垂杨柳-宁夏教育院

2016
年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（文科）



一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1< br>．复平面内表示复数
z=cos2
+
isin3
的点位于（ ）

A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限

2
．已知集合
A=
{
3
，
log
2
（
a
2
+
3a
）}，
B=
{
a
，
b
}，若
A∩
B=
{
2
}，则集合
A
∪
B
所有元 素的和
等于（ ）

A
．
1 B
．
5 C
．
6 D
．
1
或
6
3
．执行如图所示的程序框图，输出
c
的结果为（ ）


A
．
13 B
．
21 C
．
17 D
．
15
4
．已知直线
ax
﹣
by
+< br>c=0
（
abc
≠
0
）与圆
O
：
x
2
+
y
2
=1
相离，且|
a
|+|
b
|＞|
c
|，则|
a
|，|
b
|，
|
c
|为边长的三角形是（ ）

A
．锐角三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．不存在

5
．从六个数
1
，
3
，
4
，
6
，
7
，
9
中任取
4
个数，则这四个数的平均数是
5< br>的概率为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

6
．如图所示的某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）


A
．
2 B
．
3 C
．
D
．
6
+
μ
|
7
．已知点
A
（
1
，1
），
B
（
2
，
1
），
C
（
1
，
2
），若
λ
∈[﹣
1
，
2< br>]，
μ
∈[
2
，
3
]，则|
λ
的取 值范围是（ ）

第1页（共20页）

A
．[
2
，
10
]
B
．[，]
C
．[
1
，
5
]
D
．[
2
，]

8
．在直角坐标平面内，过定点
P
的直线
l
：
ax
+
y
﹣
1=0
与 过定点
Q
的直线
m
：
x
﹣
ay
+
3=0
相
交于点
M
，则|
MP
|
2
+|< br>MQ
|
2
的值为（ ）

A
．
B
．
C
．
5 D
．
10
9
．将函数< br>y=cos
4
x
+
sin
2
x
﹣（
x
∈
R
）图象向右平移
m
（
m
＞
0
）个单位长度后，所得到的图
象关于原点对称，则
m
的最小值为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．
10
．已知一个实心铁质的几何体的正视图和侧视图是全等的正三角形，俯视图是半径为
3
的圆，将
3
个这样的几何体熔成一个实心正方体，则正方体的表面积为（ ）

A
．
54 B
．
54 C
．
54 D
．
54
11
．已知函数
y=
在（
0
，
π
）上是（ ）

A
．增函数
B
．减函数

C
．既是增函数又是偶函数
D
．既是减函数又是偶函数

12
．已知双曲线﹣
=1
（
a
＞
0
，
b< br>＞
0
）的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2，
c
是半焦轴距，
P
是双曲线上异于顶点的点，满足
ctan< br>∠
PF
1
F
2
=atan
∠
PF
2
F
1
，则双曲线的离心率
e
的取值范围
是（ ）

A
．
C
．（
1
，
1
+）
B
．（，
1
+）

（
1
+，
1
+）
D
．（
1
+，+
∞
）



二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分

13
．已知命题
p
：若
x
2
﹣
1
＞
0
，则
x
＞
1
，命题
q
：若
x
2< br>﹣
1
＞
0
，则
x
＜﹣
1
，写出命题
p
∨
q
为
______
．

14
．已知实数
x
，
y
满足约束条件，则变量
z=x
+
y
的取值范围为
______
．

15
．已知函数
f
（
x
）
=
，则不等式
f
（
x
） ≤
0
的解集为
______
．

16
．已知函数< br>f
（
x
）
=
实数
m
的取值范围是
_ _____
．



三、解答题（共
5
小题，满分
60
分）

，若存在
x
∈（
1
，
2
]，使得
f
′
（< br>x
）
x
+
f
（
x
）＞
0
， 则
第2页（共20页）

17
．已知数列{
an
}的前
n
项和为
S
n
，满足
2S
n
+
a
n
=n
2
+
2n
+
2
，
n
∈
N
*
，数列{
b
n
}满足
b
n
=a
n
﹣
n
．

（Ⅰ）求数列{
b
n
}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{nb
n
}的前
n
项和
T
n
．

18
．如图已知三棱锥
P
﹣
ABC
，
PA
⊥平面
ABC
，
AB=AC=PA=2
，∠
BAC=90
°
，
D
，
E
分别
为
AB
，
PC
的 中点，
BF=2FC
．

（
I
）求证：
PD
∥平面
AEF
；

（Ⅱ）求几何体
P
﹣
AEF
的体积．


19
．某校高三文科
500
名学生参加了
1
月份的模拟考试，学校为 了了解高三文科学生的数学、
语文情况，利用随机表法从中抽取
100
名学生进行统计 分析，抽出的
100
名学生的数学、语
文成绩如表：

语文


优

良

及格

8 m 9
优

9 n 11
数学

良

8 9 11
及格

（
1
）将学生编号为
000
，
001
，
002
，
…
499
，
500
， 若从第五行第五列的数开始右读，请你依
次写出最先抽出的
5
个人的编号（下面是摘自 随机数表的第
4
～第
7
行）；

