解：（Ⅰ）由条件
(
1
2
3
2
6
2
r
2
)|a|

2
∴
cos(AB)cos(AB)

∴
3sinAsinBcosAcosB
∴
tanAtanB
为定值.
tanAtanB

1tanAtanB
1
由（Ⅰ）知
tanAtanB
，∴
tanA,tanB0

3
33
从而
tanC(tanAtanB)
≤
2tanA tanB3

22
1
3
（Ⅱ）
tanCtan(A B)
∴取等号条件是
tanAtanB
3

， 即
AB
取得最大值，
3
6
AB7
cos2C.

22
7在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =
7
，且
4sin
2
(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积.
解：(1) ∵A+B+C=180°
AB7C7
cos2C得4cos
2
cos2C

2222
∴
4
1cosC
(2cos
2
C1)
7

22
由
4sin
2
整理，得
4cos
2< br>C4cosC10

解 得：
cosC
……5分
∵
0C180
∴C=60°
（2） 解：由余弦定理得：c
2
=a
2
+b
2
－2abcosC， 即7=a
2
+b
2
－ab
∴
7(ab)
2
3ab

由条件a+b=5得 7=25－3ab
ab=6
……10分
1
2
∴S
ABC

1
absinC
1
6
3< br>
33

2222
8已知角
A,B,C
为ABC
的三个内角，其对边分别为
a,b,c
，若
m(cos,s in)
，
AA
1
n(cos,sin)
，
a23
，且
mn
．
2
22
A
2
A
2

（1）若
ABC
的面积
S3
，求
bc
的值．
（2）求
bc
的取值范围．
AAAA
1
2
2222
AA11
2

………..2分
cos
2< br>sin
2

，即
cosA
，又
A(0,
)
，
A
3
2
222
1
又由S
ABC
bcsinA3
，
bc4

2< br>2

由余弦定理得：
a
2
b
2
c
2
2bccosb
2
c
2
bc

3< br>解：（1）
m(cos,sin)
，
n(cos,sin)
，且
mn
.
16(bc)
2
，故
bc4

（2）由 正弦定理得：
bca23

4
，又
BC
A
，
2

sinBsinCsinA
3
sin< br>3
0B

3
，则

3
B

3

3

2

sin(B)1
， 即
bc
的取值范围是
(23,4].
….则
23
3
10分
9在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
tanA ·tanB．
(1)若a
2
－ab＝c
2
－b
2
，求A、B、C的大小；
(2)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求｜3m－2n｜的取值范围．
10在
ABC
中，角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
，且
mn
。
m(2bc,a)
，
n(cosA, cosC)
，
⑴求角
A
的大小；

⑵当
y2 sin
2
Bsin(2B)
取最大值时，求角
B
的大小
6
(tanA－tanB)＝1＋
解：⑴由
mn
，得
mgn0
，从而
(2bc)cosAacosC0

由正弦定理得
2sinBcosAsinCcosAsinAcosC0
1

Q
A,B(0,

)
，

si nB0,cosA
，

A
（6分）
2
3

⑵
y2sin
2
Bsi n(2B)(1cos2B)sin2Bcoscos2Bsin

666
由
(1)
得，
0B
2

7

,2B,
时，
366662

即
B
3
时，
y
取最大值2
cosBb
.

cosC2ac
11在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
（I）求角B的大小；
（II）若
b13，ac4
，求△ABC的面积.
解：（I）解法一：由正弦定理
将上式代入已知
abc
2R
得
sinAsinBsinC
cosBbcosBsinB

得
cosC2accosC2sinAsinC
即
2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0

即
2sinAcosBsin(BC)0

∵
ABC

，∴sin(BC)sinA，∴2sinAcosBsinA0

∵
sinA≠0，∴cosB，

∵B为三角形的内角，∴
B

.
a
2
c
2
b
2
a
2
b
2
c
2
，c osC
解法二：由余弦定理得
cosB

2ac2abcosBba
2
c
2
b
2
2abb
得 ×
2

将上式代入
22
cosC2ac2ac2a c
abc
2
3
1
2
整理得
a
2
c
2
b
2
ac
< br>a
2
c
2
b
2
ac1

∴
cosB
2ac2ac2
∵B为三角形内角，∴
B


（II）将
b13，a c4，B

代入余弦定理
b
2
a
2
c< br>2
2accosB
得

b
2
(ac)
2
2ac2accosB
，
∴
13162ac(1)，∴ac3

∴
S△ABC
acsinB
1
2
3
3
.
4
1
2
2
3
2
3
12
ABC
中，
a
、
b
、
c
是三个内角
A
、
B< br>、
C
的对边，关于
x
的不等式
x
2
cosC4xsinC60
的解集是空集．
（1）求角
C
的最大值；

