107海里，
20分钟后测得海盗 船B距观测站20海里的C处，再经________分钟海盗船B到达商船D处．
答案
40

3
解析 如图，过A作AE⊥BD于点E，

由已知易知AB＝107，BC＝30，AC＝20，
20
2
＋30
2
－107
2
1
∴cos∠ACB＝＝，
2
2×20×30
∵0°＜∠ACB＜180°，
∴∠ACB＝60°，
∴AE＝103.
∵∠DAE＝60°，
∴DE＝103×3＝30.
∵∠CAE＝30°，
∴CE＝10，∴DC＝20，

2040
∴t＝×60＝.
903
三、解答题
1 1．某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方
向以10 海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方向追去，
问巡逻艇应该沿什 么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？
53
(参考数据：若sinθ＝，当θ是锐角时，其近似值为38°13′)
14
解 如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB＝10x，AB ＝14x，
AC＝9，

∠ACB＝75°＋45°＝120°，
∴(1 4x)
2
＝9
2
＋(10x)
2
－2×9×10xcos1 20°，
∴化简得32x
2
－30x－27＝0，
39
即x＝或x＝－(舍去)，
216
∴BC＝10x＝15，AB＝14x＝21，
BCsin120°15353
又∵sin∠BAC＝＝×＝，
AB21214∴∠BAC＝38°13′或∠BAC＝141°47′(钝角不合题意，舍去)，
∴38°13′＋45°＝83°13′.
∴巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才能追赶上该走私船．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
3cos (B－C)－1＝6cosBcosC.
(1)求cosA；
(2)若a＝3，△ABC的面积为22，求b，c.
解 (1)∵3(cosBcosC＋sinBsinC)－1
＝6cosBcosC，
∴3cosBcosC－3sinBsinC＝－1，
1
∴3cos(B＋C)＝－1，∴cos(π－A)＝－，
3
1
∴cosA＝.
3

22
(2)由(1)得sinA＝，
3
1
由面积公式bcsinA＝22，得bc＝6，
2
根据余弦定理，得
b
2
＋c
2
－a
2
b
2
＋c
2
－9
1
cosA＝＝＝，
2bc123
则b
2
＋c
2
＝13， ②
①
①②两式联立可得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.
13．在△ABC中，已知sinB＝cosAsinC，AB·AC＝9，又△ABC的面积等于6.
(1)求C；
(2)求△ABC的三边之长．
解 (1)设三角形的三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，
∵sinB＝cosAsinC，
sinBb
∴cosA＝，由正弦定理，得cosA＝，
sinCc
b2
＋c
2
－a
2
又由余弦定理，得cosA＝，
2b c
222
b
b＋c－a
∴＝，即a
2
＋b
2
＝c
2
，
c2bc
→→
∴△ABC为直角三角形且C＝90°.
→→
→→

AC＝|AB||AC|cosA＝9， ①

AB·
(2)

1
→→
S
△
ABC
＝| AB||AC|sinA＝6， ②

2



4a
②÷①得tanA＝＝，令a＝4k，b＝3k(k>0)，
3b
1
则S
△
ABC
＝ab＝6⇒k＝1，
2
∴三边长分别为a＝4，b＝3，c＝5.