12 56 85 99 26

96 96 68 27 31

05 03 72 93 15

57 12 10 14 21

88 26 49 81 76
55 59 56 35 64

38 54 82 46 22

31 62 43 09 90

06 18 44 32 53

23 83 01 30 30
16 22 77 94 39

49 54 43 54 82

17 37 93 23 78

87 35 20 96 43

84 26 34 91 64
84 42 17 53 31

57 24 55 06 88

77 04 74 47 67

21 76 33

50 25

83 92 12 06 76


（
2
）若数学成绩优秀率为
35%< br>，求
m
，
n
的值；


（
3
）在语文成绩为良的学生中，已知
m
≥
13
，
n
≥
11
，求数学成绩
“
优
”
比良的人数少的概率．
20．已知
F
是抛物线
C
：
y
2
=2px
（
p
＞
0
）的焦点，⊙
M
过坐标原点和
F
点，且圆心
M
到抛
物线
C
的准线距离为

（Ⅰ）求抛物线
C
的方程；

（Ⅱ）已知抛物线
C
上的点
N
（
s
，
4
），过
N
作抛物线C
的两条互相垂直的弦
NA
和
NB
，
判断直线
AB
是否过定点？并说明理由．

21
．已知函数
f
（x
）
=e
x
lnx
+，
x
＞
0 （Ⅰ）求曲线
y=f
（
x
）在
x=1
处的切线方程；< br>
（Ⅱ）函数
g
（
x
）
=

f
（
x
），求证：
g
（
x
）＞对
x< br>＞
0
恒成立．

第3页（共20页）

请考生在
22
、
23
、
24
三题中任选一题作答，如果 多做，则按所做的第一题计分．[选修
4-1
：
几何证明选讲]

2 2
．如图，过圆外一点
P
的直线交圆
O
于
A
、B
两点，
PE
是圆
O
的切线，
CP
平分∠APE
，
分别与
AE
、
BE
交于点
C
，
D
．

求证：（
1
）
CE=DE
；

（
2
）
=
．




[选修
4-4
：坐标系与参数方程]

23
．在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
上的点
M
满足：
M
到原 点的距离与
M
到直线
y=
﹣
p
（
p
＞0
）的距离之比为常数
e
（
e
＞
0
），直线< br>l
：
ρ
=
（Ⅰ）求曲线
C
的极坐标方程，并说明曲线
C
的形状；
< br>（Ⅱ）当
e=1
，
p=1
时，
M
，
N
分别为曲线
C
与直线
l
上的两动点，求|
MN
|的最小值 及此时
M
点的坐标．



[选修
4-5
：不等式选讲]

24
．已知函数
f
（
x
）
=
|
x
+
3
|﹣
m
+
1
，
m
＞
0
，
f
（
x
﹣
3
）≥
0
的解集为（﹣
∞
，﹣
2]
∪
[
2
，+
∞
）

．
（Ⅰ）求
m
的值；

（Ⅱ）若∃
x
∈< br>R
，
f
（
x
）≥|
2x
﹣
1
|﹣
t
2
+
t
成立，求实数
t
的取值范围．


第4页（共20页）

2016
年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共
12小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1
．复平面内表示复数
z=cos2
+
isin3
的点位于（ ）

A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】根据弧度
2
、
3
的范围，结合三角函数值的符号，进行判断即可．

【解答】解：∵＜
2
＜
3
＜
π
，

∴
cos2
＜
0
，
sin3
＞
0
，
∴复平面内表示复数
z=cos2
+
isin3
的点位于第二 象限．

故选：
B
．



2
． 已知集合
A=
{
3
，
log
2
（
a
2
+
3a
）}，
B=
{
a
，
b
}，若
A
∩
B=
{
2
}，则集合
A
∪B
所有元素的和
等于（ ）

A
．
1 B
．
5 C
．
6 D
．
1
或
6
【考点】交集及其运算．

【分析】根据
A
，
B
， 以及两集合的交集，确定出
a
与
b
的值，确定出
A
与
B
，进而求出两
集合的并集即可．

【解答】解：∵
A=
{
3
，
log
2
（
a
2
+
3a< br>）}，
B=
{
a
，
b
}，且
A
∩< br>B=
{
2
}，

∴
log
2
（a
2
+
3a
）
=2
，

解得：
a=1
或﹣
4
，
b=2
，

当
a=1
，
b=2
时，
A=
{
2
，3
}，
B=
{
1
，
2
}，此时
A∪
B=
{
1
，
2
，
3
}，即
A
∪
B
所有元素的和等
于
1
+
2
+
3=6
；

当
a=
﹣
4
，
b=2
时，
A=
{
2
，
3
}，
B=
{﹣
4
，
2
}，此时
A
∪
B=
{﹣
4
，
2
，
3
}，即
A
∪
B
所有元素
的和等于﹣
4
+
2
+
3=1
，