3
3
，求当角
C
取最大值时
ab
的值．
2

cosC0
解析：（1）显然
cosC0
不合题意， 则有

，
0


cosC0

cosC0

即

， 即

1
，
2
cosC2或cosC

16sinC24cosC0

2
1
故
cosC
，∴角
C
的最大值为
60
。 …………………
2
（2）若
c
，
ABC
的面积< br>S
7
2
6分
133
ab3
，∴
ab6
，
242
由余弦定理得
c
2
a
2
b
2
2abcosC (ab)
2
2ab2abcosC
，
121
11
∴
(ab)
2
c
2
3ab
，∴
ab< br>。
2
4
（2）当
C
=
60 
时，
S
ABC
absinC
13在△ABC中，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC.
（Ⅰ）求角B的大小；
urrurr
（Ⅱ）设
m

sin A,cos2A

,n

4k,1

k1

,且mn
的最大值是5，求k的值.
解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，
∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分
∵0∴cosB=.…………………………………………………………………5分

∵0urr
（II）
mn
=4ksinA+cos2A.…………………… ……………………………………7分
3
1
2
=－2sin
2
A+4ksinA+1，A∈（0，
设sinA=t，则t∈
(0,1]
.
22
）……………………………………10分
3
urr
则
mn
=－2t
2
+4kt+1=－2(t－k)
2
+1+2k2
,t∈
(0,1]
.…………………………12分
urr
∵k>1，∴t=1时，
mn
取最大值.

依题意得，－2+4k+1=5，∴k=.
14已知锐角△ABC三个内角为 A、B、C，向量
p=
(
2-2sinA,cosA+sinA
)
与向量
v
q=
(
sinA- cosA,1+sinA
)
是共线向量.
C
-
3B
的最大值.
2
3
2
uv
（Ⅰ）求角A. （Ⅱ）求函数
y
=
2sin
2
B
+
cos
urr
Q
p
解：（Ⅰ）
,q
共线


22sinA

1sinA



cosAsinA

cosA sinA

……2分
3

sin
2
A
…………4分
4
3

又
A
为锐角，所以
sinA
A
………6分
2
3



B

3B
C3B
3

2sin
2
Bcos

（Ⅱ）
y2sin
2
Bcos

2
2
31
sin2Bcos2B1
sin(2B)1
……………9分

22
6



5





Q
B

0,

2B 

,

…………10分

2

6

66


2 B

6


2
B

3
时，
y
max
2
…………12分
CCC

C
,sin）,
n
=(cos,－sin
)
且
m,n
的夹角为
2
2223
33
,求a+b（a、b、c分别∠A、∠B、∠C所对的边）
2
15在三角形ABC中，
m
=（cos
（1）求C；
7
2
（2）已知c=,三角形的面积S=
解：（1）
m•ncos
2
CC
sin
2
cosC

22
1

cosC= C=
2
3
7
（2） c
2
=a
2
+b
2
－2abcosC c=
2

333
49
22
11

=a+ b－ab=(a+b)
2
－3ab. S=absinC=absin=ab=
2
422
3
4
Ab=6 (a+b)
2
=
494912111
+3ab=+18= a+b=
4442
16已知
ABC
中，角A，B，C，所对的边分别是< br>a,b,c
，且
2

a
2
b
2
 c
2

3ab
；
（1）求
sin
2
AB

2
（2）若
c2
，求
ABC
面积的最大值。
3a
2b
2
c
2
3


2分

解：（Ⅰ）
abcab,cosC
22ab4
222

（Ⅱ）
a
2
b
2
c
2

3ab,且c2
，
a
2
b
2
4
322
ab
，

又
a
2
b
2
2ab,
3
2
ab2ab4,ab8

8分


当且仅当
ab22
时，△ABC面积取最大值，最大值为
7
.
17在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求
3
sinA- cos（B+
4
）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。
解析：（I）由正弦定理得
sinCsinAsinAcosC.

