保定师范学校-告白词

.

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项
符合题目要求)
π
3
π
1．已知α∈(
2
，π)，sinα＝
5< br>，则tan(α＋
4
)等于( )
1
A.
7

1
C．－
7

B．7
D．－7
2．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是( )
A．2π
π
C.
4

B．4π
π
D.
2

3．“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的( )
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
ππ
4．函数y＝2sin(
3
－x) ＋cos(
6
＋x)(x∈R)的最小值等于( )
A．－3
C．－1
B．－2
D．－5
5．已知△ABC的周长为4(2＋1)，且sinB＋sin C＝2sinA，则角A的对边a的
值为( )
A．2
C.2
B．4
D．22
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA＝bs inB，
则sinAcosA＋cos
2
B＝( )
1
A．－
2

C．－1
1
B.
2

D．1
ππ
7．已知函数f(x)＝ 2sinωx(ω>0)在区间[－
3
，
4
]上的最小值是－2，则ω的最< br>.

.
小值等于( )
2
A.
3

C．2
3
B.
2

D．3
πππ
1
πβ
3
8．(2011·浙江)若0<α<
2
，－
2
<β<0，cos (
4
＋α)＝
3
，cos(
4
－
2
)＝< br>3
，则cos(α
β
＋
2
)＝( )
3
A.
3

53
C.
9

3
B．－
3

6
D．－
9

1－sinθ
的值是( )
θθ
cos
2
－sin
2
θ
1
9．已知θ为第二象限角，且cos＝－，那么
22
1
B.
2

D．2
A．－1
C．1
10．(2013·大纲全国)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是( )
A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称
π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝
2
对称
3
C．f(x)的最大值为
2

D．f(x)既是奇函数，又是周期函数
ππ
11.把函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<
2
)的图像向左平移
3
个单位，所得曲线的
一部 分如图所示，则ω，φ的值分别为( )

π
A．1，
3

π
B．1，－
3

.

.
π
C．2，
3

π
D．2，－
3

12．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小< br>π
正周期为6π，且当x＝
2
时，f(x)取得最大值，则（ )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线
上)
1 3．已知tan
2
θ＝2tan
2
φ＋1，则cos2θ＋sin
2
φ的值为________．
π
14．在△ABC中，若b＝5，∠B＝
4
，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.
15．(201 3·课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，
则cosθ＝__ ______.
16．下面有五个命题：
①函数y＝sin
4
x－cos
4
x的最小正周期是π.
kπ
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝
2
，k∈Z}．
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像和函数y＝x的图像有三个公共点．
ππ
④把函数y＝3sin(2x＋
3
)的图像向右平移
6
得到y＝3sin2 x的图像．
π
⑤函数y＝sin(x－
2
)在[0，π]上是减函数．
其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)
．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17．(本小题满分10分)
6cos
4
x＋5sin
2
x－4
已知函数f(x)＝，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求
cos2x
其值域．
.

.
18．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝
sinx－cosxsin2x
.
sinx
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
19．(本小题满分12分)
(2013·大 纲全国)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋
c)(a－b＋c)＝ac .
(1)求B；
(2)若sinAsinC＝
3－1
4
，求C.
20．(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ac＝a
2
＋c
2
－b
2
.
(1)求角B的大小；
→
－BC
→
|＝2，求△ABC面积的最大值． (2)若|BA
21．(本小题满分12分)
→
·
→
＝8，∠BA C在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，ABAC
＝θ，a＝4.
(1)求bc的最大值及θ的取值范围．
π
(2)求函数f(θ)＝23sin2
(
4
＋θ)＋2cos
2
θ－3的最值．
22．(本小题满分12分)
1
ππ
已知函数f(x)＝(1＋
t anx
)sin
2
x＋msin(x＋
4
)sin(x－
4
)．
π3π
(1)当m＝0时，求f(x)在区间[
8
，
4
]上的取值范围；
3
(2)当tan α＝2时，f(α)＝
5
，求m的值．

.