综上， 集合
A
∪
B
所有元素的和等于
1
或
6
，< br>
故选：
D
．



3
．执行如图所示的程序框图，输出
c
的结果为（ ）

第5页（共20页）

A
．
13 C
．
17 D
．
15
【考点】程序框图．

【分 析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件
就退出循环，输出 结果．

【解答】解：模拟执行程序，可得

a=1
，
b=1
，
c=1
满足条件
c
≤
10
，
a=1
，
b=1
，
c=2
满足条 件
c
≤
10
，
a=1
，
b=2
，
c=3
满足条件
c
≤
10
，
a=2
，
b =3
，
c=5
满足条件
c
≤
10
，
a= 3
，
b=5
，
c=8
满足条件
c
≤
10
，
a=5
，
b=8
，
c=13
不满足条件
c
≤
10
，退出循环，输出
c
的值为
13
．
故选：
A
．



4
．已知直线< br>ax
﹣
by
+
c=0
（
abc
≠
0
）与圆
O
：
x
2
+
y
2
=1相离，且|
a
|+|
b
|＞|
c
|，则|
a< br>|，|
b
|，
|
c
|为边长的三角形是（ ）

A
．锐角三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．不存在

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】由已知得＞
1
，从而
a
2
+
b
2
＜
c
2
，再由余弦定理得
cosC
＜
0
，由此得到三
B
．
21
角形为钝角三角形．

【解答】解 ：∵直线
ax
﹣
by
+
c=0
（
abc
≠
0
）与圆
O
：
x
2
+
y
2
=1
相离，且|
a
|+|
b
|＞|
c
|，

∴圆心
O
（
0
，
0
）到直线
ax﹣
by
+
c=0
（
abc
≠
0
）的距 离大于半径
1
，

∴＞
1
，化简可得
a
2
+
b
2
＜
c
2
，

∴
a
2
+
b
2
＜
c
2
=a
2
+
b
2
﹣
2abcosC
，

∴
cosC
＜
0
，∴∠
C
是钝角，

故此三角形为钝角三角形，

故选：
C
．



5
．从六个数
1
，
3
，
4
，< br>6
，
7
，
9
中任取
4
个数，则这四个数的平 均数是
5
的概率为（ ）

第6页（共20页）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】从六个数< br>1
，
3
，
4
，
6
，
7
，< br>9
中任取
4
个数，先求出基本事件总数，再用列举法求

出这 四个数的平均数是
5
包含的基本事件个数，由此能求出这四个数的平均数是
5
的概率．
【解答】解：从六个数
1
，
3
，
4
，6
，
7
，
9
中任取
4
个数，

基本事件总数为
=15
，

这四个数的平均数是
5
包含的基本事件有：

（
1
，
3
，
7
，
9
），（
1
，
4，
6
，
9
），（
3
，
4
，
6
，
7
），共
3
种，

∴这四个数的平均数是
5
的概率为
p==
．

故选：
C
．



6
．如图所示的某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）


A
．
2 B
．
3 C
．
D
．
6
【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥
P
﹣
ABCD
，其中侧面
PAB
⊥底面
ABCD
，侧面
PAD
⊥底面
ABCD
．利用体积计算公式即可得出．
【解答】．解：由三视图可知：该几何体为四棱锥
P
﹣
ABCD
，

其中侧面
PAB
⊥底面
ABCD
，侧面
PAD
⊥底面
ABCD
．

∴
V=
×
故选：
A
．

×
2=2
．




7
．已知点
A
（
1
，
1
），
B
（
2
，
1
），
C
（
1
，
2
），若
λ< br>∈[﹣
1
，
2
]，
μ
∈[
2
，3
]，则|
λ
的取值范围是（ ）

第7页（共20页）

+
μ
|

A
．[
2
，10
]
B
．[，]
C
．[
1
，
5
]

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】先求出
λ
+
μ
D
．[
2
，]

2
]，
3
]，< br>μ
∈[
2
，的坐标，结合
λ
∈[﹣
1
，求得 |
λ
+
μ
|
=
的最值．

【解答】解： ∵点
A
（
1
，
1
），
B
（
2，
1
），
C
（
1
，
2
），若
λ
∈[﹣
1
，
2
]，
μ
∈[
2
，
3
]，

∴
λ
=
λ
（
1
，
0
）
=
（
λ
，
0
），
μ
=
μ
（
0
，
1
）
=
（
0
，
μ
），

∴
λ
+
μ
=
（λ
，
μ
），

则|
λ
+
μ
|
=
的最小值为
2
，最大值为
=
，

故选：
D
．



8
．在直角坐标平面内 ，过定点
P
的直线
l
：
ax
+
y
﹣
1=0
与过定点
Q
的直线
m
：
x
﹣
ay
+
3=0
相
交于点
M
，则|
MP
|
2
+|
MQ
|
2
的值为（ ）

