2020高考数学最后押题
湖南怀化学院-安徽科大
高三数学
2020高考数学最后押题
一、填空题
1．设抛物线y
2
＝2p
x（p＞0）的焦点为F，准线为l．点A(0，2)，线段AF交抛物线于点B，
过点B作l垂线，垂
足为M，若AM⊥MF，则p＝ ．
x
2
y
2
y
2
2
2．已知椭圆C
1
：2
＋
2
＝1(a＞b＞0)与双曲线C
2
：x－＝1有公共的焦
点，C
2
的一条渐近
ab4
线与以C
1
的长轴为直径的圆相
交于A，B两点，若C
1
恰好将线段AB三等分，则b
2
＝
．
1
→
1
→
3
→
3．已知平行四边形ABCD满足：AB＝2，BA＋BC＝BD，则平行四边形ABCD
→→→|BA||BC||BD|
的面积为______________．
E
C
1
B
1
A
1
4．如图，已知正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的底面边长为2cm，高为
6cm，一质点自A点
出发，沿着三棱柱的侧面经过棱B
1
B上点D
和棱C
1
C上点E绕行
一周到达A
1
点，当绕行路径最短时，三棱
锥B
1
－
ADE
的体积为 cm
3
．
a
7
5．已知数列{a
n
}是等差数列，且＜－1，它的前n项和S
n
有最小值，则S
n
取到最小正数
a
6
时的n＝
．
C
D
B
A
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6．已知函数f(x)＝x
3
－3ax(a∈R)，若直线x＋y＋m＝0
对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)
的切线，则
a
的取值范围是
．
7．已知函数f(x)＝ax
2
＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，则
xz
2
－4yz
y1
▲
8．已知xy－z＝0，
且0＜
z
＜
2
，则
x
2
z
2
＋1
6y
2
的最大值为__________．
a＋2b
的最大值为 ．
a
3
＋12b<
br>▲
9．若关于x的不等式ax
2
＋x－2a＜0的解集中仅有4个整数解，则实
数a的取值范围
为 ．
▲
10．在平面直角坐标系xOy中，对任意的实数m，集合A中的点(x，y)都不在直线2mx
＋(1
－m
2
)y－4m－2＝0上，则集合A所对应的平面图形面积的最大值为
．
▲
11．已知数列{a
n
}满足a
n
＋
1
a
n
＋
2
＋
a
n
≤，a
1
＝1，a
403
＝2011，则a
5
的最大值为 ．
2
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二、解答题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．
（1
）设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，–
cosC)，
若z(x＋y)，求tanB＋tanC的值；
（2）已知a
2
－c
2
＝8b，且sinAcosC＋
3cosAsinC＝0，求b．
cosAb
2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝＝3．
cosBa
（1）求C；
（2）如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣 弧
⌒
AC上，PAB＝
，求四边形APCB面积S(
)的解析式及
最大值．
→→→
3．设△ABC中，
AB
＝c，
BC<
br>＝a，
CA
＝b，且ab＝bc＝－2，b与c－b的夹角为150．
（1）求∣b∣；
（2）求△ABC的面积．
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C
B
P
O
A
B
D
G
A
E
C
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4．如图①，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D
，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿
着DE折起到△A
1
DE的位置，如图②
，连结A
1
B，A
1
C．
（1）若F为A
1
B的中点，求证：DF∥平面A
1
EC；
（2）求证：平面A
1
BC⊥平面A
1
BD．
5．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学
生成绩样本，得频率分
布表如下：
组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
分组
[230，235)
[235，240)
[240，245)
[245，250)
[250，255]
频数
8
①
15
10
5
50
频率
0.16
0.24
②
0.20
0.10
1.00
D
图①
B
E
D
图②
A
E
C
C
B
F
A
1
合 计
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（1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五
组中用分层抽样法抽取6名学
