金钱草的功效-小学生养成教育总结

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全国高中数学联赛一试常用解题方法
八、基本不等式法
方法介绍
基本不等式法是指利用基本不等式求解数学问题的方法 .中学数学竞赛中常见的基本不等式
有：(1)平均值不等式；
(2)柯西不等式；
(3)绝对值不等式；
(4)函数的单调性的应用.
例题精讲
y
2
x
2
1
的任意一点，
F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点，例1设
P
是椭圆试求
|PF
1
||P F
2
|
的
259
取值范围.
注：设
|PF
1
|m,|PF
2
|n
，则
mn10
，由焦半径 公式得
1m,n9
，
所以
|PF
1
||PF
2
|mnm(10m)25
，当
mn5
时等号成立.
例2数列
{a
n
}
定义如下：
a
1
2,an1
4
a
n
1
1
对任意
n1
， 均有
a
n
2
.
,n1
.求证：
5
5a
n
3
a
n
111
.
4
4< br>
3
55a
n
5
515
注：由条件可知对任意n1,a
n
0
，
a
n1
另一方面，当
n 2
时，
a
2

17
2
.设
nk时，有
a
k
2
.若
1a
k
2
， 则
10
3
3
a
k
a
k
111
1< br>181
a
k1

2
.
2
；若
a
k
1
，则
a
k1

1
515a
k
5
5
515a
k
551
5
5
所以总有
a
k1
2
.下略.
3
例3已知
x5
，求证：
2x12x3153x219
.
2
22
a
1
2
a
2
a
15
（平方平均值），可得
15
x12x3153x
843
x 12x3153x
4169

4315
左边
8
44315
aa
2
a
15
注：利用公式
1

15
15
19
219
=右边.
415< br>22
a
1
a
2
a
3
a
1
2
a
2
a
3
另法1：利用公式，可得

3 3
(x1)(2x3)(153x)
x13963919
，下 左边
x13
3
略.
aa
2
另法2：利用公式1

2
2
a
1
2
a
2
，可 得
2
左边
2x1(2x3153x)2x12
(2x 3)(153x)

2

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x
(x1)(6)
x
2
214x219
.
2x164
22
另法3：利用柯西不等式，可得
左边
( 1111)(x1x12x3153x)
2
4(x14)219< br>.
22
例4设

是给定的正数，若对所有非负实数
x,y< br>均有
xy

xyc(xy)
，求实数
c
的最 大值.
注：(1)若

2
，则
xy

xy xy2xy(xy)
，当
x0
或
y0
时取等
号，此时
c
的最大值为1；
(2)若
0

2
，则
22222
x
2
y
2


xy(xy)
2
(2

)xy(xy)
2
(2

)(
当
x y
取等号，此时
c
的最大值为
xy
2
2
xy
2
)()
，
242
2

. 4
3
abc
222
例5设实数
a,b,c
满足< br>a2b3c
，求证：
39271
.
2
注：由柯西不等式得
222
(a2b3c)
2
( 123)(1a)
2
(2b)
2
(3c)
2
9
，
所以
a2b3c3
，故
3
a
9
b
27
c
3
3
3
(a2b3c)< br>3
3
3
3
1
.
例6设

,

为锐角，且
sin

sin

sin(


)
，求证：




注：由

,

为锐角得
cos(


< br>)0
，
又
sin(



)
sin

sin

1cos(



)cos(



)
（*）
22
22


2
.
1sin(
< br>

)

0
，故
0|


|,0cos(




)cos(



)
，
cos(



)< br>2
22
代入（*）式得，
0sin(



)1cos(



)sin(


< br>)
，
于是
cos(



)
所 以
sin(



)1
，只能是
sin(



)1,




另法：若




2
.

