重阳木-教师培训总结

高一数学正弦定理综合练习题
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
A.6 B.2 C.3 D．26
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43 C．46 D.
3
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43， b＝42，则角B为( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定
解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2， 则c＝( )
11
A．1 B. C．2 D.
24
cos Ab
6．在△ABC中，若＝，则△ABC是( )
cos Ba
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
33333
A. B. C.或3 D.或
24242
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝ 6，B＝120°，则a等于( )
A.6 B．2 C.3 D.2
π
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3， C＝，则A＝________.
3
43
10．在△ABC中，已知a＝，b＝4， A＝30°，则sinB＝________.
3
11．在△ABC中，已知∠A＝30°， ∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

a＋b＋c
13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S
△
ABC< br>＝183，则＝________，c＝________.
sinA＋sinB＋sinC< br>a－2b＋c
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝_____ ___.
sin A－2sin B＋sin C
1
15．在△ABC中，已知a＝ 32，cosC＝，S
△ABC
＝43，则b＝________.
3
16 ．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
17．如图所示，货轮在海上以40 kmh的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方
向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，
航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

CC1A
18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23 ，sincos＝，sin Bsin C＝cos
2
，求A、
2242
B及b、c.


19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c， 且cos 2A
310
＝，sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．
510


20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．



1

高一数学余弦定理综合练习题
源网
1
1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于( )
3
A．6 B．26 C．36 D．46
2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( )
A.3 B.2 C.5 D．2
3．在△ABC中，a
2
＝b
2
＋c
2
＋3bc，则∠A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．150°
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a
2＋c
2
－b
2
)tanB＝3ac，则∠B的值为( )
πππ5ππ2π
A. B. C.或 D.或
636633
5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB ＋bcosA等于( )
A．a B．b C．c D．以上均不对
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
→→→→
7．已知锐角三角形ABC中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为3，则AB ·AC的值为( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
8．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )
A.3 B．23 C.3或23 D．2
9．已知△ABC的三个内角 满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
10． △ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．
1 1．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为__ ______．
12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.
1
13．在△ABC中，a＝32，cos C＝，S
△ABC
＝43，则b＝________.
3
→→
14 ．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB·BC的值为________． a
2
＋b
2
－c
2
15．已知△ABC的三边长分别是 a、b、c，且面积S＝，则角C＝________.
4
16．(2011年广州调研)三 角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
17．在△A BC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋ B)＝1，求AB的长．



1
18．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为sin C，
6
求角C的度数．




π
19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．
4





20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．





2

正弦定理综合练习题答案

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
A.6 B.2 C.3 D．26
abasinB
解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝6.
sinAsin BsinA
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43 C．46 D.
3
asinB
解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝46.
sinA
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42 ，则角B为( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
abbsinA2
解析：选C.由正弦定理＝得：sinB＝＝，又∵a >b，∴B<60°，∴B＝45°.
sinAsinBa2
4．在△ABC中，a∶b∶c ＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.
5． 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )
11
A．1 B. C．2 D.
24
bc2×sin 30°
解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.
sinBsinCsin45°
cos Ab
6．在△ABC中，若＝，则△ABC是( )
cos Ba
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
bsin Bcos Asin B
解析：选D.∵＝，∴＝，
asin Acos Bsin A
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
π
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.
2
7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
33
A. B.
24
333
C.或3 D.或
242
ABAC3
解析：选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC，
sinCsinB2
∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.
1
再由S
△ABC
＝
AB·ACsinA可求面积．
2< br>8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )
A.6 B．2
C.3 D.2
62
解析：选D.由正弦定理得＝，
sin120°sinC
1
∴sinC＝.
2
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，
△ABC为等腰三角形，a＝c＝2.
π
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边 分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝，则A＝________.
3

3

ac
解析：由正弦定理得：＝，
sinAsinC
a·sinC1
所以sinA＝＝.
c2
ππ
又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝.
36
π
答案：
6
43
10．在△ABC中，已知a＝，b ＝4，A＝30°，则sinB＝________.
3
ab
解析：由正弦定理得＝
sinAsinB
1
4×
2
bsinA3
⇒sinB＝＝＝.
a
43
2
3
3
答案：
2
1 1．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，
ab12×sin30°
由＝得，a＝＝43，
sinAsinBsin120°
∴a＋c＝83.
答案：83
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，
代入式子a＝2bcosC，得
2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，
所以sinA＝2sinB·cosC，
即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，
化简，整理，得sin(B－C)＝0.
∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，
∴－180°＜B－C＜180°，
∴B－C＝0°，B＝C.
答案：等腰三角形

a＋b＋c
13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S
△ ABC
＝183，则
＝________，c＝________.
sinA＋si nB＋sinC
a＋b＋c
a6311
解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S
△ABC
＝
bcsinA，∴×12×sin60°×c＝
22
sinA＋s inB＋sinC
sinAsin60°
183，
∴c＝6.
答案：12 6
a－2b＋c
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝__ ______.
sin A－2sin B＋sin C
解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
a1
∴2R＝＝＝2，
sinAsin30°
又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
a－2b＋c2Rsin A－2sinB＋sin C
∴＝＝2R＝2.
sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C
答案：2
1
15．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝，S< br>△ABC
＝43，则b＝________.
3

