客户关系管理参考文献-装在套子里的人读后感

2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案解析
一、填空题（共14题，共70分）
1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝ {﹣1，2} ．
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，2}．
故答案为：{﹣1，2}．
2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为
【解答】解：由（1+i）z＝2i，
得
则复数z的模为：
故答案为：．
．
．
．
3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强 国”平台上的学习积分依次为
35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为 40 ．
【解答】解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，
则这5名党员教师学习积分的平均值＝（35+35+41+38+51）＝40，
故答案为：40
4．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为 11 ．

【解答】解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a＝1+1+2+3+4
＝11 ．
故答案为：11．
5．已知等差数列{a
n
}的公差d不为0，且a< br>1
，a
2
，a
4
成等比数列，则
【解答】解：由题意 ，可知
＝a
1
a
4
，
的值为 1 ．

∴（a
1
+d）
2
＝a
1
（a
1
+3d），
即+2a
1
d+d
2
＝+3a
1
d．
化简，得a
1
＝d．
∴＝1．
故答案为：1．
6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为
【解答】解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，
则恰好出现2次正面向上的概率为：
P＝
故答案为：．
7．在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1C
1
中，AA
1
＝AB＝2，则三棱锥A
1
﹣BB1
C
1
的体积为
【解答】解：如图所示，
由正三棱柱ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，AA
1
＝AB＝2， 则
三棱锥A
1
﹣BB
1
C
1
的体积＝
．
故答案为：．
＝••B
1
B＝＝
．
＝．
．

8．已知函数
的最小值为 5 ．
【解答】解：当x＝时，f（x）取得最大值，
（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大 值，则ω

即f（
即
）＝sin（
＝
ω﹣）＝1，
ω﹣+2kπ，k∈Z，
即ω＝12k+5，k∈Z，
由于ω＞0，
所以当k＝0时，ω的最小值为5．
故答案为：5．
9．已知函数f（x）＝（m ﹣2）x
2
+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于
x的不等 式f（x
2
+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，1） ．
【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，
即（m﹣2）x
2
﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x
2
﹣（m﹣8）x，
故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，
由不等式f（x
2
+1）＜f（a）恒成立，可得x
2
+1＞a恒成立，
结合二次函数的性质可知，x
2
+1≥1，
所以a＜1．
故答案为：（﹣∞，1）
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C： x
2
﹣y
2
＝1的两条渐近线上，
且双曲线C经过线段AB的中点． 若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为
【解答】解：设点B的横坐标为m，
因为双曲线C ：x
2
﹣y
2
＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，
不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线y＝﹣x上．
则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，﹣m），
所以线段AB的中点坐标为
因为双曲线C经过线段AB的中点，所以
故答案为：． < br>11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地
震 时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008
年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0
级地震 释放出来能量的 1000 倍．
，
，解得，
．

【 解答】解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE
＝4.8+1. 5M．
2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE
1
＝4.8+1.5×8.0，
2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：l gE
2
＝4.8+1.5×6.0．
∴lgE
1
﹣lgE
2
＝3，解得：
故答案为：1000．
12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若
【解答】解：如图，
，则BD的最小值为 ．
＝10
3
＝1000．

设AB＝AC＝x，由
设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），
，得AD＝，
由余弦定理可得：cosθ＝，得，①
由△ABC的面积为3，得
联立①②，得
∴
令y＝
，
，
，即，②
，则ysinθ＝5﹣3cosθ，
（θ+φ）＝5，得sin（θ+φ）＝， ∴ysinθ+3cosθ＝5，即
由，解得y≥4或y≤﹣4（舍）．
即，得BD，