.
答案
一、选择题1．
答案，A
π
343
π
t anα＋1
解析，∵α∈(
2
，π)，sinα＝
5
，∴cosα＝ －
5
，tanα＝－
4
.∴tan(α＋
4
)＝
1 －tanα
1
＝
7
.
2．
答案，D
1
2ππ
解析，y＝sin2xcos2x＝
2
sin4x，所以最小正周期为T＝< br>4
＝
2
.
3．
答案，B
解析，若等式sin (α＋γ)＝sin2β成立，即α＋γ＝2β＋2kπ，或α＋γ＋2β＝π＋
2kπ，k∈Z；若α ，β，γ成等差数列，即α＋γ＝2β，可得等式sin(α＋γ)＝sin2β
成立．
4．
答案，A
ππππππ
解析，y＝2sin(
3
－x)＋cos(
6
＋x)＝2cos[
2
－(
3
－x)]＋cos(
6
＋x)＝2cos(
6
＋x)＋
ππ
cos(
6
＋x)＝3cos(
6
＋x)．
5
当x＝
6
π＋2kπ，k∈Z时，y
min
＝－3.
5．
答案，B
解析，因为sinB＋sinC＝2sinA，所以由正弦定理得b ＋c＝2a，又周长为
4(2＋1)，所以a＝4.
6．
答案，D
解析，∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin
2
B.
.

.
∴sinAcosA＋cos
2
B＝sin
2< br>B＋cos
2
B＝1.
7．
答案，B
ππ
T< br>πππ
3
解析，方法一：画图知[－
3
，]内包含最小值点，∴≤，即 ≤，∴ω≥
4432ω32
.
ππ
方法二：∵f(x)＝2sinωx(ω >0)在区间[－
3
，
4
]上的最小值是－2时，ωx＝2kπ
< br>ω≥8k－2，

π
2kπ
ππ
2kπ
ππ
－
2
，x＝
ω
－
2ω
(k∈Z)，∴－
3
≤
ω
－
2ω
≤
4
，得

－12k＋3ω≥

2

8．
答案，C
ππ
3
πβπππ
22
解析，根据条件可得α＋
4
∈(
4
，
4
π)，
4
－
2
∈(
4
，
2
) ，所以sin(α＋
4
)＝
3
，
πβ
6
sin(< br>4
－
2
)＝
3
.
βππβ
所以cos(α ＋
2
)＝cos[(
4
＋α)－(
4
－
2
)]
ππβππβ
＝cos(
4
＋α)cos(
4
－2
)＋sin(
4
＋α)sin(
4
－
2
)
1322653
＝
3
×
3
＋
3
×
3
＝
9
.
9．
答案，C
θθ
1
θ< br>解析，由θ为第二象限角知
2
在第一、三象限，又由cos
2
＝－2
<0知
2
是第三
θθ
象限角，且cos
2
> sin
2
.
1－sinθ
θθ
＝
cos
2
－sin
2
θθ
2
θθ
cos
2
－sin2
cos
2
－sin
2
θθ
＝
θθ
＝1.
cos
2
－sin
2
cos
2
－sin< br>2

3
⇒ω≥
2
.
故
10．
答案，C
解析，由题意知f(x)＝2cos
2
x·sinx＝2(1－s in
2
x)sinx.
.