同理
sin

cos

0
，


,nsi

ns(i

)cos

0
，
2
22
2222
故
sin

sin

s in

cos

cos

sin

s in(



)
，与
sin

sin< br>
sin(



)

矛盾，所以




.
2

6

)2sin2

3a6
对于

[0,]
例 7已知不等式
2(2a3)cos(
4sin

cos

2
，则


恒成立，求
a
的取值范围.
注：设
sin

cos

x
，则
x[1,2],s in2

x1,cos(


式可化为
(2a3)x 
2


4
)
2
x
，从而原不等
2
66
2(x
2
1)3a6,2x
2
2ax 3x3a40
，也即为
xx
222
2
2x(xa) 3(xa)0
，故
(2x3)(xa)0
，故
2x30, xa0
，
xxx
x

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2
2
a0
对
x[1,2]
恒成立，从而只 要
a(x)
max
，
x
x
22
又容易证明< br>f(x)x
在
x[1,2]
上递减，所以
(x)
ma x
3,a3
.
xx
例8设
x,y,z0,xyz1
.
2711111
求证：

.
xy
2
y z
2
zx
2
83
1()1()1()
222
14411
注：因为，所以原不等式等价

xy
2
4( 1z)
2
(3z)(1z)3z1z
1()
2
2711 111111
()()
，由柯西不等式得 于
81x1y1z3 x3y3z3
1111119
()

(1x)(1y)( 1z)

9,
；
1x1y1z1x1y1z41111119
()

(3x)(3y)(3z)
9,
.
3x3y3z3x3y3z8
111111
1x,1y,1z
， 又
1x21y21z2
11115
3(xyz)
. 故
1x1y1z22
111111
(2x),(2y),(2z)< br>， 又
3x63y63z6
11117
1(xyz)
. 故
3x3y3z66
即
x
下略.
例9求函数
y
注：
y
x
2
10x50x
2
25
的值域.
5
.
2
(x5)
2
5
2
x
2
5
2
，设
OA(5x,5),OB(x,5),< br>
由
|OA||OB||OAOB|55
知，
y55
，等号当
OA,OB
同向取到，此时
x
说明：本题亦可构造距离求解.
例10已知
a,b,c
为实数，函数
f(x)axbxc
，当
0x1
时，
|f(x)|1
.
求
|a||b||c|
的最大值.
注：因
f(0)c,4f()a2b4c,f(1)abc
，
故
a2f(1)4f()2f(0),b4f()f(1)3f(0)
，
2
1
2
1
2
1
2
11
|a|| b||c|
|2f(1)4f()2f(0)||4f()f(1)3f(0)||f (0)|

22
11
|2f(1)|4|f()|2|f(0)|4 |f()||f(1)|3|f(0)||f(0)|

22
1
3|f(1)|8|f()|6|f(0)|17
.
2

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当
f(1) f(0)1,f()1
，或
f(1)f(0)1,f()1
，即
a8,b8,c1
或
11
22
a8,b8,c1
或
a8,b8,c1
时，上式中的两个

同时取到.
例 11将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上
各一个小球 ，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为
S
，求
S
达到最小值的方法
的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）.
注：九 个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆
周上的一个圆形排列 ，故共有
8!
种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有
8!
种.下求< br>2
使
S
达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣统两条路径，对其 中任一条路径，
设
x
1
,x
2
,

,x< br>k
是依次排列于这段弧上的小球号码，则
|1x
1
||x
1
x
2
||x
k
9||(1x
1
)(x
1
x
2
)(x
k
9)||19| 8
，取等
号当且仅当
1x
1
x
2
xk
9
，即每一段弧上的小球编号都是由1到9递增排列，
因此
S
min
2816
.
由上知，当每个弧段上的球号
{1,x
1
,x
2
,,x
k
,9}
确定之后，达到最小值的排列方 案便
惟一确定.
在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们对 应为两个子集，
01236
元素较少的一个子集共有
C
7
C
7
C
7
C
7
2
种情况，每种情况对应圆周上使S
达到
2
6
1

最小的惟一排法，即有利事件总数有< br>2
种，故所求概率为
P
.
8!
315
2
6
同步操练
1．设
f(x)|l gx|,a,b0
，且
ab
，则下列关系中不可能成立的是（ ）
ab2ab2abab
)f(ab)f()
B.
f()f()f(ab)