A
．
B
．
C
．
5 D
．
10
【考点】恒过定点的直线．

【分析】由已知得
P
（
0，
1
），
Q
（﹣
3
，
0
），过定点< br>P
的直线
ax
+
y
﹣
1=0
与过定点
Q
的直线
x
﹣
ay
+
3=0
垂直，
M< br>位于以
PQ
为直径的圆上，由此能求出|
MP
|
2
+ |
MQ
|
2
的值即可．

【解答】解：∵在平面内，过定点
P
的直线
ax
+
y
﹣
1=0
与过定点Q
的直线
x
﹣
ay
+
3=0
相交
与点
M
，

∴
P
（
0
，
1
） ，
Q
（﹣
3
，
0
），

∵过定点
P
的直线
ax
+
y
﹣
1=0
与过定点
Q< br>的直线
x
﹣
ay
+
3=0
垂直，

∴
M
位于以
PQ
为直径的圆上，

=
∵|
PQ
|
=
，

∴|
MP< br>|
2
+|
MQ
|
2
=10
，

故选：
D
．



9
．将函数
y =cos
4
x
+
sin
2
x
﹣（
x
∈
R
）图象向右平移
m
（
m
＞
0
）个单 位长度后，所得到的图
象关于原点对称，则
m
的最小值为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】函数
y=Asin
（
ω
x
+
φ
）的图 象变换；三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由条件利用函数
y=Asin
（
ω
x
+
φ
）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得
m
的最小值．

【解答】解：将函数
y=cos< br>4
x
+
sin
2
x
﹣
=
=
﹣
=cos4x
+﹣
=
﹣
的图象向右平移
m
（< br>m
＞
0
）个单位长度后，可得函数
y=cos4
（
x
﹣
m
）
=cos
（
4x
﹣
4m
）
的图象，

第8页（共20页）

根据所得到的图 象关于原点对称，可得
4m=k
π
+
则
m
的最小值为，
，即
m=
+，
k
∈
Z
，

故选：
A
．



10
．已知一个实心铁 质的几何体的正视图和侧视图是全等的正三角形，俯视图是半径为
3
的圆，将
3
个这样的几何体熔成一个实心正方体，则正方体的表面积为（ ）

A
．
54 B
．
54 C
．
54 D
．
54
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】几何体为 圆锥，底面半径为
3
，利用体积相等求出正方体的棱长，得出表面积．

【解 答】解：∵实心铁质的几何体的正视图和侧视图是全等的正三角形，俯视图是半径为
3
的圆，< br>
∴铁质几何体为轴截面为正三角形的圆锥，底面半径
r=3
，

∴圆锥的高
h=3
．

设正方体棱长为
a
，则a
3
=3
×
∴
a=3
，

．

=27
，

∴正方体的表面积
S=6a
2
=54< br>故选：
A
．



11
．已知函数
y=
在（
0
，
π
）上是（ ）

A
．增函数
B
．减函数

C
．既是增函数又是偶函数
D
．既是减函数又是偶函数

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调性即可．

【解答】解：
y
′
=
，

令
f
（
x
）
=xcosx
﹣
sinx
，
f
′（
x
）
=
﹣
xsinx
＜
0
，

∴
y
′
=
在（
0
，+
∞
）递 减，

∴
=
（﹣
sinx
）
=0
，

∴
y
′
=
＜
0
在（
0
，
π
）恒成立，

第9页（共20页）

∴函数
y=< br>在（
0
，
π
）上是减函数，

而定义域是（
0
，
π
），不具有对称性，

故选：
B
．



12
．已知双曲线﹣< br>=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
） 的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，
c
是半 焦轴距，
P
是双曲线上异于顶点的点，满足
ctan
∠
PF
1
F
2
=atan
∠
PF
2
F
1
，则双曲线的离心率
e
的取值范围
是（ ）

A
．
C
．（
1
，
1
+）
B
．（，
1
+）

（
1
+，
1
+）
D
．（
1
+，+
∞
）

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由题意可得
e==
，设P
（
m
，
n
）为双曲线的右支上一点，由
F
1
（﹣
c
，
0
），
F
2
（﹣
c，
0
），运用直线的斜率公式和
m
＞
a
，解不等式即可 得到所求范围．

【解答】解：由
ctan
∠
PF
1
F
2
=atan
∠
PF
2
F
1
，

可得
e==
，

设
P
（
m
，
n
）为双曲线的右支上一点，

由
F
1
（﹣
c
，
0
），
F
2
（﹣
c
，
0
），

可得
=
﹣
•
=
﹣
=
﹣
1
﹣，

由
m
＞
a
可得﹣
1
﹣
即有
e
+
1< br>＞
＞﹣
1
+
=
﹣
1
+，

．

，即
e
2
﹣
2e
﹣
1
＞
0
，解得
e
＞
1
+
故选：
D
．



二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分

13
．已知命题
p
：若
x
2
﹣
1
＞
0
，则
x
＞
1
，命题
q
：若
x
2< br>﹣
1
＞
0
，则
x
＜﹣
1
，写出命题
p
∨
q
为 若
x
2
﹣
1
＞
0
，则
x
＞
1
或
x
＜﹣
1
．

