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2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
一、选择题： 本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的．
1、已知集合A={1,2,3}，B={x|x
2
<9}，则A∩B=()
A．{–2,–1,0,1,2,3} B．{–2,–1,0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2}
2、设复数z满足z+i+3–i，则=()
A．–1+2iB．1–2iC．3+2iD．3–2i
3、函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如下左1图，则()
A．y=2sin(2x –)B．y=2sin(2x–)C．y=2sin(2x+)D．y=2sin(2x+)
4、体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()
A．12πB．πC．8πD．4π
5、设F为抛物线C：y
2
=4x的焦 点，曲线y=(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k=()
A．B．1C．D．2
6 、圆x
2
+y
2
?2x?8y+13=0的圆心到直线ax+y?1=0的距 离为1，则a=()
A．?B．?C．D．2
7、如上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()
A．20πB．24πC．28πD．32π
8、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替 出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路
口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概 率为()
A．B．C．D．
9、中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法 的程序框图．执行该程序框图，若
输入的a为2，2，5，则输出的s=()
A．7B．12C．17D．34
10、下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10< br>lgx
的定义域和值域相同的是()
A．y=xB．y=lgxC．y=2
x
D．y=
11、函数f(x)=cos2x+6cos(–x)的最大值为()
A．4B．5 C．6D．7
12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2–x)，若函数y=|x2
–2x–3|与y=f(x)图像的交点为(x
1
,y
1
)， (x
2
,y
2
)，…，
(x
m
,y
m)，则

x
i
=
()
i1
m
A．0B．mC．2mD．4m
二、填空题：共4小题，每小题5分．
13、已知向量a=(m,4)，b=(3,–2)，且a∥b，则m=___________．
14、若x，y满足约束条件，则z=x–2y的最小值为__________．
15、△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=_______ _____．
16、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片 ，甲看了乙的
卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片 上相同的数
字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______ __________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、 (本小题满分12分)等差数列{a
n
}中，a
3
+a
4
= 4，a
5
+a
7
=6．
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)设b
n
=[an
]，求数列{b
n
}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[ 0.9]=0,[2.6]=2．
18、(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)， 继续购买该险种的投保人称为续保人，
续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
0 1 2 3 4 ≥5
上年度出险次数
页脚内容

.
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
保费
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
1 2 3 4 ≥5
一年内出险次
0
数
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
概率
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
(2 )记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计
值；
(3)求续保人本年度的平均保费估计值．
19、(本小题满分12分)如图，菱形 ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD
上，AE=CF，EF交BD于点H ，将△DEF沿EF折到△D'EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD'；
(2)若AB=5，AC=6，AE=，OD'=2求五棱锥D'–ABCEF体积．
20、(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx–a(x–1)．
(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．
21、(本小题满分12 分)已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，
点N在E上，M A⊥NA．
(1)当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积．
(2)当2|AM|=|AN|时，证明：请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22、(本小 题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，
DC 上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
(1)证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
23
、
(
本小题满分
10
分
)[
选修
4–4
：坐标系与参数 方程
]
在直角坐标系
xOy
中，圆
C
的方程为
(x +6)
2
+y
2
=25
．

(1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)< br>直线
l
的参数方程是
(t
为参数
)
，
l与
C
交于
A
，
B
两点，
|AB|=
， 求
l
的斜率．

24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已 知函数f(x)=|x–|+|x+|，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案
一、选择题
D、C、A、A、DA、C、B、C、DB、B
二、填空题
13、–6；
14、–5；
15、；
16、1和3．
三、解答题
17、答案：(1)a
n
=；(2)24．
分析：(1)根据等差数列的性 质求a
1
，d，从而求得a
n
；(2)根据已知条件求b
n
，再求数列{b
n
}的前10
项和．
解析：(1)设数列{a
n< br>}的公差为d，由题意有2a
1
–5d=4，a
1
–5d=3，解得a
1
=1，d=，所以{a
n
}的通项公
式为a
n
= ．
(2)由(1)知b
n
=[]，
当n=1,2,3时，1≤<2，b< br>n
=1；当n=4,5时，2≤<3，b
n
=2；
当n=6,7,8 时，3≤<4，b
n
=3；当n=9,10时，4≤<5，b
n
=4．
所以数列{b
n
}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24．
'.

