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三角函数强化练习
专题三：正弦函数、余弦函数复习
知识点复习
1．正弦定理：________＝________＝________＝2R，其中R是三角形外接圆的半径 ．由正
弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝________________；(2)a＝___ _______，b＝__________，
c＝__________；(3)sin A＝________，sin B＝__________，sin C＝________等形式，以
解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a
2＝________________，b
2
＝________________，c< br>2
＝________________.余
弦定理可以变形为：cos A＝________________，cos B＝____________，cos C＝
__________.
111abc1
3．S
△
ABC
＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并
2224R2
可由此计算R、r.
4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)
已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注
意区分．
余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边
问题．
[难点正本 疑点清源]
解三角形时，三角形解的个数的判断
在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

图形

关系式
解的个数
方法与技巧
1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节 的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，
三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形 ，以及利用它们解决一些实际问
题．
ABC
π
2．应熟练掌握和运用内角和 定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合
2222
诱导公式可以减少角的种数 ．
3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin
2
A＝ sin
2
B＋sin
2
C－
2sin B·sin C·cos A，可以进行化简或证明．
4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

a＝bsin A
一解 两解

bsin Aa≥b
一解

a>b
一解

A为锐角 A为钝角或直角

小练习
a＋b＋c
1．(课本精选题)在△ABC中，若A＝60° ，a＝3，则＝________.
sin A＋sin B＋sin C
2π
2． (2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝，则a＝________.
3
3．(课本改编题)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________.
π
4．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c ，已知c＝3，C＝，a＝2b，则
3
b的值为________．
5．已知圆的半 径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面
积为
2
C.2 D.
2
( )
A．22 B．82
题型一 利用正弦定理求解三角形
例1 在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.



(典例新编)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a
＝1，b＝3，A＋ C＝2B，则角A的大小为________．
题型二 利用余弦定理求解三角形
cos Bb
例2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
cos C
2a＋c
(1)求角B的大小；
(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．



A25
→→
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ＝，AB·AC
25
＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．



题型三 正、余弦定理的综合应用
例3 (2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A＋sin C＝
1
psin B (p∈R)，且ac＝b
2
.
4
5
(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；
4

(2)若角B为锐角，求p的取值范围．



在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
π
(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为3，求a，b的值；
3
(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状．



题型四 判断三角形的形状
[例4] 在△ABC中，若( a
2
＋b
2
)sin(A－B)＝(a
2
－b
2< br>)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．



规范练习

1．(2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin B，则
sin Acos A＋cos
2
B等于
11
A．－ B.
22




( )
C．－1 D．1
2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是
( )
A．等腰直角三角形
C．等腰三角形


B．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
a＋b＋c< br>3．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S
△
ABC
＝3，则的值为 ( )
sin A＋sin B＋sin C
26323939133
A. B. C. D.
3333
4．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
5．(文)在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为
角为 ( )
A．60° B．75° C．90° D．115°
6．(2011·福建)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于____ ____．
9
7．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________.
10
8.（2008·浙江理，13）在△ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（
3
b-c）
cosA=acosC，则c osA= .
3＋1
，则三角形的最大
2

AC
9．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为___ _____．
cosA
10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c ，A是锐角，且3b＝2a·sin B.
(1)求A；
(2)若a＝7，△ABC的面积为103，求b
2
＋c
2
的值．



11．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已 知a
2
－c
2
＝2b，且sin B＝4cos Asin
C，求b.



12. 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且
（1）求角B的大小；
（2）若b=
13
，a+c=4，求△ABC的面积.

cosBb
=-.
cosC2ac


13. 在△A BC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果
（a+b）
sin(A-B)= (a
2
-b
2
)sin(A+B)，
判断三角形的形状.
22


A25
14．(2009·浙江高考)在△ABC中，角A ，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，
25


 
AB
·
AC
＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若c＝1，求a的值