【考点】复合命题．

【分析】利用
“
或命题
”
的定义即可得出．

【解 答】解：由命题
p
：若
x
2
﹣
1
＞
0，则
x
＞
1
，命题
q
：若
x
2
﹣
1
＞
0
，则
x
＜﹣
1
，
< br>则命题
p
∨
q
为：
“
若
x
2
﹣
1
＞
0
，则
x
＞
1
”
或“
若
x
2
﹣
1
＞
0
，则
x< br>＜﹣
1
”
，即
“
若
x
2
﹣
1
＞
0
，则
x
＞
1
或
x
＜﹣1
”
，

故答案为：若
x
2
﹣
1＞
0
，则
x
＞
1
或
x
＜﹣
1
．



第10页（共20页）

14
．已知实数
x
，
y
满足约束条件

，则变量
z=x
+
y
的取值范围为 [
2
，
8
] ．
【考点】简单线性规划．

【分析 】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数
z=x
+
y< br>的最
小值和最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分
ABC
）．
< br>由
z=x
+
y
得
y=
﹣
x
+
z
，平移直线
y=
﹣
x
+
z
，

由图象可知当直线
y=
﹣
x
+
z
经过点
A
时，

直线
y=
﹣
x
+
z
的截距最小， 此时
z
最小．

由，解得，即
A
（
2
，
0
），

代入目标函数
z=x
+
y
得
z=2
．

即目标函数
z=x
+
y
的最小值为
2
．

当直线
y=
﹣
x
+
z
经过点
B
时 ，

直线
y=
﹣
x
+
z
的截距最大，此时
z
最大．

由，解得，即
B
（
5
，
3
），

代入目标函数
z=x
+
y
得
z=5
+
3=8
．

即目标函数
z=x
+
y
的最大值为
8
．

即
z=x
+
y
的取值范围为[
2
，
8]，

故答案为：[
2
，
8
]．




15
．已知函数
f
（
x
）
=
，则不等式
f
（
x
）≤
0
的解集为 {
x
|
x
≥
1
或
x=0
或
x
≤﹣2
} ．

【考点】其他不等式的解法．

第11页（共20页）

【分析】不等式
f
（x
）≤
0
等价于或，解得即可．

【解答】解：函数
f
（
x
）
=
，则不等式
f
（
x
）≤
0
等价于
或，

解得
x
≥
1
或< br>x=0
或
x
≤﹣
2
，

故不等式的解集为{
x
|
x
≥
1
或
x=0
或
x
≤﹣
2
}

故答案为{
x
|
x
≥
1
或
x=0
或
x
≤﹣
2
}



16
．已知函数
f
（
x
）
=
， 若存在
x
∈（
1
，
2
]，使得
f
′
（
x
）
x
+
f
（
x
）＞
0，则
实数
m
的取值范围是 （﹣
∞
，） ．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】对
f
（
x
）求导，确定出不等式的等价结论为二次函数大于
0
，从而确定出
m
的范
围．

【解答】解：∵
f
（
x
）
=< br>∴
f
（
x
）定义域为（
0
，+
∞
） ，

f
′
（
x
）
=
构造函数
h< br>（
x
）
=xf
（
x
），

∴
h
′
（
x
）
=f
′
（
x
）•
x
+
f
（
x
）
=
∴存在
x
∈[
1
，
2
]使得：
x
2
﹣
mx
+
1
＞
0
，

令
g
（
x
）
=x
2
﹣
mx
+
1
，

∴
g
（
1
）＞
0
或
g
（
2）＞
0
即可，

m
＜
2
或
m
＜，

∴
m
＜，

故答案为：（﹣
∞
，）．



第12页（共20页）

，

，

＞
0
对存在
x
∈[
1
，
2
]成立 ，

三、解答题（共
5
小题，满分
60
分）
< br>17
．已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S< br>n
，满足
2S
n
+
a
n
=n
2+
2n
+
2
，
n
∈
N
*
，数 列{
b
n
}满足
b
n
=a
n
﹣
n
．

（Ⅰ）求数列{
b
n
}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{
nb
n
}的前
n
项和
T
n
．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（
I
）通过
2S
n
+
a
n
=n
2
+
2 n
+
2
与
2S
n+1
+
a
n+1
=
（
n
+
1
）
2
+
2
（
n
+
1
）+
2
作差、整理可知
3a
n+1
﹣
a
n
=2n
+
3
，利用
b
n
= a
n
﹣
n
化简可知
3b
n+1
=b
n，进而计算可得结论；