2abab2
2abab2abab
C.
f(
D.
f(ab)f()f(ab)f()f()

ab2ab2
ab2ab
注：利用函数
f(x)|lgx|
的图象及，选D.
a b)
2ab
2．使关于
x
的不等式
x36xk
有解的实数
k
的最大值是 .
9
2
注：由柯西不等式得< br>(x36x)(11)(x36x)6
，当
x
时取到等号 ，
2
因原不等式有解，故
k6
.
3．给定正数
p,q, a,b,c
，其中
pq
，若
p,a,q
是等比数列，
p, b,c,q
是等差数列，则一
2
元二次方程
bx2axc0
的 根的情况是 .
2pqp2q
2
,c
注：由题意得
pqa,2bpc,2cqb
，于是
b
，进而可得
33
2pqp2q
3
2
3
bcpqpq
2
pq a
2
，于是
bca
2
,0
，无实根.
33
x
2
y
2
xy
1
相交于
A,B
两点，该椭圆上点
P
使得
ABP
的面积4．直线
1
与椭圆
169
43
等于3，则这样的点
P
共有 个. A.
f(
注：设
P(4cos

,3sin

)(0



2
)
，即点
P
在第一象限 的椭圆上，考虑四边形
PAOB
的

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11

所
4(3sin

)3(4sin

)6(sin

cos

)62sin(

)
，
224

1
以
S
max
62(x)
，因
S
AOB
346
，所以
S< br>PAB
的最大值为
6(21)3
，
42
故点
P
不可能在直线
AB
的上方，显然在直线
AB
的下方有两个点
P
满足条件.
49

5．已知
x,y
都在区间
( 2,2)
内，且
xy1
，则函数
u
的最小值为 .
22
4x9y
35
12
注：消去
y
之后，可得
u1
，求得函数
u
的最小值为.
4
5
37 (9x
2

2
)
x
面积
SS
OAP< br>S
OBP

6．已知正实数
a,b
满足
ab 1
，则
M1a
2
12b
的整数部分是 .
注：因
0a1
，故
(1a
2
12b)
2
2(1a
2
12b)2(a
2
2a4)8
，又< br>1a
2
12b2
，所以
M
的整数部分是2.
7．用一张长16厘米、宽10厘米的矩形铁皮，四角各截去一个正方形，折成一个无盖铁盒，
由此铁 盒的最大容积是 .
注：设正方形边长为
x(0x5)
（单 位：厘米），则
V
于是
V
2
(8x)(102x)3x< br>，
3
2(8x)(102x)3x
3
[]144
，当
8x102x3x,x2
时等等号成
33
立，故最大容积为1 44立方厘米.
8．已知
f(x)
是定义在
R
上的函数，
f(1)1
，且对任意
xR
，都有
f(x5)f(x)5,f(x 1)f(x)1
，若
g(x)f(x)1x
，则
g(2012) 
.
注：由
g(x)f(x)1x
得
f(x) g(x)x1
，所以
g(x5)(x5)1g(x)(x1)5,g (x1)(x1)g(x)(x1)1,

即
g(x5)g(x),g(x1)g(x)
，
所以
g( x)g(x5)g(x4)g(x3)g(x2)g(x)
，所以
g(x 1)g(x)
，
即
g(x)
是以1为周期的周期函数，又
g(1 )1
，故
g(2012)1
.
9．函数
yx
4x
2
1x
4
x
2
1
的值域为 .
2
注：构造向量
p(x
1313
,),q(x
2
,)
，则
y|p||q|
，而
pq(1,0)
，
2222
又
p,q
不同向，所以
|y||p||q||pq |1,1y1
；
13
2
13
)(x
2
)
2
()
2
，故
y0
，于是值域为
[0,1 ]
.
2222
10．过定点
P(2,1)
作直线
l
分别交
x
轴正向和
y
轴正向于
A,B
，使
AO B
的面积最小，则
l
另一方面
(x
2
)
2
(
的方程为 .
212
xy
，等号 在
a4,b2
时取到，所以使
AOB
1
，则
1 2
abab
ab
面积最小的直线方程为
x2y40
. < br>注：设直线
11．在
ABC
中，
a,b,c
是角
A ,B,C
的对边，且满足
ab2c
，则角
C
的最大值
是 .
222
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
1


