东北财经大学研究生分数线-法制教育计划

2020年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）
理科数学
一、选择 题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1. 已知集合
A{(x,y)|x,yN
*
,y x}
，
B{(x,y)|xy8}
，则
AB
中元素的个数为
A. 2
2. 复数
B. 3 C. 4 D. 6
1
的虚部是
13i
31
A.

B.


1010
C.
1

10
D.
3

10
4
3. 在一组样本数据中，1、2、3、4出现 的频率分别为
p
1
，p
2
，p
3
，p
4< br>，且

p
i
1
，则下面四种情形
i1
中，对应样本的标准差最大的一组是
A.
p
1
p
4
 0.1，p
2
p
3
0.4

C.
p
1
p
4
0.2，p
2
p
3
0.3



B.
p
1
p
4
0.4， p
2
p
3
0.1

D.
p
1
p
4
0.3，p
2
p
3
0.2

4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立 了某地区
K
新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：< br>I(t)
，其中K为最
1e
0.23(t53)
大确诊病例 数。当
I(t
*
)0.95K
时，标志着已初步遏制疫情，则
t< br>*
约为（
ln193
）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
5. 设O为坐标原点，直线x = 2与抛物线
C:y< br>2
2px(p0)
交于D、E两点，若
ODOE
，则C的
焦点坐标为
1
A.
(,0)

4
1
B.
(,0)

2
C.
(1,0)
D.
(2,0)

6. 已知向量a、b满足
|a|5，|b|1，ab 6
，则
cosa,ab

A.

31

35
B.

19

35
C.
17

35
D.
19

35
2
7. 在
ABC
中，
cosC，AC4，B C3
，则
cosB

3
111
A. B. C.
93
2
8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
D.
2

3
A.
642

B.
442

C.
623

D.
423


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
9. 已知
2tan

tan(
< br>)7
，则
tan



4
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
1
10. 若直线l与曲线
y x
和圆
x
2
y
2

都相切，则l的方程为
5
1111
A.
y2x1
B.
y2x
C.
yx1
D.
yx

2
222
x
2
y
2
11. 设双曲线
C :
2

2
1(a0,b0)
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，离心率为
5
。P是C上一点，
ab
且< br>F
1
PF
2
P
。若
PF
1
F< br>2
的面积为4，则a =
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
12. 已知
5
5
8
4
，
134
8
5
。设
alog
5
3，blog
8
5，clog
13
8
，则
A.
abc
B.
bac
C.
bca

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
D.
cab


xy0,

13. 若x、y满足约束条件

2x y0,
则
z3x2y
的最大值为____________。

x1,

2
14.
(x
2
)6
的展开式中常数项是____________（用数字作答）。
x
15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________。
1
16. 关于函数
f(x)sinx
有如下四个命题：
sinx
①
f(x)
的图像关于y轴对称。
②
f(x)
的图像关于原点对称。
③
f(x)
的图像关于 直线
x
④
f(x)
的最小值为2。
其中所有真命题的序号是________________。
三、解答题：共70分。解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. （12分）
设数列
{a
n
}
满足
a< br>1
3，a
n1
3a
n
4n
。
（1 ）计算
a
2
，a
3
，猜想
{a
n
}
的通项公式并加以证明；
（2）求数列
{2
n
a
n
}< br>的前n项和
S
n
。






2
对称。
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18. （12分）
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气 质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理
数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
1（优）
2（良）
3（轻度污染）
4（中度污染）
[0,200]
2
5
6
7
(200,400]
16
10
7
2
(400,600]
25
12
8
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或
4 ，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的
22
列联表，并根据列联表，判断 是否有
95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

空气质量好
空气质量不好
n(adbc)
2
附：
K
，
(ab)(cd)(ac)(bd)
2
人次 ≤ 400


人次 > 400









19. （12分）
如图，在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D1中，点E、F分别在棱DD
1
、 BB
1
上，且2DE = ED
1
，BF = 2FB
1
。
（1）证明：点C
1
在平面AEF内；
（2）若AB = 2，AD = 1，AA
1
= 3，求二面角A—EF—A
1
的正弦值。















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20. （12分）
x
2
y
2
15
已知椭圆
C:
2
1(0m5)
的离心率为，A、B分别为C的左、右顶点。
4
25m
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x = 6上，且
|BP||BQ|，BPBQ
，求
APQ
的面积。







21. （12分）
1 1
设函数
f(x)x
3
bxc
，曲线
yf(x)< br>在点
(,f())
处的切线与y轴垂直。
22
（1）求b；
（2）若
f(x)
有一个绝对值不大于1的零点，证明：
f(x)
所有零点 的绝对值都不大于1。






（二）选考 题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
22. [选修
44
：坐标系与参数方程]（10分）
2
< br>
x2tt,
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

( t为参数且t1)
，C与坐标轴交于A、
2


y23tt ,
B两点。
（1）求
|AB|
；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程。




23. [选修
45
：不等式选讲]（10分）
设
a,b,cR，abc0，abc1
。
（1）证明：
abbcca0
；
（2）用
max{a,b, c}
表示
a，b，c
的最大值，证明：
max{a,b,c}
3< br>4
。



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