生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（
3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名
是第四组的概率．
6．在南海的渔政管理中，我海监船C在我作业渔船A的北20东方向上，渔政
船310在A
的北40西方向上的B处，测得渔政船310距C为62海里．上级指示，海监船原地监
测，
渔政船310紧急前往A处，走了40海里后，到达D处，此时测得渔政船310距C为
42
海里，问我渔政船310还要航行多少海里才能到达A处？
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页
B
C
D
A
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7．某种角钢部件是由如图1所示的矩形状钢板ABCD按下列要求制作而成．
①制作角钢部件的矩形钢板的长AB＝15cm，宽AD＝10cm；
②在矩形钢板的长边C
D上选一点E(异于C，D)，将钢板沿着AE折起，使得△ADE、梯
形ABCE所在的平面互相垂直
．
A B
A
D
E
C
D
E
图2
B
C
图1
当ABCDE为顶点的四棱锥的体积最大时，这个角钢部件“最标准”．
设∠DAE＝θ，DE＝x cm，四棱锥D－ABCE的体积为Vcm
3
，
（1）分别求:①V关于θ的函数关系式V(θ)；②V关于x的函数关系式V(x)；
（2）试确定点E的位置，使得角钢部件“最标准”．
8．某电子器件厂兼营生
产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产300个产品，可销
售p＝200个产品，未售出的产品
存入库房，每个产品在库房内每过一夜将支出存储费用
r＝0．2元，该流水线在开机生产一段时间后停
机销售，待所有库房产品售完后再开机生
产，流水线启动的费用为c＝1200元（与产品数量无关）．
这样开机生产－－停机销售－
－产品售完构成了一个产销周期．为管理方便，流水线的生产和停机的时间
均以天为单位
安排．
（1）若开机生产时间为m天，停机销售时间为n天，最后一天卖出a个产品，写出m，
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n，a的关系，并写出a的取值范围；
▲
（2）若停机销售的最后一天卖
出100个产品，请你设计一个产销周期，即开机生产多
少天，停机销售多少天，使得平均每个产品用于
流水线启动和存储的费用最少？
x
2
y
2
9
．已知椭圆
2
＋＝1的右焦点F，右准线为l，且直线y＝x与l相交于A点．
m＋m
m
（1）若⊙C经过点O（O为坐标原点），F、A三点，求⊙C的方程；
（2）当m变化时，求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
→→
（3）若AF•AB＜5，求椭圆离心率e的范围．
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x
2
y
2
3
10．过点C（0，1）的椭圆
2
＋2
＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，
ab2
0）、B
（－a，0），过点
C
的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与
直线BD交于点Q．
（1）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
→→
（2）当点P异于点B时，求证：OP•OQ为定值．
11．某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC,BD是过抛物线焦点
F且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF，通径长为4．记∠EFA = α,α为锐角．
（1）用α表示AF的长;
（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S
关于α的函数关系S(α)；
B
α
F
C
A
E
D
第10题图
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第11题图
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▲
（3）为使“蝴蝶形图案”的面积最小，
应如何设计α的大小？
12．已知数列{a
n
}的各
项都为正数，S
n
＝
111
＋＋…＋(n∈N*)．
a
1
＋a
2
a
2
＋a
3
a
n
＋an
＋
1
3
（1）若数列{a
n
}是首项为1，公差为的
等差数列，求S
67
；
2
（2）若S
n
＝
n
，求证：数列{a
n
}是等差数列．
a
1
＋a
n
＋
1
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13．对于任意的n∈N*（n不超过数列的项
数），若数列的前n项之和等于该数列的前n项
之积，则称该数列为S型数列．
（1）若数列
{a
n
}是首项a
1
＝2的S型数列，求a
3
的值；
▲
（2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数数列都不是S型数列；
1
▲
（3）若数列{
a