∴BD的最小值为
故答案为：．
．
13．在平面直角坐标 系xOy中，已知圆C
1
：x
2
+y
2
＝8与圆C
2
：x
2
+y
2
+2x+y﹣a＝0相交于A、
B两点．若 圆C
1
上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合
为 {8，8﹣2，8+2} ．
【解答】解：已知圆C
1
：x
2
+y
2
＝8与圆C
2
：x
2
+y
2
+2x+y ﹣a＝0相交于A、B两点，
则AB所在直线的方程为2x+y﹣a+8＝0，
若圆C
1
上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：
①，P为直角顶点，则AB为圆C
1
的直径，
即直线2x+y﹣a+8＝0 经过圆C
1
的圆心C
1
，必有﹣a+8＝0，解可得a＝8；
②， A或B为直角顶点，则点C
1
到直线AB的距离d＝
则有d＝＝2，解可得a＝8﹣2 或8+2
，8+2
，
}；
r＝×2＝2，
综合可得：a的取值 的集合为{8，8﹣2
故答案为：{8，8﹣2
14．已知函数f（x）＝
，8+2} ．
，若关于x的方程f
2
（x）+2af（x）+1﹣a
2
＝0< br>有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．
【解答】解：令f（x）＝t，则g（t ）＝t
2
+2at+1﹣a
2
，作f（x）的图象如下，

设g（t）的零点为t
1
，t
2
，由图可知，要满足题意，则需，

故，解得．
故答案为：．
二、解答题（共6题，共90分） 15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求
证：
（1）AB∥平面PDE；
（2）平面PAB⊥平面PAC．

【解答】证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE是三角形ABC的一条中位线，
∴DE∥AB，
∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，
∴AB∥平面PDE；
（2）∵PA⊥平面ABC，AB在平面ABC内，
∴PA⊥AB，
又PC⊥AB，PA∩PC＝P，且PA，PC都在平面PAC内，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB在平面PAB内，
∴平面PAB⊥平面PAC．
16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cosB＝﹣．
（1）求sinA的值．
（2）求的值．

【解答】解：（1）如图，
∵，∴，
又AC＝4，BC＝3，
∴根据正弦定理得，，解得；
（2）∵
∴，
，
∴cosC＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣co sAcosB＝
∴
＝
＝
＝．



，

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条< br>准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．
（1）求椭圆E的标准方程：
（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与
BN相 交于第一象限内的点P．
①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；
②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．

【解答】解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，
则由题意，得，解得，
所以b
2
＝a
2
﹣c
2
＝4，
所以椭圆 E的标准方程为
（2）①证明：由已知，得M（2
直线AM的方程为
；
，2），N（0，4），B（2
，直线BN的方程为
，0），
，
联立，解得，即P（，），
因为
所以点P在椭圆上；
，
②解法 一：设P（x
0
，y
0
），（x
0
＞0，y
0＞0），
则，，
直线AP的方程为，
令，得，
直线BP的方程，

令y＝4，得，
所以＝＝＝＝
＝．
解法二：设直线AP的方程为
令，得，
（k
1
＞0），
设直线BP的方程为
令y＝4，得，
（k
2
＜0），
所以＝＝|k
1
k
2
|，
设P（x
0
， y
0
），（x
0
＞0，y
0
＞0），则，
所以k
1
k
2
＝•＝＝＝，
所以＝．
18．在 平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，
如图，小卢利用图形 的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中
心O逆时针旋转θ到三角形A
1
B
1
C
1
，且
C
1
，A，得到六边形 徽标AA
1
BB
1
CC
1
．
（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；
顺次连结A，A
1
，B，B
1
，C，
（2）求六边形微标的周长的最大值．

