雨季不在来-体育工作计划

三角函数总结及统练

一. 教学内容：
三角函数总结及统练

（一）基础知识
1. 与角

终 边相同的角的集合
S{

2k



,kZ }

2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是
x
、
y
、
r
三个量的比值
3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4. 三角函数线
正弦线MP=
sin


余弦线OM=
cos


正切线AT=
tan



5. 同角三角函数的关系
平方关系：商数关系：
倒数关系：
tan

cot

1

sin

csc

1

cos

sec

1

口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。


2k
















2





2




2



正弦
余弦
正切
余切
7. 两角和与差的三角函数
sin


cos


tan


cot


sin


cos


tan


cot


sin


cos


tan


cot


sin


cos


tan


cot


sin


cos


tan


cot


cos


sin


cot


tan


cos


sin


cot


tan



sin(



)sin

cos

cos

sin
< br>tan

tan


tan(



)

sin(



)sin

cos

cos

sin


1 tan

tan




cos(



)cos

cos

sin

sin


tan(



)< br>tan

tan


1tan

t an




)cos

cos
< br>sin

sin




cos(

8. 二倍角公式——代换：令






sin2< br>
2sin

cos


2222
< br>cos2

2cos

112sin

c os

sin


2tan


tan 2


1tan
2



1cos2


2
sin




2


cos
2


1cos2

< br>2
降幂公式


sin
半角公式：

2
1cos


1cos


1co s

costan
2221cos


2
；；
tan

2

1cos

sin


sin

1cos


9. 三角函数的图象和性质

函数
ysinx

ycosx

ytanx

图象



定义
域
R R


x|xR且xk

,kZ

2


[1,1]

[1,1]

x2k



2
时
值域
最值
x2k

时
y
max
1

y
max
1

x2k



时
y
min
1

R
无最大值
无最小值 < br>x2k



2
时
y
min
 1


周期性
奇偶性
周期为
2


奇函数
周期为
2


偶函数
周期为


奇函数
在
单调性
[2k



2
,2k



2

]
在
[2k



,2k

]
上都
是增函数，在



k

,k



22

内在

都是增函数（
kZ
）
上都是增函数；在
3
[2k

,2k


]
22

上都是减函数（
kZ
） 
[2k

,2k



]
上都是< br>减函数（
kZ
）
10. 函数
yAsin(

x

)
的图象变换
A0,

0

函数
yAsin(

x

)
的图象可以通过下列两种方式得到：
1
横坐标缩短到原来 的倍
图象左移



（1）
ysinxy sin(x

)

A倍
ysin(

x

)

纵坐标伸长为 原来的
yAsin(

x

)



ysin(

x)

（2）
ysinx

1
横坐标缩短到原来的倍图象 左移
A倍
ysin(

x

)

纵坐 标伸长为原来的
yAsin(

x

)< br>

（二）数学思想与基本解题方法
1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4. 角的和与差的相对性
如：

(



)
－


角的倍角与半角的相对性
如：


2,2
224

5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6. 数形结合：心中有图，观图解题。
7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。
8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。

【典型例题】
yasinxbco sxa
2
b
2
sin(x

),tan
< br>
b
a
（化成一个角的一个三角函数） 1. 如：

< br>ysinxcosx2sin(x)；ysinx3cosx2sin(x)


43


y3sinxcosx2sin(x

)

6


[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
（1）
f(x)sinx2sinxcosx3cosx

2
f(x)sinxsinxcosx1
（2）
22
解：

（1）
y22sin(2x

4
，
y
max
22
，
)xk


8
(kZ)