}是S型数列，且0＜a
1
＜1，试求a
n+1
与a
n
的递推关系，并证明0＜a
n
n
＜1
对n∈N*恒成立．
a
n+2
14．已知数列{a
n
}的各项均为正数，数列{b
n
}，{c
n
}满足b
n
＝
，c
n
＝a
n
a
2
n+1
．
a
n
（1）若数列{a
n
}为等比数列，求证：数列{c
n
}为等比
数列；
▲
（2）若数列{c
n
}为等比数列，且b
n+1
≥b
n
，求证：数列{a
n
}为等比数列．
第 10
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15．数列{a
n
}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，
公差与公比均为2，并且a
2
＋a
4
＝
a
1
＋a<
br>5
，a
4
＋a
7
＝a
6
＋a
3．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）求使得a
m
·
a
m+1
·
a
m+2
＝a
m
＋
a
m+1
＋a
m+2
成立的所有正整数m的值；
▲
（3
）在数列{a
n
}的奇数项中任取s项，偶数项中任取t项（s，t∈N*，s＞1，t＞1）
，
按照某一顺序排列后成等差数列，求s＋t的最大值．
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16．已知函数f(x)＝x
2
－ax，g(x)＝lnx．
（1）若对任意的正数x，f (x)
≥
g (x)恒成立，求实数a的取值范围；
13
（2）设h(x)＝f (x)＋g (x)有两个极值点x
1
，x2
，且x
1
∈(0，)，求证h
(x
1
)－h(x
2
)＞－ln 2．
24
17．已知函数f (x)＝e
λx
+(
1–
λ
)
a
–
e
x
，其中a，是常数
，且0＜＜1．
（1）求函数f (x)的极值；
▲
（2）设
1，
2
∈(0，1)，且
1
＋
2
＝1，证明：对任
意的正数a
1
，a
2
，
都有a
1
1a
2
2
≤
a
1
＋
2
a
2
．
第 12 页
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18．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝
1
．
x－1（1）设h(x)＝f(x)＋kg(x)，k为常数，k≠0．若曲线y＝h(x)在点(2，h(2))
处的切线平行于
x轴，求k的值；
（2）求函数y＝h(x)的单调增区间；
▲
（3）对任意x＞0且x≠1，求证：f(x)g(x)＜
1
x
．
第 13 页
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19．对于函数y＝f(x)，若存在x＝x
0
，使
f(x
0
)＝x
0
，则称实数x
0
是函数y＝f(x)的一
个不动点．
（1）设f(x)＝aln(1＋x)(a∈R)恰有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； 1
（2）g(x)＝x
2
＋x＋3，证明：函数y＝g(g(x))没有不动点；
2
▲
（3）若定义在R上的函数h(x)有且只有一个不动点x
0
，
且满足：h(h(x)－x
3
－x)＝h(x)
－x
3
－x，求函数
h(x)的解析式．
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20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
频数
0
1
1
5
2
9
3
5 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3
件，当天营业
结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不
．．．
进货，将频率视
为概率．
．．
（1）求当天商品不进货的概率；
．．．
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．
21．在一档娱乐节目中，主办方提
供了如图所示的圆形射击靶，嘉宾射击时，若击中区域A，
则获得10分；若击中B区域，则获得9分；
若击中C区域，则获得8分．设某嘉宾击
111
中A
、
B
、
C区域的概率依次为，，．
632
（1）节目中该嘉宾连续射击3次，求该嘉宾获得28分的概率；
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（2）节目中该嘉宾只射击1次，为了提高娱乐性，节目组要求嘉宾需先随意指定一个目标<
br>区域射击，若击中指定的区 域，则除了取得击中区域对应的分数，还给予奖励加分；若
击
中指定的区域外的区域，取得击中区域对应的分数，再罚除一定的分数．规则如下：若事
先指定区域为A
，则击中奖励3分，否则罚除1分．若事先指
定区域为B，则击中奖励2分，否则，若击中区域A，则罚
除3
分；若击中区域C，则罚除1分．若事先指定区域为C，则击中
奖励1分，否则罚除3分．
假设嘉宾选择三个区域中的任意一
个都是等可能的，记该嘉宾射击1次后的得分为ξ，求随机变量
ξ的概率分布列及数学期望．
A B C
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