.
令t＝sinx， t∈[－1,1]，则g(t)＝2(1－t
2
)t＝2t－2t
3
.
3
令g′(t)＝2－6t
2
＝0，得t＝±
3
.
当t＝±1时，函数值为0；
343
当t＝－
3
时，函数值为－
9
；
343
当t＝
3
时，函数值为
9
.
4343∴g(t)
max
＝
9
，即f(x)的最大值为
9
.故 选C.
11.
答案，D
1
2π7ππππ
解析，由题知，4
×
ω
＝
12
－
3
，∴ω＝2，∵函数的图像 过点(
3
，0)，∴2(
3
＋
ππ
)＋φ＝π.∴φ＝－< br>33
.故选D.
12．
答案，A
2π2π
1
解析，∵T＝6π，∴ω＝
T
＝
6π
＝
3
.
π< br>1
ππ
又∵f(
2
)＝2sin(
3
×
2< br>＋φ)＝2sin(
6
＋φ)＝2，
πππ
∴
6
＋ φ＝
2
＋2kπ，k∈Z，即φ＝
3
＋2kπ，k∈Z.
π
x
π
又∵－π<φ≤π，∴φ＝
3
.∴f(x)＝2sin(
3< br>＋
3
)．
5
ππ
7
∴f(x)的单调递增区间为[ －
2
π＋6kπ，
2
＋6kπ]，单调递减区间为[
2
＋6 kπ，
2
π
＋6kπ]，k∈Z.
观察各选项，故选A.
二、填空题13．答案，0
解析，由tan
2
θ＝2tan
2
φ＋1，得
cos2
θ－sin
2
θ
1－tan
2
θ
tan2
φ
cos2θ＝
2
＝＝－
2
.
cosθ＋sin
2
θ
1＋tan
2
θ
tan
φ＋1
.

.
tan
2
φ
∴cos2θ＋sin
φ＝－
2
＋sin
2
φ＝－sin
2
φ＋sin< br>2
φ＝0.
tan
φ＋1
2
25
14．答案，，
5
，210
sinA2
π
解析，∵tanA＝
cosA
＝2，∴sinA＝5
5.又∵b＝5，B＝
4
，根据正弦定理，
bsinA
得a＝
sinB
＝
2
5×
5
5
2
2
＝2 10.
25
15．答案，－
5

解析，f(x)＝sinx－2c osx＝5(
令cosα＝
12
sinx－cosx)，
55
12
，sinα＝－，则f(x)＝5sin(α＋x)．
55
π
当x＝2kπ＋
2
－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有 最大值5，即θ＝2kπ
π
＋
2
－α(k∈Z)，
ππ
2 25
所以cosθ＝cos(2kπ＋
2
－α)＝cos(
2
－α) ＝sinα＝－＝－
5
.
5
16．
答案，①④
解析 考查①y＝sin
2
x－cos
2
x＝－cos2x，所以最小正周期为π.
②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上．
③由y＝sinx在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x图像只有一个交点．
ππ
④y＝3sin(2x＋)图像向右平移个单位得
36
ππ
y ＝3sin[2(x－
6
)＋
3
]＝3sin2x.
π
⑤ y＝sin(x－
2
)＝－cosx在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．
三、解答题17．
11
答案，偶函数，{y|－1≤y<
2
或
2
.

.
π
kπ
π
解析，由cos2x≠0 ，得2x≠kπ＋
2
，解得x≠
2
＋
4
，k∈Z.
kπ
π
所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠
2
＋
4
，k∈Z}．
因为f(x)的定义域关于原点对称，
6cos
4
－x ＋5sin
2
－x－4
且f(－x)＝
cos－2x
6 cos
4
x＋5sin
2
x－4
＝＝f(x)，
cos2x
所以f(x)是偶函数．
kπ
π
当x≠
2
＋
4
，k∈Z时，
6cos
4
x＋5sin
2
x－4
f(x)＝
c os2x
2cos
2
x－13cos
2
x－1
2< br>＝＝3cosx－1，
cos2x
11
所以f(x)的值域为{y|－1≤y <
2
或
2
18．
答案，(1){x∈R|x≠kx，k∈Z}，T＝π
3π7π
(2)[kπ＋
8
，kπ＋
8
](k∈Z)
解析，(1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)．
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
sin2x
因为f(x)＝(sinx－cosx)
sinx

＝2cosx(sinx－cosx)
＝sin2x－cos2x－1
π
＝2sin(2x－
4
)－1，
2π
所以f(x)的最小正周期T＝
2
＝π.
π3π
(2 )函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋
2
，2kπ＋
2
](k∈Z )．
ππ3π
由2kπ＋
2
≤2x－
4
≤2kπ＋
2
，x≠kπ(k∈Z)，
.

