半工半读学校-新浪考研

解三角
广州市第四中学 刘运科
形
一、选择题.本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
△ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
， 若
c
等于【 】
A．
2，b6，B120
，则
a
6
B．2 C．
3
D．
2

2．在
△ABC
中，角< br>A、B、C
的对边分别为
a、b、c
，已知
A

3
，a3，b1
，则
c
【 】
A． 1 B．2 C．
31
D．
3

3. 已知
△ABC
中，
a
A．
135

2
，
b3
，
B60
，那么角
A
等于【 】
C．
45
D．
30
B．
90

4. 在三角形
ABC
中，
AB5，AC3，BC7
，则BAC
的大小为【 】
2

5

3


B． C． D．
364
3
5．
△ABC
的内角
A、B、 C
的对边分别为
a、b、c
，若
a、b、c
成等比数列，且
c2a
，
则
cosB
【 】
A．
22
13
A．
4
B．
4
C．
4
D．
3

6. △ABC中，已知
tanA
A．
135

11
，
tanB
，则角C等于【 】
32
C．
45
D．
30
B．
120

7. 在
ABC
中，AB=3，AC=2，BC=
10
，则
ABAC
【 】
32
23
B．

C． D．
32
23
8. 若
△ABC
的内角
A
则【 】
、B、C
的对边分别为
a、b、c
，且
acosAbcosB，< br>A．
△ABC
为等腰三角形 B．
△ABC
为直角三角形
C．
△ABC
为等腰直角三角形 D．
△ABC
为等腰三角形或直角三角形
9. 若
tanAtanB>1
，则△
ABC
【 】
A．

A. 一定是锐角三角形
C. 一定是等腰三角形


2




2


B. 可能是钝角三角形
D. 可能是直角三角形
10.
△ABC的面积为
Sa(bc)
，则
tan
A．
1

2
B．
1

3

A
＝【 】
2
1
C．
4
D．
1

6

二、填空题：本大题共4小题．
11. 在△
ABC< br>中，三个角
A,B,C
的对边边长分别为
a3,b4,c6
,则
bccosAcacosBabcosC
的值为 .
112．在
△ABC
中，若
tanA
，
C150
，< br>BC1
，则
AB
．
3
13. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
a
、b、c ，若
3bccosAa cosC
，则
cosA
_________________。
14．< br>△ABC
的内角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
，根据下 列条件判断三角形形状：

三、解答题：本大题共6小题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15. 已知
△ABC
的周长为
⑴．求边
AB
的长；
21
，且
sinAsinB2sinC
．
1
sinC
，求角
C
的度数．
6
16．设
△ABC
的内角
A
，
，B，C
所对的边长分别为
a，b， c
，且
acosB3
bsinA4
．
⑴．求边长
a
；
⑵．若
△ABC
的面积
S10
，求
△ABC
的周长
l
．
⑵．若
△ABC
的面积为
17. 已知
n

co sA，sinA

，且
A，B，C
是三角形
ABC
三内角 ，向量
m1，3，

mn1

A
；
1sin2B
⑵．若
3
，求
tanB

22
cosBsinB
⑴．求角
18. 在
△ABC
中， 内角
A，B，C
对边的边长分别是
a，b，c
，已知
c2
，
C
⑴．若
△ABC
的面积等于
3
，求
a，b；
⑵．若
sinCsin(BA)2sin2A
，证明：
△AB C
是直角三角形．
19．设锐角三角形
ABC
的内角
A，B，C< br>的对边分别为
a，b，c
，
a2bsinA
．
⑴．求
B
的大小；
⑵．求
cosAsinC
的取值范围．
20. 如图，甲船以每小时302
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当
甲船位于
A< br>1
处时，乙船位于甲船的北偏西
105
方向的
B
1
处 ，此时两船相距
20
海里，当甲船航
行
20
分钟到达
A2
处时，乙船航行到甲船的北偏西
120
方向的
B
2
处 ，此时两船相距
102
海
里，问乙船每小时航行多少海里？
参考答案
题号
答案
1
D
2
B
3
C

