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07高中数学会考复习提纲（2）（三角函数）
第四章 三角函数
1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；
（2）、与

终边相同的角，连同角

在内，都可以表示为集合{< br>
|



k360,kZ
}
（3 ）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，
就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。
2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 < br>（2）、度数与弧度数的换算：
180

弧度，1弧度
(
（3）、弧长公式：
l|

|r
（

是角的弧度数）


180

)

57

18
'

11
2
扇形面积：
Slr|

|r

22
sin


yyr
　　　tan

　　　sec

　　
+
rxx

O
xxr
cos

　　 　cot

　　　csc


_
ryy
rx
2
y
2
0

y
P（x，y）

r
0


x
y
3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）、各象限的符号：
y
+
_
x
_
_
y
+
O
x
_
O
+
_
x
+
+
（3）、 特殊角的三角函数值

的角度
0


的弧度
0

sin


cos


30

45

60

sin


90

120

cos


tan


3


2
135

150

180

270

360

5


6


6
1

2
3

2
3

3


4
2

2
2

2


3
3

2


2
1

0

—
2


3
3

2
3


4
2

2

2

2


0

2


0

1

2

3

2

3

3
1

0

—
0

1

0

1

2
3


1

2
3

1

0

1

0

tan


1

1

4、同角三角函数基本关系式
（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：
sin


sin


tan

cot

1

cos

cos


sin
2

cos
2

1

tan


1tan
2

sec
2


cot


tan


1
cot


cos


sin

csc

1

sin

1cot
2

csc
2


cos

sec

1

（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）
sec


csc


2222
①、
sin

1cos

，
sin

1cos
2

；
cos

1sin

，
cos

1sin
2

；
.

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cos
2

sin
2

2
cos
2

sin
2

2cos2

②
tan

cot


，
c ot

tan



2cot2


sin

cos

sin2

sin
< br>cos

sin2

③
(sin

cos

)
2
12sin

cos

1 sin2

，
1sin2

|sin

cos

|

5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
公式一：
sin(

k360)sin
　　
c os(

k360)cos
　　
tan(

k 360)tan


公式二： 公式三： 公式四： 公式五：
sin(180

)sin< br>
tan(180

)tan

sin(
s in(180

)sin

tan(180

)tan

sin(
sin(

)sin

tan(

)tan

sin(360

) sin
　　
tan(360

)tan

co s(180

)cos


cos(180

)cos


cos(

)cos


cos(360

)cos
　　

3
< br>3



)cos



) cos

sin(
2
2
2
2
补充：
co s(



)sin


cos(



)sin


cos(
3



)sin


cos(
3



)sin


2
2
2
2
3



3

tan(

)cot

tan(

)cot

tan(

)cot

tan(

)cot

2
2
2
2



)cos




)cos

sin(
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(



)：
sin(



)sin

cos

cos

sin


S
(
< br>

)
：
sin(



)si n

cos

cos

sin

C
(



)
：
cos(a
)cos

cos

sin

sin
< br>
C
(



)
：
cos(a

)cos

cos

sin

si n


T
(



)
：
tan(



)
tan

tan

tan

tan


T
(



)
：
tan(



)

1tan
tan

1tan

tan

T
(



)
的整式形式为：
tan

tan

tan(



)(1tan

tan

)

例：若
AB45
，则
(1tanA )(1tanB)2
．（反之不一定成立）
7、辅助角公式：
asinxbc osxa
2
b
2



ab
sinxcosx


2222
ab

ab
a
2
b
2
(sinxcos

co sxsin

)a
2
b
2
sin(x

)

（其中

称为辅助角，

的终边过点
(a,b)
，
tan


b
） （多用于研究性质）
a
8、二倍角公式：（1）、
S
2

：
sin2

2sin

cos

（2）、降次公式：（多用于研究性质）

C
2

：
cos2

cos
1
2
1cos2

11
22
2

12sin

2cos

1

sin

cos2



222
2 tan

1cos2

11
2
T
2
< br>：
tan2

cos

cos2



2
222
1tan

2

sin
2< br>

sin

cos

sin2


.