4

221
解析：依题意，sinC＝，S
△ABC
＝
absinC＝ 43，
32
解得b＝23.
答案：23
16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
1
解析：∵bsinC＝43×＝23且c＝2，
2
∴c答案：0

17．如图所示，货轮在海上以40 kmh的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的 水平转角)
为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小 时后船到达C点，
观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
1
解：在△ABC中，BC＝40×＝20，
2
∠ABC＝140°－110°＝30°，
∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，
所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，
由正弦定理得
BC·sin∠ABC
AC＝
sinA
20sin30°
＝＝102(km)．
sin45°
即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102 km.

CC 1A
18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sincos＝，si n Bsin C＝cos
2
，求A、
2242
B及b、c.
CC11
解：由sincos＝，得sinC＝，
2242
π5π
又C∈(0，π)，所以C＝或C＝.
66
A
由sin Bsin C＝cos
2
，得
2
1
sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]，
2
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，
即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得
cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
π
5π
即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，
66
2π
A＝π－(B＋C)＝.
3
abc
由正弦定理＝＝，得
sin Asin Bsin C
1
2
sin B
b＝c＝a＝23×＝2.
sin A
3
2
2π
π
故A＝，B＝，b＝c＝2.
36
19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且 cos 2A
310
＝，sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．
510

5

解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝
10
，
10
310
∴cos B＝1－sin
2
B＝.
10
3525
又cos 2A＝1－2sin
2
A＝，∴sinA＝，cos A＝，
555
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
253105102
＝×－×＝.
5105102
π
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝.
4
3π2
(2)由(1)知，C＝，∴sin C＝.
42
abc
由正弦定理：＝＝得
sin Asin Bsin C
5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.
∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.
∴a＝2，c＝5.
20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．
11
解：由S＝absin C得，153＝×603×sin C，
22
1
∴sin C＝，∴∠C＝30°或150°.
2
又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.
当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.
ab
又∵ab＝603，＝，∴b＝215.
sin Asin B
当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．
故边b的长为215.


















6

余弦定理
综合
练习题答案
源网
1．在△ABC中 ，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝
1
3
，那么AC等于( )
A．6 B．26
C．36 D．46
解析：选A.由余弦定理，得
AC＝AB
2
＋BC
2
－2AB·BCcosB
＝ 4
2
＋6
2
－2×4×6×
1
3
＝6.
2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( )
A.3 B.2
C.5 D．2
解析：选B.由余弦定理，得c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC
＝2
2
＋(3－1)
2
－2×2×(3－1)cos30°
＝2，
∴c＝2.
3．在△ABC中，a
2
＝b
2＋c
2
＋3bc，则∠A等于( )
A．60° B．45°
C．120° D．150°
解析：选∠A＝
b
2
＋c
2
－a
2
－3bc
2bc
＝
2bc
＝－
3
2
，
∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.
4．在△ABC中 ，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a
2
＋c
2
－b
2
)tanB＝3ac，则∠B的值为(
A.
π
6
B.
π
3

C.
π5ππ2π
6
或
6
D.
3
或
3

解析：选D.由(a
2
＋c
2
－b
2
)tanB＝3ac，联想到余弦定理，代入得
cosB＝
a
2
＋c
2
－b
2
313
2ac
＝2
·
tanB
＝
2
·
cosB
sinB
.
显然∠B≠
π
3
2
，∴sinB＝
2
.∴∠ B＝
π2π
3
或
3
.
5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于( )
A．a B．b
C．c D．以上均不对
a
2
＋c2
－b
2
b
2
＋c
2
－a
2
C.a·
2ac
＋b·
2c
2
解析：选
2bc
＝< br>2c
＝c.
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a
2
＋b
2
＝c
2.
设增加的长度为m，
则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，
又(a＋m)
2
＋(b＋m)
2
＝a
2
＋b
2
＋2(a ＋b)m＋2m
2
＞c
2
＋2cm＋m
2
＝(c＋m)2
，
∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．
7．已知锐角三角形 ABC中，|AB
→
|＝4，|AC
→
|＝1，△ABC的面积为3，则AB
→
·AC
→
的值为( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选A.S
△ABC
＝3＝
1
→→
2
|AB|·|AC|·sinA
7
)