4
A
5
B
6
A
7
D
8
D
9
A
10
C


．
3
11. 【答案：
61
】
2
12. 【答案：
10
】
2

13. 【答案：
3
】
3
14. 【答案：⑴等边三角形；⑵等腰三角形或直角三角形】
15. 【解】⑴．由题意，及正弦定理，得
ABBCAC21
，
BCAC2AB
，
两式相减，得
AB1
．
⑵．由
△ABC
的面积
111
BCACsinCsinC
，得
BCAC
，
263
AC
2
BC
2
AB
2
由余弦定理，得
cosC

2ACBC

(ACBC)
2
2ACBCAB
2
1

，

2ACBC2
所以
C60
．
16．【解】⑴．
acosB3
，
bsinA4

两式相除，有：
又
acosB3
，故
cosB0
，
则
cosB
34
，
sinB
，
55
1
acsinB
，得到
c5
．
2
则
a5
．
⑵．由
S
a
2
c
2
b
2
由
cosB
，解得
b25
，
2ac
故
l1025
．
17. 【解】⑴. ∵
mn1
∴
sinA

1
，

 1，3



cosA，
3sinAcosA1
，

31

，



1
，
2

sinAcosA1
sinA


< br>
6
22

2

∵
0
66
12sinBcosB
22
sinBsinBcosB2cosB0
, ⑵. 由题知，整理得
3
22
cosBsinB
A
< br>，

A


5


，∴
A
，
A
.
663
6
cosB0
，∴
tan
2
BtanB20
，∴
tanB2或
tanB1
，
而
tanB1
使
cos2
Bsin
2
B0
，舍去，∴
tanB2
.
22
18. 【解】⑴．由余弦定理及已知条件得，
abab4
， < /p>

又因为
△ABC
的面积等于
3
，所以
1
absinC3
，得
ab4
．
2

a
2< br>b
2
ab4，
联立方程组

解得
a2
，
b2
．

ab4，
⑵．由题意得
sin(BA )sin(BA)4sinAcosA
，
即
sinBcosA2sinAcosA
，

当
co sA0
时，
A
，
△ABC
是直角三角形；
2
当
cosA0
时，得
sinB2sinA2sin(BC)2sinBco sC2cosBsinC
，

C
代入上式得
sinBsi nB3cosB
，故
cosB0，B
，
3
2
△ABC
是直角三角形.
19．【解】⑴．由
a2 bsinA
，根据正弦定理得
sinA2sinBsinA
，所以
sinB 
1
，
2
π
．
6


⑵．
cosAsinCcosAsin

A






3sin

A

．
3

由
△ABC
为锐角三角形知，

< br>0A，0C

AB
，解得
A

32
22
2
，
A
336
1



33

3

所以
sin

A


，
3sin

A
3
，
2

3

223

2
由
△ABC
为锐角三角形得
B
故
cosAsin C
的取值范围为


33

．


2
，

2

20. 【解】如图， 连结
A
1
B
1
，由已知
A
2
B
2
102
，
A
1
A
2
302
20102
，
60
A
1
A
2
A
2
B
1
，
又
∠A
1
A
2
B
2
18012060
，
△A
1
A
2
B< br>2
是等边三角形，
A
1
B
2
A
1A
2
102
，
由已知，
A
1
B
1
20
，
∠B
1
A
1
B
2
10 56045
，
在
△A
1
B
2
B
1
中，由余弦定理，
200
．
B
1
B
2
102
．
故乙船的速度的大小为
102
60302
（海里小时）．
20
21. 【选做题】【解法一】如图，在等腰△ABC中，
BAC36
，
ABCACB72
，

ABC
的角平分线交AC 于D，设BC＝1，AB＝x，利用此图来求
cos36
.
易知△ABC与△BCD 相似，故
51
ABBC
x1
，即

，解得
x< br>.

2
1x1
BCCD
x
2
x
2
1
2
51

△ABC中，由余弦定理，
cos36 
；
2
2x4
【解法二（用二倍角公式构造方程，解方程）】
c os1442cos7212

2cos361

22
2< br>1
，即
cos362

2cos361

 1
，
2
2
设
cos36x
，则
x2

2x
2
1

1
，可化为
8x
4< br>8x
2
x10
，
2

x1
< br>
8x
3
8x
2
1

0
，因
x10
，故
8x
3
8x
2
10
，

2x1


4x
2
2x1

0
，因
x
x
1
2
，故
4x2x 10
，
2
515151
0
舍去），故
cos 36
（
x
.
444