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（3）、二倍角公式的常用变形：①、
1cos2

2|sin

|
，
1cos2

2|cos

|
；
②、
1

1
cos2

|sin

|
，
1

1
cos2

|cos

|

22
22
422
sin
2
2

44
③、
sin

cos

12sin

cos

1
；
cos

sin

cos2

；
2
4
④半角：
sin

2

1cos


1cos


1cos

1cos

sin

，
cos
，
tan


22221cos

sin

1cos

9、三角函数的图象性质
（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f（x），若存在一个非零常 数T，当x取定义域内的每一个值时，
都有：f（x+T）= f（x），那么函数f（x）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；
②、如果函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f（x）的最小正周期。
（2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，
都有：f（-x）= - f（x），则称f（x）是奇函数，f（-x）= f（x），则称f（x）是偶函数
②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称；
（3）、正弦、余弦、正切函数的性质（
kZ
）
函数 定义域 值域
[-1，1]
[-1，1]
周期性 奇偶性 递增区间 递减区间
3





2k

,2k


22

ysinx

xR


T2


奇函数

2k

,2k



2

2


ycosx

xR


2
T2


偶函数
T


奇函数

(2k1)

,2k








k

,k



2

2


2k

,(2k1)




ytanx

{x|xk

}

（-∞,+∞）
3

，1），（

，0），（，-1），（
2

，0）；
2
2
3


（0，1），（，0），（

，-1），（，0），（
2

，1）；
ycosx
图象的五个关键点：
2
2
y
（0，0），（
ysinx
图象的五个关键点：





















.
1
ysinx

0



2


2


3


2
y
2


x



3



2
-1
y
1


ycosx

0

2


o


2
3

2
x



2


2


3


2

ytanx

2


x
-1

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

2

；对称轴是直线
xk

；
yAcos(
；

x

)
的周期
T 
ycosx
的对称中心为（
k

,0
）
2< br>


；
yAtan(

x

)
的周期
T
；
ytanx
的对称中心为点（
k

,0
）和点（
k

,0
）
2

2
(4)、函数
yA sin(

x

)(A0,

0)
的相关概 念：
函数 定义域 值域
[-A，A]
振幅
A
周期 频率

初相

x




相位 图象
五点法
；对称轴是直线
xk


ysinx
的对称中心为（
k

,0
）
；
yAsin(

x

)
的周期
T
2

；
yAsin(

x

)

xR

T
2


f
1



T2

yAsin(

x

)
的图象与ysinx
的关系：
①、振幅变换：
ysinx

当
0
A
1
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍
yAsinx


当

当A
1
时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
1
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的
②、周期变换：
ysinx

ysin

x

1
当
0
当

图象上各点的纵坐标伸长到原来的

1
时，
1

倍
倍

0
时，图象上的各点向左平移

个单位倍

③、相位变换：
ysinx

ysin(x

)

当

0
时，图 象上的各点向右平移
|

|
个单位倍

个单位倍

④、平移变换：
yAsin

x

yAsin(

x

)


当

0
时，图象上的各点向右平移
||
个单位倍



当

0
时，图象上的各点向左平移
常叙述成： ①、把
y sinx
上的所有点向左（

0
时
）或向右（

0
时
）平移|

|个单位得到
ysin(x
)
；
②、再把
ysin(x

)
的所有点的横坐 标缩短（

1
）或伸长（
0

1
）到原来的
1
倍（纵坐标不变）

得到
ysin(

x< br>
)
；③、再把
ysin(

x

)< br>的所有点的纵坐标伸长（
A1
）或缩短（
0
A1
）到< br>原来的
A
倍（横坐标不变）得到
yAsin(

x

)
的图象。
先平移后伸缩的叙述方向：
yAsin(
x

)

先平移后伸缩的叙述方向：
yAsin(

x

)Asin[

(x
10、反三角：
求角条件

sinxa
（
1a1
）
x的值 x的范围


x

,


22


)]


当x为钝角时

xarcsina
（反正弦）
x

arcsina
（
0a1
）
xarccosa
（
1a0
）
cosxa
（
1a1
）
xarccosa
（反余弦）
x

0,







x

,

22

tanxa
（
aR
）
11、三角函数求值域
.
xarctana
（反正切）
x

arctana
（
a0
）

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（1）一次函数型：
yAsinxB
，例：< br>y2sin(3x
用辅助角公式化为：
yasinxbcosx

