小白兔笑话-企业名称预先核准申请书

三角函数总结及统练
一. 教学内容：
三角函数总结及统练
（一）基础知识
1. 与角

终边相同的角的集合
S{

2k



,kZ}

2. 三角函数的定 义（六种）——三角函数是
x
、
y
、
r
三个量的比值
3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4. 三角函数线
正弦线MP=
sin


余弦线OM=
cos


正切线AT=
tan


5. 同角三角函数的关系
平方关系：商数关系：
倒数关系：
tan

cot

1

sin

csc

1

cos

sec

1

口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。

正弦
余弦
正切
余切






























7. 两角和与差的三角函数

8. 二倍角公式——代换：令




1cos2


2
sin




2

cos
2


1cos2

2

降 幂公式


sin

2
半角公式：

1 cos


1cos


1cos

costan
2221cos


2
；；
9. 三角函数的图象和性质
函

数
图

象
定
义
域
值
x2k



2< br>时
x2k

时


R R
R
域
y
max
1

最
x2k



2
时
y
max
1

无最大值
无最小值
x2k



时
y
min< br>1

值
y
min
1

周期
周期为
2


性
奇偶
奇函数
性
[2k


周期为
2


周期为


偶函数
在
[2k



,2k

]
上
都是增函数，在
奇函数
< br>

k

,k



22
在


2
单调
性
在
,2k



2

]
上都是增 函数；在
[2k

,2k



]
上都< br>内都是增函数

[2k



3
,2k



]
是减函数（
kZ
） （
kZ
）
22

上都是减函数
（
kZ
）
10. 函数
yAsin(

x

)
的图象变换
A0,

0

函数
yAsin(

x

)
的图象可以通过下列两种方式得到：
图象左移


ysinxysin(x

)
（1）
1
横坐标缩短到原来的倍


ysin(

x)


（2）
ysinx

1
横坐标缩短到原来的倍图象左移
（二）数学思想与基本解题方法
1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4. 角的和与差的相对性
如：

(



)
－


角的倍角与半角的相对性


2,2
22
如：
4

5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6. 数形结合：心中有图，观图解题。
7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。
8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。
【典型例题】
1. 如：
yasinx bcosxa
2
b
2
sin(x

),tan

b
a
（化成一个角的一个三角函数）
[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？

22
f(x)sinx2sinxcosx3cosx
（1）
2
f(x)sinxsinxcosx1
（2）
解： y22sin(2x

（1）
4
，
y
max22
，
)xk



8
(kZ)
（2）
y
min

y
32

3 2
3

sin(2x)y
max

xk
< br>(kZ)
224
，
2
，
8

32
xk

(kZ)
2
，
8

2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简
1cos

 2sin

2
；
1cos

2cos

2

[例2] 化简
21sin822cos8
。
答案：
2sin4

3. 化异为同
[例3] 已知
tan

2
，求：
sin
2

2
sin

cos

22
（1）
sin

cos

（2）
3cos

sin


答案：（1）3；（2）
14


2
2cos
2





2
sin

1< br>[例4] 已知
tan2

22,
，求：
sin

cos


答案：
322

4. sin

cos

与
sin

cos
间的相互转化
t
2
1
sin

cos


2
；
sin

t
2
1< br>；
sin

cos

= （1）若
sin

cos

t
，则
（2）若
sin

cos

t
，则
sin

cos

 12t
；
sin

cos

12t

（3）
tan

cot


12

sin

cos

sin2


[例5] 化简：
tan

8
cot

8

。
答案：
22

[例6] 若

在第二象限，

3
2

sin
2
cos

2

5

sincos< br>2
，求
22
。
答案：
5. 互为余角的三角函数相互转化





2
，则
sin

cos

；
cos

sin

若
[例7] 已知
sin(

3


)
1

cos(

)
4
，则
6
。
1
答案：
4

sin40sin50

[例8] 求值：
cos10
。
1
答案：
2

[例9] 求值：
sin18sin54
。
1
答案：
4

6. 公式的变形及活用
（1）
tan

tan

tan(



)[1tan

tan

]

AB

4
（2）若
(1tanA)(1tanB)2

[例10] 计算
(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan45)
。
答案：
2
23

[例11]
tan70tan103tan70tan10
。
答案：
3

7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性 1
tan

,tan(



)2
3
[例12] 若，则
tan


。
答案：7
5cos(



2
[例13] 若< br>)7cos

2
0
，则
tan


2
tan

2

。
答案：
6

sinB0.8
，[例14] 在
ABC
中，A为最小角，C为最大角，且
cos(2AC)0.8
，求
cos (2B2C)
的值。
527
答案：
625

8. 角的范围的限定
由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。
1< br>sin

cos

,

(0,
)
3
[例15] 已知，求
cos2

。

17
9

sin
答案：

2
[例16] 若

是第二象限角 且
(sin
cos

2

5

si ncos
2
，求
22
的值。

解法一：利用公式
sin
cos)
2
1sin

22
然后限定角的范 围。
t


2
解法二：设
cos

2
利用平方和求
t
的值，然后限定角的范围。

解法三：利用

3
2

(sin
< br>cos)(sincos)
2222
cos

，可回避限定角 的范围。

答案：

9. 在三角形中的有关问题 AB

C

ABC180
；
AB18 0C
；
222

结论：
sin(AB)sinC
；
cos(AB)cosC

sin
ABCABC
cos cossin
22
；
22

[例17] 已知A、B、C是
ABC
的内角且
lgsinAlgsinBlgcosClg2
，试判断此 三角形的
形状。
答案：等腰三角形，B=C
[例18] 在锐角三角形ABC中， 求证：
sinAsinBsinCcosAcosBcosC