y
min
22,xk


y
3

(kZ)
8

（ 2）
32

32
3

sin(2x)y
ma x

xk

(kZ)
224
，
2
，
8

y
min

32

xk

(kZ)
2
，
8

2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简
12sin

cos

sin

cos

2sin(



)
4

1sin

12sin

2
cos

2
sin

2
cos

2
2sin(

)
24


1cos

2sin
[例2] 化简
21sin8
答案：
2sin4

3. 化异为同

2
；
1cos

2cos

2
22cos8
。
[例3] 已知
tan

2
，求：
sin
2

2
sin

cos

22
（1）
sin

cos

（2）
3cos

sin


答案：（1）3；（2）
14


[例4] 已知
tan 2

22,

2
2cos
2



，求：

2
sin

1

sin

cos

答案：
322

4.
sin

cos

与
sin

cos

间的相互转化
t
21
sin

cos


sin

 cos

t
2
；
sin

t
2
1
；
sin

cos

= （1）若，则
2t
2

（2）若
sin

co s

t
，则
sin

cos

1 2t
；
sin

cos

12t
（3）
tan

cot


12

sin

cos

sin2



[例5] 化简：
tan

8
cot

8
。
答案：
22


[例6] 若

在第二象限，
sin

2
cos

2

5

sincos
2
，求
22
。
答案：

3
2

5. 互为余角的三角函数相互转化
若





2
，则
sin
cos

；
cos

sin




)
1

cos(

)
4
，则
6
。 [例7] 已知
sin(

3
1
答案：
4


sin40sin50

cos10
[例8] 求值： 。
1
答案：
2

[例9] 求值：
sin18sin54
。
1
答案：
4

6. 公式的变形及活用
（1）
tan

tan

tan(



)[1tan

tan

]

（2）若
AB

4
(1tanA)(1tanB)2

[例10] 计算
(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan45)
。
答案：
2


[例11]
tan70tan103tan70tan10
。
答案：
3


7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性
23
1
tan

 ,tan(



)2
3
[例12] 若，则
tan


。
答案：7

[例13] 若
5cos(



2
)7cos

2
0
，则
tan



2< br>tan

2

。
答案：
6


[例14] 在
ABC
中，A为 最小角，C为最大角，且
cos(2AC)0.8
，
sinB0.8
，求
cos(2B2C)
的值。
527
答案：
625

8. 角的范围的限定
由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。
1
sin
cos

,

(0,

)
3
[例15] 已知，求
cos2

。

17
9
答案：

[例16] 若

是 第二象限角且
sin

2
cos

2

5

sincos
2
，求
22
的值。
解法 一：利用公式
(sin

cos)
2
1sin
22
然后限定角的范围。

解法二：设
sin

2< br>cos

2
t
利用平方和求
t
的值，然后限定角 的范围。
解法三：利用
(sin

cos)(sincos)
2222
cos

，可回避限定角的范围。

答案：

3
2

9. 在三角形中的有关问题
AB

C

ABC180
；
AB180C< br>；
222

结论：
sin(AB)sinC
；
c os(AB)cosC

sin
ABCABC
coscoss in
22
；
22

[例17] 已知A、B、C是
ABC
的内角且
lgsinAlgsinBlgcosClg2
，试判断此三角形的形状。
答案：等腰三角形，B=C

[例18] 在锐角三角形ABC中， 求证：
sinAsinBsinCcosAcosBcosC

证明：由
AB

2
则
0< br>
2
BA

2

故
sinAcosB
同理
sinBcosC

sinCcosA

三式相加，得证。
n
10. 形如cos2

cos4

cos8

cos2
的化简

2

4

coscoscos
777
[例19] 求值：（1）
cos36cos72
（2）
11

答案：（1）
4
（2）
8

11. 三角函数图像和性质的应用
会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套 ”）；会解——简单的三角
不等式、三角方程、比较大小。
[例20] 求下列函数的定义域。
（1）
ylgsin(cosx)

（2）
y2log
0.5
xtanx

答案： （1）
(2k



2
,2k

< br>
2
)(kZ)

(0,)[

,4]
2
（2）

[例21] 求下列函数的值域。

（1）
y
sinx
x[0,

]
2sinx

（2）若
x
是锐角，则
ysinxcosx
的值域。
1
[0,]
3
（2）
(1,2]
答案：（1）
12. 可化为形如：
yAsin(

x
< br>)B
的形式（一个角的一个三角函数）

22
y3cosx23sinxcosxsinx
，求“一套”[例22] 已知函数。
答案：
y2sin(2x

6
)2
，定 义域：R；值域：
[0,4]
，
y
max
4
，
y
min
0
；
T


对称轴
x
k


(kZ)[k

,k

]< br>2636
增区间：
减区间：
[k


6
,k


2

](kZ)
3

13. 函数
yAsin(

x

)B
的图像的变换——两个题型，两种途径
题型一：已知解析式
yAsin(

x

)B
确定其变换方法
变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。
注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与