【解答 】解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB＝120°，且OA＝OA
1
＝< br>OB＝OB
1
＝OC＝OC
1
＝，
由旋转图形的性质可知， △A
1
AC
1
≌△AA
1
B≌△B
1
BA
1
≌△BB
1
C≌△C
1
CB
1
≌△CC
1
A，
所以∠AA
1
B＝∠A
1
BB
1
＝∠BB
1
C＝∠B
1
CC
1
＝∠CC
1
A＝∠C
1
AA
1
＝120°，
在等腰△AOA
1
中，因为∠AOA
1
＝θ＝
所以∠BA
1
O＝
， 所以∠AA
1
O＝
，
，
+
，
，因此∠A1
OB＝
依此类推可得，∠BOB
1
＝∠COC
1
＝< br>所以六边形徽标的面积S＝
＝3（
＝3•
故六边形徽标的面积为．
）
，∠B
1
OC＝∠C
1
OA＝
＝，
（2）由（1 ）可知，A
1
A＝B
1
B＝C
1
C，A
1
B＝B
1
C＝C
1
A，
不妨设A
1
A＝x，A< br>1
B＝y，则六边形徽标的周长L＝3（x+y）．
在△AA
1
B中 ，由余弦定理得，cos∠AA
1
B＝cos120°＝
所以xx
2
+y
2
+xy＝a
2
，变形得（x+y）
2
﹣xy＝a2
①
由基本不等式可知，
由①②解得，x+y≤
②
，当且仅当x＝y＝
＝
时取等号


所以六边形徽标的周 长L＝3（x+y）≤3×

故六边形徽标的周长的最大值为．
（λ∈R）． 19．已知数列{a
n
}满足：a
1
＝1，且当n≥2时，a
n＝λa
n
﹣
1
+
（1）若λ＝1，证明：数列{a
2n
﹣
1
}是等差数列；
（2）若λ＝2．
①设b
n
＝a
2n
+，求数列{b
n
}的通项公式；
②设∁
n< br>＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁
p
≥∁
m
．
【解答】解：（1）当λ＝1时，则根据a
1
＝1，a
n
＝a
n
﹣
1
+
所以a
2n+1
＝a
2n
﹣< br>1
+1，即a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1
＝1为 常数，
即数列{a
2n
﹣
1
}是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）λ＝2时，a
1
＝1，且当n≥2时，a
n
＝2a
n
﹣
1
+
①当n≥2时，
（n≥2），得，
，
， 所以a
2n
＝4a
2n
﹣
2
+2，则a
2n
+＝4（a
2n
﹣
2
+），
又因为b
n
＝a< br>2n
+，即有b
n
＝a
2n
+＝4（a
2n
﹣
2
+），
而b
1
＝a
2
+＝2a
1< br>+＝≠0，所以＝4是常数，
﹣
所以数列{b
n
}时首项为，公比为 4的等比数列，则b
n
的通项公式为b
n
＝•4
n1
＝•4
n
（n∈N
+
）；
②由①知，a
2n
＝b
n
﹣＝（4
n
﹣1），a
2n
﹣
1
＝a
2n
＝（4
n
﹣1），
则＝＝＝（）﹣n＝，
所以∁
n
＝＝[]（n∈N
+
），
则C
n+1
﹣∁
n
＝﹣＝，
当n＝1时，C
2< br>﹣C
1
＝0，则C
2
＝C
1
；
当n＝2时 ，C
3
﹣C
2
＝0，则C
3
＝C
2
； < /p>

当n≥3时，C
n+1
﹣∁
n
＞0，则C
n+ 1
＞∁
n
，
故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁
p
≥∁
m
．
20．设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．
（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知函数f（x）的导函数f'（ x）有三个零点x
1
，x
2
，x
3
（x
1
＜x
2
＜x
3
）．
①求a的取值范围；
②若m
1
，m
2
（m
1
＜m
2
）是函数f（x）的两个零 点，证明：x
1
＜m
1
＜x
1
+1．
【解答】解：（1）当a＝0时，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
．
令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．
（2）①由，得，
设g（x）＝ax
3
﹣x+1，则导函数f'（x）有三 个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．
又g′（x）＝3ax
2
﹣1，若a≤ 0，则g′（x）＝3ax
2
﹣1＜0，
∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．
令g′（x）＝0，
当x∈
＜0，
∴g（x）在
增，
上单调递减，在和上单调递
∪
，则
时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）
∴，即，∴．
又g（0）＝1＞0，∴g （x）在
∵当时，，
且
上有且只有1个非零的零点．
，
，