因为
0A

,
所以
（II）由（I）知
B
3

4
A.
于是
2sin(A

6
)
取最大值2．
综上所述，
3sinAcos(B

4
)
的最大值为2，此时
A

5

3
,B
12
.

18 △ABC 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=
2
b，求
解：由
ac2b
及正弦定理可得

sinAsinC2sinB.
…………3分
又由于
AC90,B180(AC),
故

2cos2C.
…………7分
因为
0C90
，
所以
2C45C,
cosA-2cosC
19在

ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b， c．已知
cosB
=
2c-a
b
．
sinC1
（I）求
sinA
的值；（II）若cosB=
4
，b=2，
AB C
的面积S。
C．

abc
k,
sinAsinBsinC
解： （I）由正弦定理，设
2ca2ksinCksinA2sinCsinA
,ksinBsinB
则
b

cosA2cosC2sinCsinA
.
cosBsinB
所以
即
(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB
，
化简可得
sin(AB)2sin(BC).

又
ABC

，
所以
sinC2sinA

sinC
2.
因此
sinA

sinC
2
sinA
（II）由得
c2a.

由余弦定理
解得a=1。因此c=2
15
1
sinB.
cosB,且GB

.
4

4
又因为所以
因此
20在
ABC
中，
a、b、 c
分别为内角
A、B、C
的对边，
且
2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC

（Ⅰ）求
A
的大小；
（Ⅱ）若
sinBsinC1
，试判断
ABC
的形状. 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
2a
2
(2bc)b(2cb)c< br>



即
a
2
b
2
c
2
bc
< br>由余弦定理得
a
2
b
2
c
2
2bcc osA

故
cosA,A120

1
2

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
sin
2
A sin
2
Bsin
2
CsinBsinC.





又
sinBsinC1
，得
sinBsinC

因为
0B90,0C90
，
故
BC

所以
ABC
是等腰的钝角三角形。
1
2
21在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求
sinBsinC
的最大值.
解：
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
2a
2
(2bc)b( 2cb)c

即
a
2
b
2
c
2
bc

由余弦定理得
a
2
b
2
c
2
2bccosA

故
cosA
，A=120° ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分
22△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足
S
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求
sinAsinB
的最大值。
23设锐角三角形
ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
，
a2bsi nA
．
（Ⅰ）求
B
的大小；
（Ⅱ）求
cosAsinC
的取值范围．
解：（Ⅰ）由
a2b sinA
，根据正弦定理得
sinA2sinBsinA
，所以
sinB
，
由
△ABC
为锐角三角形得
B
．
π
6
1
2
3
2
(ab
2
c
2
)
。
4
1
2

（Ⅱ）
cosAsinC cosAsin

A





3sin

A

．
3






由
△ABC
为锐角三角形知，

AB
，
B
．
222263
2
A
，
336

所以
sin

．
A

2

3

2
13
由此有
3
3

3sin

A

3
，
23

2


33

所以，
co sAsinC
的取值范围为


2
，

． < br>2

24在
ABC
中，角
A,B,C
所对应的边 分别为
a,b,c
，
a23
，
tan
2sinBcosC sinA
，求
A,B
及
b,c

ABCCC
tan4
得
cottan4

222 2
CC
cossin
1
2

2
4
∴∴
4

CC
CC
sincos
sincos
2 2
22
1
∴
sinC
，又
C(0,

)

2

5

∴
C，或C

66
ABC
tan4,

22
解：由
tan
由
2sinBcosCsinA
得
2sinBcosBsin(BC)

即
sin(BC)0
∴
BC

由正弦定理
abc

得
sinAs inBsinC
25在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
3a2 csinA

(Ⅰ)确定角C的大小：
（Ⅱ）若c＝
7
,且△ABC的面积为
33
2
,求a＋b的值。

解（1）由
3a2csinA
及正弦定理得，

QABC
是锐角三角形，< br>C
a
c
2sinAsinA

21世纪教育网
sinC
3

3

（2）解法1：
Qc7,C

3
.
由面积公式得
由余弦定理得21世纪教育网
（a+b)
2
25,故ab5
由②变形得
解法2：前同解法1，联立①、②得
消去b并整理得
a
4
13a
2
360
解得
a
2
4或a
29

所以


a2

a3
故< br>ab5

或


b3

b2