的关系
题型二：由函数图像求 其解析式
yAsin(

x

)B

[例23] 已知函数
yAsin(

x

)
，（
A0,

0
，



2
）在一个周期内，当
x

6
时，
y
有最大值为2，当x
2

3
时，
y
有最小值为
2
， 求函数表达式，并画出函数
yAsin(

x

)
在一 个周期内的简图。（用五点法列表描点）
答案：
y2sin(2x

)
6

14. 可化为形如：
yatbtc
，
tD
（定义域有限制的一元二次函数）
2
y
[例24] 求函数
3
(2cosx)(5cosx)
的值域
11
[,]
解：
42


[例25] 已知
ycos2xasinx
，若记其最大值为
g(a)
，求
g(a)的解析式。
a
2
a
2
y(sinx)1
2 4
，当
a2
时，
g(a)
a
解：
a
2
g(a)1
2a2
4
当时，
当
a2
时，
g(a)a

15. 周期函数与周期
[例26] 已知函数
yf(x)
对定义域中每一个
x< br>都有
f(2xT)f(2x)
，其中
T0
，则
f(x)
的周期 。
解：T

[例27] 已知奇函数
yf(x)
对定义域中每一个
x
都有
f(x2)f(x)
成 立，求其周期。
解：4

[例28] 已知奇函数
yf(x)
对定义域中每一个
x
都有
f(x2)f(2x)
成立，求其周期。
解：8

[例29] 已知奇函数
yf(x)
对定义域中每一个
x
都有
解：6

[例30] 已知奇函数
yf(x)
对定义域中每一个
x
都有
解：6
16. 函数与方程的思想
[例31] 方程
100sinxx
的解的个数 。
解：63
f(x3)
1
f(x)
成立，求其周期。
f(x3)
1f(x)
1f(x)
成立 ，求其周期。
【模拟试题】
（答题时间：60分钟）

1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
66
f(x)sinxcosx

22
2. 已知
tan

2
，求：
sin

2sin

cos

3cos


3. 设
sin

cos


1
4
，则
sin

cos


。
4. 求
ysinxcosxsinxcosx
的最大值和最小值。
cos40sin50(13tan10)
5. 求值：
sin701cos40
。
6. 若
sin

cos


1
5
；

(0,
< br>)
，求
cot


tan(



)
11
tan


2
，
7
， 求
2



的值。 7. 已知

、

(0,

)
且
8.
a
为何值时方程
cos2xcosxa0
有解？
9. 方程
cos2xasinx0
，
x[0,

]
有两解时求
a
的值。
10. 求值：
（1）
cos20cos40cos60cos80

（2）
sin18sin54

11. 求下列函数的定义域。

ylgsinxtanx3

12. 已知函数
y3cosx23sinxcosxsinx
，当
和最小值及何时取到 ？




22
x[

,]
44
时，求函数的最大值

【试题答案】

3k

y1 sin
2
2x
y1
x(kZ)
max
42
1. ，，
y
min

1k

x(kZ)
4
，
24

6
11

2
2.
5
3.
4. 令
tsinxcosx
，
y
1333
y
max
2
(t1)
2
y
min

4
24
，
t[2,2]
，
4，
5.
2
6.

4
3

7.
提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。
解：
tan

tan[(



)

] 
1
3

tan(2



)ta n[(



)

]1


又由
2




得





2
，
0



4
得
02



2

则


2



0
故
2

< br>

3

4

9
a[2,]
8
8.
9.
a(,1)

11
10.（1）
16
（2）
4

(2k

,2k



2
11.
)(2k


2

,2k


)
3
（
kZ
）
x
12. 当
x< br>
4
时，
y
min
23
；

6
时，
y
max
4