（
II
）通过（
I
）可知nb
n
=n
•
，进而利用错位相减法计算即得结论．

【解答】解：（
I
）由
2S
n
+
a
n
=n
2
+
2n
+
2
，
①

得
2S
1
+
a
1
=5
，即
a
1
=< br>，

2S
n+1
+
a
n+1
=
（< br>n
+
1
）
2
+
2
（
n
+< br>1
）+
2
，
②

②
﹣
①
得 ：
3a
n+1
﹣
a
n
=2n
+
3
，

∵
b
n
=a
n
﹣
n
，

∴
a
n
=b
n
+
n
，
a
n+1< br>=b
n+1
+
n
+
1
，

∴
3
（
b
n+1
+
n
+
1
）﹣（
b
n
+
n
）
=2n
+
3
，

整理得：
3b
n+1
=b
n
，

又∵
b
1
=a
1
﹣
1=
，

∴数列{
b
n
}是以首项为、公比为的等比数列，

∴
b
n
=
；

，

（
I I
）由（
I
）可知
nb
n
=n
•
∴
T
n
=2
（+
T
n
=2
（+
+
…
+），

+
…
++），

两式相减得：
T
n
=2
（++
…
+﹣）
=2
[﹣]
=1
﹣，

∴
T
n
=
（
1
﹣）．



18
．如图已知三棱锥
P
﹣
ABC
，
P A
⊥平面
ABC
，
AB=AC=PA=2
，∠
BAC=90
°
，
D
，
E
分别
为
AB
，
PC
的中点，
BF=2FC
．

（
I
）求证：
PD
∥平面
AEF
；

（Ⅱ）求几何体
P
﹣
AEF
的体积．

第13页（共20页）

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）在线段
BC
上，取
BG=GF
，连接
PG
，
DG
，利用中位线性质证明
GD
∥
AF
，
EF
∥
PG< br>，得到平面
PGD
∥平面
AEF
，从而得到
PD
∥平 面
AEF
；

（Ⅱ）求出三棱锥
P
﹣
AFC
的体积，结合
E
为
PC
中点，可得
P
﹣
AEF< br>的体积等于三棱锥
P
﹣
AFC
的体积的一半得答案．

【解答】（Ⅰ）证明：如图，

在线段
BC
上，取
BG=G F
，连接
PG
，
DG
，

在△
ABF中，∵
BG=GF
，
AD=DB
，∴
GD
∥
A F
，

在△
PCG
中，∵
CF=GF
，
P E=EC
，∴
EF
∥
PG
，

又
PG∩
GG
，∴平面
PGD
∥平面
AEF
，

则
PD
∥平面
AEF
；

（Ⅱ）解：∵
P A
⊥平面
ABC
，
AB=AC=PA=2
，∠
BAC=90
°
，

∴
又
E
为
PC
的中点，∴
=
，

．




19
．某校高三文科
500< br>名学生参加了
1
月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、
语文情况 ，利用随机表法从中抽取
100
名学生进行统计分析，抽出的
100
名学生的 数学、语
文成绩如表：

语文


优

良

及格

8 m 9
优

9 n 11
数学

良

8 9 11
及格

（
1
）将学生编号为
000
，
001
，
002，
…
499
，
500
，若从第五行第五列的数开始右读，请你依
次写出最先抽出的
5
个人的编号（下面是摘自随机数表的第
4
～第< br>7
行）；

第14页（共20页）

12 56 85 99 26

96 96 68 27 31

05 03 72 93 15

57 12 10 14 21

88 26 49 81 76
55 59 56 35 64

38 54 82 46 22

31 62 43 09 90

06 18 44 32 53

23 83 01 30 30
16 22 77 94 39

49 54 43 54 82

17 37 93 23 78

87 35 20 96 43

84 26 34 91 64
84 42 17 53 31

57 24 55 06 88

77 04 74 47 67

21 76 33

50 25

83 92 12 06 76


（
2
）若数学成绩优秀率为35%
，求
m
，
n
的值；


（3
）在语文成绩为良的学生中，已知
m
≥
13
，
n≥
11
，求数学成绩
“
优
”
比良的人数少的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】（
1
）利用随机数表法能求出
5
个人的编号．
< br>（
2
）由
=0.35
，能求出
m
，
n
．

（
3
）由题意
m
+
n=35
，且
m
≥
13
，
n
≥
11
，利用列举法能求出 数学成绩
“
优
”
比良的人数少的
概率．

【解答】 解：（
1
）由随机数表法得到
5
个人的编号依次为：
385
，
482
，
462
，
231
，
309
．< br>…

（
2
）由
=0.35
，得
m=18
，
< br>因为
8
+
9
+
8
+
18
+
n
+
9
+
9
+
11
+
11=100
，得
n=17
．
…

（
3
）由题意
m
+
n=35
，且
m
≥
13
，
n
≥
11
，

所以满足条件的（
m
，
n
）有：

（
13
，
22
）、（
14
，
21
）、（
15，
20
）、（
16
，
19
）、（
17
，
18
）、（
18
，
17
）、

（
19
，
16
）、（
20
，
15
）、（
2 1
，
14
）、（
22
，
13
）、（
23< br>，
12
）、（
24
，
11
）共
12
种，

且每组出现都是等可能的．
…

记：
“
数学 成绩
“
优
”
比
“
良
”
的人数少
”
为事件
M
，

则事件
M
包含的基本事件有（
13
，
22
）、（
14
，
21
）、（
1 5
，
20
）、（
16
，
19
）、（
17< br>，
18
）共
5
种，