.
考点：等差数列的性质，数列的求和．
18、答 案：(1)由求P(A)的估计值；(2)由求P(B)的估计值；(3)根据平均值得计算公式求解．
解析：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内险次数小于2的频率
为=0.55，故P(A)的估计值为0.55．
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且 小于4．由是给数据知，一年内出险次数大于1且
小于4的频率为=0.3，故P(B)的估计值为0. 3．
(3)由题所求分布列为：
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
保费
0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
频率
调查200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.1 5+1.5a×0.15+1.75a×0.30+2a×0.10=1.1925a，
因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a．
考点：样本的频率、平均值的计算．
19、答案：(1)详见解析；(2)．
分析：(1)证AC∥EF．再证AC∥HD'；( 2)证明OD'⊥OH，再证OD'⊥平面ABC．最后求五棱锥
D'–ABCEF体积．
解析：(1)由已知得，AC⊥BD，AD=CD．
又由AE=CF得=，故AC∥EF．由此得EF⊥HD，EF⊥HD'，所以AC∥HD'．
(2)由EF∥AC得==．由AB=5，AC=6得DO=BO==4．所以OH=1，D'H=DH=3．
于是OD'
2
+OH
2
=(2)
2
+1
2
=9=D'H
2
，故OD'⊥OH．
由(1)知AC⊥HD'，又AC⊥B D，BD∩HD'=H，所以AC⊥平面BHD'，于是AC⊥OD'．
又由OD'⊥OH，AC∩OH=O，所以，OD'⊥平面ABC．又由=得EF=．
五边形ABCFE的面积S=×6×8–××3=．
所以五棱锥D'–ABCEF体积V=××2=．
考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积．
20、答案：(1)2x+y–2=0；(2)(–∞,2]．
分析：(1)先求定义域，再 求f'(x)，f'(1)，f(1)，由直线方程得点斜式可求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切< br>线方程为2x+y–2=0；(2)构造新函数g(x)=lnx–，对实数a分类讨论，用导数法求解．
解析：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)．当a=4时，f(x)=(x+1)lnx–4(x– 1)，f'(x)=lnx+–3，f'(1)=–2，f(1)=0．曲
线y=f(x)在(1,f( 1))处的切线方程为2x+y–2=0．
(2)当x∈(1,+∞)时，f(x)>0等价于lnx–>0．
令g(x)=lnx–，则g'(x)=–=，g(1)=0，
①当a≤2，x∈(1,+∞ )时，x
2
+2(1–a)x+1≥x
2
–2x+1>0，故g'(x)>0 ，g(x)在x∈(1,+∞)上单调递增，因此
g(x)>0；
②当a>2时，令g'(x )=0得x
1
=a–1–，x
2
=a–1+，
由x
2>1和x
1
x
2
=1得x
1
<1，故当x∈(1,x< br>2
)时，g'(x)<0，g(x)在x∈(1,x
2
)单调递减，因此g(x )<0．
综上，a的取值范围是(–∞,2]．
考点：导数的几何意义，函数的单调性．
21、答案：(1)；(2)(,2)．
分析：(1)先求直线AM的方程，再求点M的纵坐 标，最后求△AMN的面积；(2)设M(x
1
,y
1
)，将直
线A M的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示x1，从而表示|AM|，同理用k表示|AN|，
再由2|AM|=|AN|，求k．
解析：(1)设M(x
1
,y
1
)，则由题意知y
1
>0．
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为，又A (–2,0)，因此直线AM的方程为y=x+2．
将x=y–2代入+=1得7y
2
–12y=0，解得y=0或y=，所以y
1
=．
因此△AMN的面积S
△AMN
=2×××=．
(2)将直线AM的方程y =k(x+2)(k>0)代入+=1得(3+4k
2
)x
2
+16k
2
x+16k
2
–12=0．
由x
1
·(–2)=得x
1
=，故|AM|=|x
1
+2|=．
'.

.
由题设，直线AN的方程为y=–(x+2)，故同理可得|AN|=．
由2|AM|=|AN|得=，即4t
3
–6t
2
+3t–8=0．
设f(t)=4t
3
–6t
2
+3t–8，则k是f(t)的零点， f'(t)=12t
2
–12t+3=3(2t–1)
2
≥0，
所以f(t)在(0,+∞)单调递增，又f()=15–26<0，f(2)=6>0，
因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点，且零点k在(,2)内，所以考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22、答案：(1)详见解析；(2)．
分析：(1)证△DGF∽△CBF，再证B，C， G，F四点共圆；(2)证明Rt△BCG∽Rt△BFG．四边形
BCGF的面积S是△GCB面积S
△GCB
的2倍．
解析：(1)因为DF⊥EC，所以△DEF∽△CDF，则有∠GDF+∠DEF=∠FCB，==，
所以△DGF∽△CBF．由此可得∠DGF=∠CBF，
由此∠CGF+∠CBF=180°，所以B，C，G，F四点共圆.
(2)由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB，连结GB，
由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF=GC，故Rt△BCG∽Rt△BFG．
因此 四边形BCGF的面积S是△GCB面积S
△GCB
的2倍，即S=2S
△GCB=2×××1=．
考点：三角形相似、全等，四点共圆
23、答案：(1)ρ
2
+12ρcosθ+11=0；(2)±．
分析： (1)利用ρ
2
=x
2
+y
2
，x=ρcosθ可得C的极 坐标方程；(2)先将直线l的参数方程化为普通方程，
再利用弦长公式可得l的斜率．
解析 ：(1)由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C的极坐标方程ρ
2
+12ρcosθ+11 =0．
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)．
由 A，B所对应的极径分别为ρ
1
，ρ
2
，将l的极坐标方程代入C的极坐标方 程得ρ
2
+12ρcosα+11=0．
于是ρ
1
+ρ
2
=–12cosα，ρ
1
ρ
2
=11，|AB|=|ρ
1< br>–ρ
2
|==，
由|AB|=得cos
2
α=，tanα=±，所以l的斜率为或–．
考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式．
24、答案：(1)M={x|–1分析：(1)先去掉绝对 值，再分x<–，–≤x≤和x>三种情况解不等式，即可得M；(2)采用平方作差法，
再进行因式分 解，进而可证当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．
解析：(1)f(x)=，当x≤–时，由f(x)<2得–2x<2，解得x>–1；
当– (2)由(1)知，当a，b∈M时，–12
–(1+ab)
2
=a
2
+b
2
–a
2
b
2
–1=(a
2
–1)(1–b
2
)<0，
∴|a+b|<|1+ab|．
考点：绝对值不等式，不等式的证明．
'.