1
＝×4×1×sinA，
2
3
∴sinA＝，又∵△ABC为锐角三角形，
2
1
∴cosA＝，
2
1
→→
∴AB·AC＝4×1×＝2.
2
8．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )
A.3 B．23
C.3或23 D．2
解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB，即3＝a
2
＋ 9－33a，
∴a
2
－33a＋6＝0，解得a＝3或23.
9．已知△ ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
π
解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝.
3
在△ABD中，
AD＝AB
2
＋BD
2
－2AB·BDcosB
1
＝ 1＋4－2×1×2×＝3.
2
答案：3
10．△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．
解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，
∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10.
设a＝(3－1)k，b＝(3＋1)k，c＝10k(k＞0)，
∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得
a
2
＋b
2
－c
2
1
cosC＝＝－，
2ab2
又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
11．已知a、b、c是△ ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．
13
解析：S＝absinC，sinC＝，∴C＝60°或120°.
22
1
∴cosC＝±，又∵c
2
＝a
2
＋b
2
－2 abcosC，
2
∴c
2
＝21或61，∴c＝21或61.
答案：21或61
12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.
解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，
a
2
＋c
2－b
2
2k
2
＋4k
2
－3k
2
11
cos B＝＝＝，
2ac2×2k×4k16
71
同理可得：cos A＝，cos C＝－，
84
∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)．
答案：14∶11∶(－4)
1
13．在△ABC中，a＝32，cos C＝，S
△ABC
＝43，则b＝________.
3
122
解析：∵cos C＝，∴sin C＝.
33
1
又S
△ABC
＝
absinC＝43，
2
122
即·b·32·＝43，
23

8

∴b＝23.
答案：23

→→
14．已知△A BC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB·BC的值为________．
AB< br>2
＋BC
2
－AC
2
解析：在△ABC中，cosB＝
2AB·BC
49＋25－36
＝
2×7×5
19
＝，
35
→→→→
∴AB·BC＝|AB|·|BC
|·cos(π－B)
19
＝7×5×(－)
35
＝－19.
答案：－19
a
2
＋b
2
－c
2
15．已知△ABC的三边长分别是a、 b、c，且面积S＝，则角C＝________.
4
a
2
＋b
2
－c
2
a
2
＋b
2
－c
2
ab1
解析：absinC＝S＝＝·
242ab2
1
＝abcosC，∴sin C＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.
2
答案：45°

16 ．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_______ _．
解析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，
22
－

k＋1
2
＜0

k＋k－1
则

⇒2＜ k＜4，

k＋k－1＞k＋1

∴k＝3，故三边长分别为2,3,4，
3
2
＋4
2
－2
2
7
∴最小角的余弦值为 ＝.
2×3×48
7
答案：
8
17．在△ABC中，BC＝a， AC＝b，a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的 长．
解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，
11
∴cos(π－C)＝，即cosC＝－.
22
又∵a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两根，
∴a＋b＝23，ab＝2.
∴AB
2
＝AC
2
＋BC< br>2
－2AC·BC·cosC
1
＝a
2
＋b
2
－2ab(－)
2
＝a
2
＋b
2
＋ab＝(a＋b)
2
－ab
＝(23)
2
－2＝10，
∴AB＝10.
18．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.
(1)求边AB的长；
1
(2)若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．
6
解：(1)由题意及正弦定理得
AB＋BC＋AC＝2＋1，BC＋AC＝2AB，
两式相减，得AB＝1.


9

111
(2)由△ABC的面积BC·AC·sin C＝sin C，得BC·AC＝，
263
AC
2
＋BC
2
－AB
2
由余弦定理得cos C＝
2AC·BC
AC＋BC
2
－2AC·BC－AB
2
1
＝＝，
2AC·BC2
所以C＝60°.
19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.
(1)求AB的值；
π
(2)求sin(2A－)的值．
4
ABBC
解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
sin Csin A
sinC
得AB＝BC＝2BC＝25.
sinA
(2)在△ABC中，根据余弦定理，得
AB
2
＋AC
2
－BC
2
25
cos A＝＝，
2AB·AC5
5
于是sin A＝1－cos
2
A＝.
5
4
从而sin 2A＝2sin Acos A＝，
5
3
cos 2A＝cos
2
A－sin
2
A＝.
5
πππ
2
所以sin(2A－)＝sin 2Acos－cos 2Asin＝.
44410

20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．
sin Cc
解：由正弦定理，得＝.
sin Bb
sinC c
由2cos Asin B＝sin C，有cosA＝＝.
2sin B2b
又根据余弦定理，得
b
2
＋c
2
－a
2
c
b
2
＋c
2
－ a
2
cos A＝，所以＝，
2bc2b2bc
即c
2
＝ b
2
＋c
2
－a
2
，所以a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)
2
－c< br>2
＝3ab，所以4b
2
－c
2
＝3b
2
，
所以b＝c，所以a＝b＝c，
因此△ABC为等边三角形．


10