12
)5
，
ysinxcosx

a
2
b
2
sin(x

)
，例：
y4sinx3c osx

（2）二次函数型：①、二倍角公式的应用：
ysinxcos2x

②、代数代换：
ysinxcosxsinxcosx

第五章、平面向量
1、空间向量：（1）、定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可 用同一平面内的有向线段表示。
（2）、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作
0
；零向量的方向是任意的。 （3）、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量
a
平行的单位向量：
e
a
|a|
；
（4）、平行向量：方向相同或相反的非零向量 叫平行向量也叫共线向量，记作
ab
；规定
0
与任何向量平行；
（5）、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
2、向量的运算：（1）、向量的加减法：

向量的减法
向量的加法

三角形法则
平行四边形法则
a



b

b

a

b








a

ab

b

b

b

a

首位连结
ab

a

ab

指向被减数
a

（2）、实数与向量的积：①、定义：实数

与向量
a
的积是一个向量，记作：

a
；
②：它的长度：
|

a||

||a|
；

a
与向量
a
的方向相同；

a
与向量< br>a
的方向相反；

a
=
0
；③：它的方向：当

0
，当

0
，当

0
时， < br>3、平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对平面内的任一向量
a
，有且只
有一对实数

1
,

2
，使
a

1
e
1


2
e
2
；
不共线的向量
e
1,e
2
叫这个平面内所有向量的一组基向量，{
e
1
,e
2
}叫基底。
4、平面向量的坐标运算：（１）、运算性质：
abba, abcabc,a00aa


.

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（２）、坐标运算：设
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2

，则
ab

x
1
x
2
, y
1
y
2


设A、B两点的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则
AB< br>
x
2
x
1
,y
2
y
1

.
（3）、实数与向量的积的运算律: 设
a

x,y
，则λ
a


x,y



x,

y

，



00

（4）、平面向量的数量积：①、 定义：
ababcos


a0,b0,0

180

，
0a0
.


 


①、平面向量的数量积的几何意义：向量
a
的长度|< br>a
|与
b
在
a
的方向上的投影|
b
|
cos

的乘积；
③、坐标运算:设
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2

,则
abx
1
x
2
y
1
y
2
；
向量
a
的模|
a
|：
|a|< br>2
aa
xy
；模|
a
|

22

x
2
y
2

x
1x
2
y
1
y
2
x
1
y
1

22
④、设

是向量
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2

的夹角，则
cos



x
2y
2
22
，
a


bab0

5、重要结论：（1）、两个向量平行的充要条件：
aba

b

(

R)

设
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2

，则
ab

x< br>1
y
2
x
2
y
1
0

（2）、两个非零向量垂直的充要条件：
abab0

设 < br>a

x
1
,y
1

,b
x
2
,y
2

，则
abx
1
x
2
y
1
y
2
0

（3）、两点
A

x
1
,y
1

,B

x
2
,y
2

的距离：
|AB|



(x
1
x
2
)
2
(y
1
y
2
)
2


（4）、P分线段P
1
P
2
的：设P（x，y） ，P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
） ，且
P
（即

1
P

PP
2
，
|P
1
P|
|PP
2
|
）

x


则定比分点坐标公式


y


x
1


x
2
x
1
x
2

x


1

2
， 中点坐标公式


y
1


y
2
yy
2

y
1

1

2< br>

'


xxh,
（5）、平移公式：如果点 P（x，y）按向量
a

h,k

平移至P′（x′，y′），则

'



yyk.
6、解三角形：（1）、三角形的面积公式：
S


（2）、在△
ABC
中：
ABC180
，
111
absinCacsinBbcsinA

222
因为
AB180C
：
sin(AB)sinC
，
cos(AB)cosC
，
tan(AB)tanC

因为
.
AB
90
C
：
sin(
AB
)cos
C
，
cos(
AB
)sin
C
，
tan(
AB
)cot
C

222222
22

精品文档
（3）、正弦定理，余弦定理
①、正弦定理：
abc
2R,边用角表示：a2RsinA,　b2Rsi nB，　c2Rsin

sinAsinBsinC
a
2
b2
c
2
ab
a
2
b
2
c< br>2
2bccosA
222
②、余弦定理：
bac2acc osB
若：
abc2ab
则：
222
c
2
a
2
b
2
2abcosC(ab)
2
2ab (1cocC)
a
2
b
2
c
2
3ab< br>b
2
c
2
a
2
a
2
c
2
b
2
a
2
b
2
c
2
　 　　　
cosB
　　　　
cosC
求角：
cosA

2bc2ac2ab
.