又函数g（x）的图象是连续不间断的，
∴g（x）在
∴实数a的取值范围是
和
．
上各有且只有1个非零的零点，
②由f（m
1
）＝f（m
2
）＝0，得，
．
设 p（x）＝ax
2
﹣ax﹣1（a＞0），且p（m
1
）＝p（m
2
）＝0，∴
又∵m
1
＜m
2
，∴m
1
＜0 ＜m
2
．
∴x＜m
1
或x＞m
2
时，p（x）＞ 0；m
1
＜x＜m
2
时，p（x）＜0．
由①知a＞0，x
1
＜0＜x
2
＜x
3
．
∵，∴，，
∴，
，
∴x
1
＜m
1
＜x
1
+1成立．
【选做题】（3选2，每题10分）
21．已知a，b∈R，向量
（1）求矩阵A；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．
【解答】解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：
Aα＝3α，
带入可知：
故矩阵A＝

．
＝3，即，解得a＝2，b＝﹣1，
是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．
（2）设P为（x，y），
因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），
所以
解得x＝1，y＝0，
，

故P（1，0）．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程
参数方程为
（t为参数），椭圆C 的
（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．
【解答】解：已知直线l的参数方程
x+2y+3＝0，
（t为参数），转换为直角 坐标方程为
椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l的距离d＝
当sin（）＝1时，
＝
．
＝1．证明：
，
23．已知a，b，c都是正实数，且
（1）abc≥27；
（2）≥1．
【解答】证明：（1）∵a，b，c都是正实数，
∴
又∵
∴
＝1，
，即abc≥27，得证；
，
（2）∵a，b，c都是正实数，
∴，，，
由①+②+③得，
∴
【必做题】（每题10分）
，得证．
，
24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA
1
＝2BC＝2．
（1）求二面角C
1
﹣B
1
C﹣D
1
的余弦值；

（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B
1
C与平面 B
1
PQ所成角的正弦
值为，求AQ的长．

【解答】解：（1） 在直四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，
∵AA
1
⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA
1
，AD⊥AA
1
，
∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y 轴，AA
1
为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝AD＝AA
1
＝2BC＝2．
∴A（0，0，0），B（2，0， 0），C（2，1，0），D（0，2，0），A
1
（0，0，2），B
1
（ 2，0，
2），
C
1
（2，1，2），D
1
（0，2，2），
＝（﹣2，2，0），＝（0，1，﹣2），
设平面B
1
CD
1
的一个法向量＝（x，y，z），
则，取x＝2，则＝（2，2，1），
∵AB⊥平面B
1
C
1C，∴平面B
1
CC
1
的一个法向量＝（2，0，0），
设二 面角C
1
﹣B
1
C﹣D
1
的的平面角为α，由图形得锐角，
∴二面角C
1
﹣B
1
C﹣D
1
的余弦值为：
cosα＝＝．
（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），
∵点P 是AD中点，则P（0，1，0），
设平面B
1
PQ的法向量＝（x，y，z），
＝（λ，﹣1，0），＝（λ﹣2，0，﹣2），

则，取x＝2，得＝（2，2λ，λ﹣2），
设直线B
1
C与平面B
1
PQ所成角大小为β，
∵直线B
1
C与平面B
1
PQ所成角的正弦值为，
∴sinβ＝＝＝，
解得λ＝1或
∴AQ＝1．
．

25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各
1只．现从 口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．
（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；
（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量
的数学期望（用n表示）． < br>【解答】解：（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝5
6个基本事件，
记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，
，求Y
∴当n＝3时，恰好取到3次红球的概率P（A）＝＝．
（2）由题意知随机 变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N
*
），
则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝

＝
i∈N），
． （0≤i≤n﹣1，
∴E（Y）＝0•P（Y＝0）+3P（Y＝3）+5P（Y＝5）+…+（2n﹣ 1）P（Y＝2n﹣1）
＝（
+
+
，
﹣﹣
+
+
++…+
+…+
+
），
，
，
令x
n
＝
y
n
＝
则
x
n
﹣y
n
＝（4﹣1）
2n1
＝3
2n1
．
∴．
∴E（Y）＝

＝＝．