今年国庆多少周年-周记500字

____第32课__三角函数综合问题____

1. 能灵活运用三角函数公式进行化简、求值、求取值范围等．
2. 能综合应用函数、方程、不等式等知识解决与三角函数相关的问题.

1. 阅读：必修 4 第103～122页；必修5第5～16页．
2. 解悟：①三角函数中的同角三角函数关系，诱导公 式，两角和与差的正弦、余弦、正切
公式、二倍角公式、辅助角公式；②解三角形中的正余弦定理，三角 形的面积公式；③重解
必修4第109页例3，体会辅助角公式的应用；第110页例5，体会整体代换 思想；第116
页例5，这是三角函数应用题中的一个重要模型，体会角的拆分与合成；第121页例3 ，体
会降幂扩角公式．
3. 践习：在教材空白处完成必修4第109页练习第8题；第11 1页练习第5题；第116页
练习第4、5、6题；第117页练习第5题.
基础诊断
15
1. 若α是三角形的一个内角，且sinαcosα＝，则cosα＋sinα的值为____．
821
解析：因为α是三角形的一个内角，且sinαcosα＝，所以α为锐角，所以cosα＋si nα
8
＝1＋2sinαcosα＝
5
.
2
1
2. 已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝__－__．
2解析：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，平方相加得sin
2
α＋ 2sinαcosβ＋cos
2
β＋cos
2
α
1
＋2co sαsinβ＋sin
2
β＝1，所以2sin(α＋β)＝－1，sin(α＋β)＝－.
2
π
22
3. 已知角α，β，γ构成公差为的等差数列，若cosβ＝－，则cosα＋cosγ＝__－__．
3 33
πππ
解析：因为α，β，γ构成公差为的等差数列，所以α＝β－，γ＝β＋，所以co sα＋cosγ
333
ππ
π
2
β－

＋cos< br>
β＋

＝2cosβcos＝－. ＝cos


3

3

33
4. 在锐 角三角形ABC中，若tanA＝t＋1，tanB＝t－1，则实数t的取值范围是__(2，
＋∞) __．
tanA＋tanB
2t
解析：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以t anC＝－tan(A＋B)＝－＝
2
.
1－tanAtanBt－2
t＋1 >0，
2.


t－1>0，
因为△ABC为锐角三角形，所以tanA>0，tan B>0，tan C>0，即

解得t>
2t


t－2< br>>0，
2
范例导航
考向❶ 三角恒等变换与解三角形

1

例1 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2c osAcosC(tanAtanC－
1)＝1.
(1) 求角B的大小；
33
(2) 若a＋c＝，b＝3，求△ABC的面积．
2
解析：(1) 由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1
11
得2(sinAsinC－cos AcosC)＝1，即cos(A＋C)＝－，所以cosB＝－cos(A＋C)＝.
22
π
又03
a
2
＋c
2
－b
2
1
(2) 由余弦定理得cosB＝＝，
2ac2
（a＋c）
2
－2ac－b
2
1
所以＝.
2ac2
33
又a＋c＝，b＝3，
2
275
所以－2ac－3＝ac，即ac＝，
44
115353
所以S
△
ABC
＝acsinB＝××＝.
224216

【变式1】 若本题(2)条件变为“若b＝3，S
△
ABC
＝
13 3
解析：由已知S
△
ABC
＝acsinB＝，
22
1333
所以ac×＝，则ac＝6.
222
由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB＝(a＋c)
2
－3ac，
所以(a＋c)
2
＝b
2
＋3ac＝21，所以a＋c＝21.