所以
P
（
M
）
=
．
…



20
．已知
F
是抛物线
C
：
y
2
=2px
（
p
＞
0
）的焦点，⊙
M
过坐 标原点和
F
点，且圆心
M
到抛
物线
C
的准线距离为

（Ⅰ）求抛物线
C
的方程；

（Ⅱ）已知抛物线
C
上的点
N
（
s
，
4
），过
N
作 抛物线
C
的两条互相垂直的弦
NA
和
NB
，
判断直 线
AB
是否过定点？并说明理由．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】（
I
）根据圆的性质得出
M
到准线的距离，列方程解出p
；

（
II
）求出
N
（
4
，
4
）．设
A
，
B
坐标，求出
NA
，NB
，
AB
的斜率，根据垂直得出
y
1
，
y< br>2
的关系，代入
AB
的点斜式方程化简即可．

【解答】解： （
I
）抛物线的焦点为
F
（，
0
），准线方程为
x =
﹣．

∵⊙
M
过坐标原点和
F
点，∴
M
在直线
x=
上．

∴
M
到抛物线的准线的距离d=
∴抛物线方程为
y
2
=4x
．

第15页（共20页）

，解得
p=2
．

（
II
）把
y=4
代入抛物线方程得
x=4
．即
N
（
4
，
4
）．

设
A
（，
y
1
），
B
（，
y
2
）．

k
NA
==
，
k
NB
==
，
k< br>AB
==
．

∵直线
NA
和直线
NB
互相垂直，∴，即
y
1
y
2
=
﹣
4
（< br>y
1
+
y
2
）﹣
32
．

∴直线
AB
的方程为
y
﹣
y
1
=
（
x
﹣），即
y=
+
=
﹣
4
，

即
AB
方程为
y
+
4=
（
x
﹣
8
）．

∴直线
AB
过定点（
8
，﹣
4
）．



21
．已知函数
f
（
x
）
= e
x
lnx
+，
x
＞
0
（Ⅰ）求曲线
y =f
（
x
）在
x=1
处的切线方程；

（Ⅱ）函数
g
（
x
）
=f
（
x
），求证：
g
（
x
）＞对
x
＞
0
恒成立．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求出切线方程；

（Ⅱ）要证不等式成 立，只需求出左式的最小值大于右式的最大值即可．利用导函数分别求
出两式的最值，判断即可．

【解答】解（
I
）
f
（
x
）
=ex
lnx
+
∴
f'
（
x
）
=e
x
lnx
+
，
x
＞
0
+，

∴
f
（
1
）
=2
，
f'
（
1）
=e
，

∴切线方程为
y=ex
+
2
﹣
e
；
（
II
）证明：
g
（
x
）
=
∴
g'
（
x
）
=1
+
lnx
，

由
g'
（
x
）＞
0
得
x
＞，
g'
（
x
）＜
0
得
0
＜
x
＜，

∴
g
（
x
）在（
0
，）上是减函数，在（，+
∞
）上是递增函数，

在上是减函数，在上是增函数，

f
（
x
）
=xlnx
+，

第16页（共20页）

在
x=
时，
g< br>（
x
）取到最小值
g
（）
=
令
h
（
x
）
=
则
h'
（
x
）
=
由
h'
（< br>x
）＞
0
得
0
＜
x
＜
1
， 由
h'
（
x
）＜
0
得
x
＞
1，

∴
h
（
x
）在（
0
，
1
）上是增函数，在（
1
，+
∞
）上是减函数．

在
x=1
时，
h
（
x
）取到最大值
h
（1
）
=
，

∴对任意
x
＞
0
，都有
g
（
x
）＞成立．



请考生在
22
、
23
、
24
三题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题计分．[选修
4-1
：
几何证明选讲]

22
． 如图，过圆外一点
P
的直线交圆
O
于
A
、
B
两点，
PE
是圆
O
的切线，
CP
平分∠
APE< br>，
分别与
AE
、
BE
交于点
C
，
D
．

求证：（
1
）
CE=DE
；

（
2
）
=
．


【考点】相似三角形的判定．

【分析】（
1
）由弦切角定理得∠< br>A=
∠
BEP
，由角平分线性质得到∠
ECD=
∠
E DC
，由此能证
明
EC=ED
．

（
2
） 由已知条件推导出△
PBD
∽△
PEC
，△
PDE
∽△PCA
，由此能证明
【解答】证明：（
1
）∵
PE
是圆
O
的切线，∴∠
A=
∠
BEP
，

∵PC
平分∠
APE
，∴∠
A
+∠
CPA=
∠< br>BEP
+∠
DPE
，

∵∠
ECD=
∠A
+∠
CPA
，∠
EDC=
∠
BEP
+∠DPE
，

∴∠
ECD=
∠
EDC
，∴
EC=ED
．

（
2
）∵∠
PDB=
∠
EDC
，∠
EDC =
∠
ECD
，∠
PDB=
∠
PCE
，
< br>∴∠
BPD=
∠
EPC
，∴△
PBD
∽△
P EC
，

∴，

，

=
．
同理，△
PDE
∽△
PCA
，∴
∴
=
．

第17页（共20页）

[选修
4-4
：坐标系与参数方程]