.
3π7π
得kπ＋
8
≤x≤kπ＋
8
(k∈Z)．
3π7π
所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋
8
，kπ＋
8
] (k∈Z)．
19．
答案，(1)120° (2)15°或45°
解析，(1 )因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a
2
＋c
2
－b
2
＝－ac.
a
2
＋c
2
－b
2
1由余弦定理，得cosB＝
2ac
＝－
2
，因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，
所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAs inC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝
3－1
13
c os(A＋C)＋2sinAsinC＝
2
＋2×
4
＝
2
.
故A－C＝30°或C－A＝30°，因此C＝15°或C＝45°.
20．
π
答案 (1)
3
，(2)3
解析 (1)∵在△ABC中，ac＝a
2
＋c
2
－b
2
， a
2
＋c
2
－b
2
1
∴cosB＝
2 ac
＝
2
.
π
∵B∈(0，π)，∴B＝
3
.
→
－BC
→
|＝2，∴|CA
→
|＝2，即b＝2. (2)∵|BA
∴a
2
＋c
2
－ac＝4.
∵a
2
＋c
2
≥2ac，当且仅当a＝c＝2时等号成立，
∴4＝a
2
＋c
2
－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤4.
13
∴△ABC的面积S＝
2
acsinB＝
4
ac≤3.
∴当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积取得最大值为3.
21．
π
答案 (1)16,0<θ<
3
(2)f(θ)
min
＝2 f(θ)
max
＝3
→
·
→
＝8，∠BAC＝θ，∴bc·解析 (1)∵ABACcosθ＝8.
.

.
又∵a＝4，∴b
2
＋c
2
－2bccosθ＝4
2
，即b
2
＋c
2
＝32.
又b
2
＋c
2
≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16.
88
而bc＝
cosθ
，∴
cosθ
≤16.
1
π
∴cosθ≥
2
.又0<θ<π，∴0<θ≤
3
. π
(2)f(θ)＝23sin
2
(
4
＋θ)＋2cos
2
θ－3
π
＝3·[1－cos(
2
＋2θ)]＋1＋cos2θ－3
π
＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋
6
)＋1.
πππ5π
∵0<θ≤
3
，∴
6
<2θ＋
6
≤< br>6
.
1
π
∴
2
≤sin(2θ＋
6
)≤1.
π5ππ
1
当2θ＋
6
＝
6
，即θ＝
3
时 ，f(θ)
min
＝2×
2
＋1＝2；
πππ
当2θ＋< br>6
＝
2
，即θ＝
6
时，f(θ)
max
＝2 ×1＋1＝3.
22．
答案 (1)[0，
1＋2
2
] (2)－2
解析 (1)当m＝0时，f(x)＝sin
2
x＋sinxcosx
112
π
1
＝
2
(sin2x－cos2x)＋
2
＝
2
sin(2x－
4
)＋
2
.
π3π π5ππ
2
又由x∈[
8
，
4
]，得2x－
4∈[0，
4
]，所以sin(2x－
4
)∈[－
2
，1 ]，从而f(x)
1＋2
2
π
1
＝
2
sin(2x －
4
)＋
2
∈[0，
2
]．
1－cos2x1mm1
(2)f(x)＝sinx＋sinxcosx－
2
cos2x＝＋si n2x－cos2x＝
2222
[sin2x－(1
2
1
＋m)co s2x]＋
2
，
由tanα＝2，得sin2α＝
2sinαcosα2tanα4
＝＝，
sin
2
α＋cos
2
α
1＋tan
2
α
5
.

.
cos
2
α－sin
2
α
1－tan
2
α
3
cos2α＝
2
＝＝－
5
.
sin
α＋cos
2
α
1＋tan
2α
31431
所以
5
＝
2
[
5
＋(1 ＋m)
5
]＋
2
，得m＝－2.


.