，当
abc
时，等 号成立，故
C
. 注：
cosC
2ab4ab2
3

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12．设
f(x)2
x1
2
x1
，若
0



2
时，
f(cos

2msin

)f(2m2)0
恒
2
2
成立，则 实数
m
的取值范围是 .
注：易知
f( x)
为奇函数，又
f(x)
在
R
上是增函数，故
cos
2msin

2m2
，令
tsin

，则
t
2
2mt(2m1)0(0t1)
恒成立，即
2m(1t)(t
2
1)
.
当
t1
时，
mR
；
22
当
0t 1
时，
2mh(t)2[(1t)]
，由函数
g(x)x在
(0,1]
上递减，知
1tx
1
当
t0
时
h(x)
max
1
，于是得
m
.
2
1
综上所述，
m
.
2
S
n
*
13．设
S
n
123n,nN
，求
f( n)
的最大值为 .
(n32)S
n1
Sn
n11
f(n)f(8)
. 注：
64
(n32 )S
n1
(n32)(n2)50
n34
n
x
2
y
2

1
有一个内接
PAB
，射线
OP
与
x
轴正向成角，直线
AP,BP
的14．设椭圆
26
3
斜率适合条件
k
AP
k
BP
0
.
(1)求证：过
A,B
的直线的斜率
k
是定值；
(2)求
PAB
面积的最大值.
22
注：(1)直线
O P:y3x
，代入
3xy6
，得
P(1,3)
，设直线
PA,PB
的方程分别
k
2
23k3k
2
23k 3
,x
B

为
y3k(x1),y3k(x1)，得
x
A

，
22
k3k3
k(23k 6)k(23k6)
,y
从而
y
A

，于是k
AB
3
为定值.
B
22
k3k3
4
2
22
2
(2)设直线
AB
方程为
y3xb< br>，故
6x23bx(b6)0
，
|AB|b16
，3
b
2
|b|
2
(12b
2
)3
，当
b
2
12b
2
，即而点
P
到直线
AB
的距离为
d
，于是
S
PAB

12
2
b6
时，取到最大值
3
.
2xt
2
1 5．已知

,

是方程
4x4tx10(tR)
的 两个不等实根，函数
f(x)
2
的定义
x1
域为
[
,

]
.
(1)求
g(t)maxf(x)minf(x)
；
(2)证明：对于
u
i
(0,
则

2
)(i1,2,3)
，若
sinu
1
sinu
2
sinu
3
1
，
1113
6
.
g(tanu
1
)g( tanu
2
)g(tanu
3
)4
22
注：(1)设

x
1
x
2


，则
4x
1
4tx
1
10,4x
2
4tx
2
1 0
，
因此
4(x
1
x
2
)4t(x
1
x
2
)20,2x
1
x
2
t(x
1
x
2
)
22
1
0
，
2

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1
0
，
2
(xx
1
)[t(x
1< br>x
2
)2x
1
x
2
2]
0
， 于是
f(x
2
)f(x
1
)
2
2
(x
2
1)(x
1
2
1)
故函数
f(x)在区间
[

,

]
上是增函数.
1
因



t,


，故
g(t) maxf(x)minf(x)f(

)f(

)
，
4
5
t
2
1(t
2
)
(



)[t(



2

2)]8 t
2
1(2t
2
5)
2
即
g(t)
.

22222
25




< br>116t25
t
2

16
16
24cosu< br>i
22
8tanu
i
1(2tanu
i
5)cosu
i
21624166
(2)因
g(tanu
i
)


2222
169cosu169cosu169cos u
16tanu
i
25
iii
又
t(x
1
x
2
)2x
1
x
2
2t(x
1
x
2
)2x
1
x
2

1111
3(169cos
2
u
i
)
故

g( tanu
1
)g(tanu
2
)g(tanu
3
)
166
i1
3
1
(163939

sin2
u
i
)
.
166
i1
因
sin
i1
3
2
u
i
1,u
i
 (0,)
，故
3

sinu
i
(

si nu
i
)
2
1
，
2
i1i1
2< br>
33
而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，所以
111113
(759)6
.
g(tanu
1
)g(tanu
2
)g(tanu
3
)
166
34