23
．在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
上的点
M
满足：
M
到原 点的距离与
M
到直线
y=
﹣
p
（
p
＞0
）的距离之比为常数
e
（
e
＞
0
），直线< br>l
：
ρ
=
（Ⅰ）求曲线
C
的极坐标方程，并说明曲线
C
的形状；
< br>（Ⅱ）当
e=1
，
p=1
时，
M
，
N
分别为曲线
C
与直线
l
上的两动点，求|
MN
|的最小值 及此时
M
点的坐标．

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】（
I
）设点
M
的极坐标为
M
（
ρ
，
θ
），由题意可得：
的极坐标方程为：，对
e
分类讨论即可得出．

=e
，可得曲线
C
p=1
得：
x
2< br>=2y
+
1
．（
II
）由
e=1
，曲线C
的极坐标方程为
ρ
﹣
ρ
sin
θ
=1
，化成直角坐标方程：直
线
l
：
ρ
=
，把
y=< br>ρ
sin
θ
，
x=
ρ
cos
θ
代入 化为直角坐标方程．点
M
，
N
分别为
曲线
C
和直线
l
上的动点，设
M
（
x
0
，
y
0
）．|
MN
|的最小值就是
M
到
l
的距离最小值， 利
用点到直线的距离公式及其二次函数的单调性即可得出．

【解答】解：（
I
）设点
M
的极坐标为
M
（
ρ
，
θ
），由题意可得：
∴曲线
C
的极坐标方程为：，

=e
，

若
0
＜
e
＜
1
时，曲线
C
是椭圆；

若
e=1
时，曲线
C
是抛物线；

若
e
＞
1
时，曲线
C
是双曲线．

（
II
）由
e=1
，
p=1
得：曲线
C
的极坐标方程为
ρ
﹣
ρ
sin
θ
=1
，可得
ρ
=y
+
1
，两边平方可得：
ρ
2
=x
2
+
y
2
=y
2
+
2y
+
1，

化成直角坐标方程：
x
2
=2y
+
1
．

直线
l
：
ρ
=
的直角坐标方程为
x
﹣2y
﹣
4=0
，

点
M
，
N
分别为曲线
C
和直线
l
上的动点，设
M
（
x
0
，
y
0
）．

|
MN
|的最小值就是
M
到
l
的距离最小值，

∴|
MN
|min
=
当时，取
“
=
”
．

，此时
M
点的坐标为
M
第18页（共20页）

==
，

∴|
MN
|的最小值为．

[选修
4-5
：不等式选讲]

24
．已知函数
f
（
x
）
=
|
x
+
3
|﹣
m
+
1
，
m
＞
0，
f
（
x
﹣
3
）≥
0
的解集为（﹣< br>∞
，﹣
2
]
∪
[
2
，+
∞
）

．
（Ⅰ）求
m
的值；

（Ⅱ）若∃
x
∈
R
，
f
（
x
）≥|
2x
﹣1
|﹣
t
2
+
t
成立，求实数
t
的取 值范围．

【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．

【分析】（
1
）将不等式转化为|
x
|≥
m
﹣
1
，根 据其解集情况，确定
m
；

（
2
）将不等式转化为∃
x
∈
R
，|
x
+
3
|﹣|
2x
﹣
1
|≥﹣
t
2
+
t
+
2
成立， 左边构造函数，只要求
出其最大值，得到关于
t
的不等式解之即可．

【解答】解：（
I
）∵函数
f
（
x
）
=
|
x
+
3
|﹣
m
+
1
，
m
＞
0
，

f
（
x
﹣
3
）≥0
的解集为（﹣
∞
，﹣
2
]
∪
[
2< br>，+
∞
）．

所以
f
（
x
﹣
3
）
=
|
x
|﹣
m
+
1
≥0
，

所以|
x
|≥
m
﹣
1
的解集为为（﹣
∞
，﹣
2
]
∪
[
2
，+< br>∞
）．

所以
m
﹣
1=2
，

所以
m=3
；

…

（
II
） 由（
I
）得
f
（
x
）
=
|
x+
3
|﹣
2
∵∃
x
∈
R
，
f
（
x
）≥|
2x
﹣
1
|﹣
t
2
+
t
成立

即∃
x
∈
R
，|< br>x
+
3
|﹣|
2x
﹣
1
|≥﹣
t< br>2
+
t
+
2
成立

…

令
g
（
x
）
=
|
x
+
3
|
=
|
2x
﹣
1
|
=
故
g
（
x
）
max
=g
（）
=
…

则有|≥﹣
t
2
+
t
+
2< br>，即|
2t
2
﹣
5t
+
3
≥
0．

解得
t
≤
1
或
t
≥，

∴实数
t
的取值范围是
t
≤
1
或
t
≥

…



第19页（共20页）

2016
年
9
月
20
日

第20页（共20页）