AB< br>
2
则证明：由
0

2
BA
2

故
sinAcosB
同理
sinBcosC

sinCcosA

三式相加，得证。
n
10. 形如
cos2

co s4

cos8

cos2

的化简

2

4

coscoscos
777
[例19] 求值：（1）
cos36cos72
（2）
11

答案：（1）
4
（2）
8

11. 三角函数图像和性质的应用
会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套 ”）；会解——简单的
三角不等式、三角方程、比较大小。
[例20] 求下列函数的定义域。
（1）
ylgsin(cosx)

（2）
y2log
0.5
xtanx

答案：

（1）
(2k



2
,2k



2
)(kZ)

(0,)[

,4]
（2）
2


[例21] 求下列函数的值域。
y
sinx
x[0,

]
2sinx
（1）
（2）若
x
是锐角，则
ysinxcosx
的值域。
1
[0,]
答案：（1）
3
（2）
(1,2]

12. 可化为形如：
yAsin(

x

)B
的形式（一个角的一个三角函数）
22
[例22] 已知函数
y3cosx23sinxcosxsinx
，求“一套”。
答案：
y2sin(2x

6
)2
，定义域：R；值域：
[ 0,4]
，
y
max
4
，
y
min
0
；
T


对称轴
x
k

 
(kZ)[k

,k

]
2636
增区间：
减区间：
[k



6
,k
< br>
2

](kZ)
3

13. 函数
yAsin(

x

)B
的图像的变换——两个题型，两种途 径
题型一：已知解析式
yAsin(

x

)B< br>确定其变换方法
变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。
注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与

的关系
题型二：由函数图像求 其解析式
yAsin(

x

)B

[例23] 已知函数
yAsin(

x

)
，（
A0,

0
，
x



2
）在一个周期内，当
x

6
时，
y
有
最大值为2，当
2

3
时，
y
有最小值为
2< br>，求函数表达式，并画出函数
yAsin(

x

)在
一个周期内的简图。（用五点法列表描点）

答案：
y2sin(2x

6

)2
yatbtc
，
tD
（定义域有限制的一元二次函数） 14. 可化为形如：
[例24] 求函数
11
[,]
解：
42

y
3
(2cosx)(5cosx)
的值域
[例25] 已 知
ycos2xasinx
，若记其最大值为
g(a)
，求
g( a)
的解析式。
a
2
a
2
y(sinx)1< br>24
，当
a2
时，
g(a)
a
解：
a
2
g(a)1
4
当
2a2
时，
当
a2
时，
g(a)a

15. 周期函数与周期
[例26] 已知函数
yf(x)
对定义域中每一个
x< br>都有
f(2xT)f(2x)
，其中
T0
，则
f(x)
的
周期 。
解：T
[例27] 已知奇函数
y f(x)
对定义域中每一个
x
都有
f(x2)f(x)
成立 ，求其周期。
解：4
[例28] 已知奇函数
yf(x)
对定义域中每 一个
x
都有
f(x2)f(2x)
成立，求其周期。
解：8
f(x3)
1
f(x)
成立，求其周期。 [例29] 已知奇函数
yf(x)
对定义域中每一个
x
都有
解：6
[例30] 已知奇函数
yf(x)
对定义域中每一个
x
都有
解：6
f(x3)
1f(x)
1f(x)
成立 ，求其周期。

16. 函数与方程的思想
[例31] 方程
100sinxx
的解的个数 。
解：63
【模拟试题】
（答题时间：60分钟）

1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
22
2. 已知
tan

2
，求：
sin

2sin

cos
3cos


3. 设
sin

cos
< br>
1
4
，则
sin

cos


。
4. 求
ysinxcosxsinxcosx
的最大值和最小值。
cos40sin50(13tan10)
5. 求值：
6. 若
sin701cos40
。
sin

cos


1
5
；

(0,

)
，求
cot


tan(



)
11
tan


2
，
7
，求
2



的值。 7. 已知

、

(0,

)
且
8.
a
为何值时方程
cos2xcosxa0
有解？
9. 方程
cos2xasinx0
，
x[0,

]
有两解时求
a
的值。
10. 求值：
（1）
cos20cos40cos60cos80

（2）
sin18sin54

11. 求下列函数的定义域。
12. 已知函数
y3cosx23sinxcosxsinx
，当
值及何时取到？ < br>22
x[

,]
44
时，求函数的最大值和最小

【试题答案】

3k

y1sin
2
2x
y1
x(kZ)
max
42
1. ，，
ymin

1k

x(kZ)
4
，
24

6
11

2.
5
3.
2

4. 令
tsinxcosx
，
5.
2
6.
7.

4
3

y
1333
y
min
y
max
2
(t1)
2

4
，
4
24
，
t[2,2]，
提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。
tan
< br>tan[(



)

]
1
3

tan(2



)tan[(


)

]1
解：

又由
2< br>



得




 

2
，
0



4
得
02



2

则


2



0
故
9
a[2,]
8
8.
2




3

4

9.
a(,1)

11
10.（1）
16
（2）
4

11.
(2k

,2k



2
)(2k


2

,2k



)
3
（
kZ
）
x
12. 当
x

4
时，
y
min
23
；

6
时，
y
max
4