【变式2】 在本例条件下，若b＝3，求△ABC面积的最大值．
解析：由余弦 定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB＝a
2
＋c
2
－ac，则3＝a
2
＋c
2
－ac≥2ac －ac，
所以ac≤3(当且仅当a＝c＝3时取等号)，
11
π
33< br>所以S
△
ABC
＝acsinB≤×3×sin＝.
2234
33
故△ABC面积的最大值为.
4

13
在△ABC中，已知tanA＝，tanB＝.
45
(1) 求角C的大小；
(2) 若△ABC的最大边长为17，求最小边长．
解析：(1) 因为A＋B＋C＝π，
2
33
”，求a＋c的值．
2

所以tanC＝－tan(A＋B)＝－
13
＋
45
＝－＝－1.
13
1－×
45
3π
因为04
3π
(2) 因为C＝，
4
所以最大边为AB＝17，
tanA＋tanB

1－tanAtanB
π
13
0，

， 因为tanA＝< ＝tanB，A，B∈


2

45
所以A所以角A最小，即边BC最小．
117
由tanA＝，sin
2
A ＋cos
2
A＝1得sinA＝，
417
由
ABBCAB
＝得BC＝sinA·＝2，
sinCsinAsinC
所以最小的边长为2.
【注】 本例训练三角函数基本关 系、正余弦定理及两角和与差公式的简单综合运用，
注意三角形基本知识的运用.
考向❷ 三角函数与解三角形
π
3
π
ωx＋

－
(ω>0)，
例2 已知函数f(x)＝sinωxsin

且其图象的相邻对称轴间的距离为
.
6

4

4
11π9π

(1) 求f(x)在区间


12
，
8

上的值域；
π
1
A－

＝，a＝1，b＋c＝2，求△ABC的面积． (2) 在锐角三角形ABC中，若f

8

2

解析：(1) f(x)＝sinωx(
＝
＝
313
sinωx＋cosωx)－
224
3
2
13
sin
ωx＋
sinωxcosωx－
224
313
(1－cos2ωx)＋sin2ωx－
444
13
＝sin2ωx－cos2ωx
44
π
1
2ωx－

. ＝sin

3

2

π
由条件知T＝.
2
2π
又T＝，所以ω＝2，
2ω
3

π
1
4x－

. 所以f(x)＝sin

3

2

11π9π

因为x∈


12
，
8

，
π
10π25π
< br>，
所以4x－∈

6

，
3

3
π
1
4x－

∈

－1，

， 所以sin

3

2

11
所以f(x)的值 域是[－，]．
24
π
1
π
A－

＝得 A＝.由 a＝1，b＋c＝2及余弦定理 a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccosA得bc(2) 由f

8

2

3
＝1，
13
所以△ABC的面积S＝bcsinA＝.
24

在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b
2
＋c
2
－a
2
＝bc.
(1) 求角A的大小；
xxx
(2) 设函数f(x)＝si ncos＋3cos
2
，当f(B)取得最大值时，判断△ABC的形状．
222
解析：(1) 因为在△ABC中，b
2
＋c
2
－a
2
＝bc，
b
2
＋c
2
－a
2
1
所以由余弦定理可得cosA ＝＝.
2bc2
π
因为A∈(0，π)，所以A＝.
3
xxx
(2) f(x)＝sincos＋3cos
2

222
133
＝sinx＋cosx＋
222
π
3
x＋

＋， ＝sin

< br>3

2
π
3
B＋

＋. 所以f(B)＝s in


3

2
2π
π
π
0，< br>
，所以B＋∈

，π

. 因为B∈

3

3

3

ππππ
当B＋＝时，即B＝时，f (B)取最大值，此时C＝，所以△ABC是直角三角形．
3262
【注】 本例通过辅助角公式将三角函数化同名同角进而研究三角形中三角函数性质.
考向❸ 平面向量与解三角形
例3 已知向量m＝(2sinωx，cos
2
ωx－sin< br>2
ωx)，n＝(3cosωx，1)，其中ω>0，x∈R，
若函数f(x)＝m·n 的最小正周期为π.
(1) 求ω的值；
4

→→
(2) 在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sinB＝3sinA，求BA·BC的值．
解析：(1) f(x)＝m·n
＝23sinωxcosωx＋cos
2
ωx－sin
2
ωx
π
2ωx＋

. ＝3sin2ωx＋cos2ωx＝2sin
< br>6

因为f(x)的最小正周期为π，
2π
所以T＝＝π，所以ω＝1.
2ω
(2) 因为f(B)＝－2， < br>ππ
2B＋

＝－2，即sin

2B＋

＝－1. 所以2sin

6

6

π
π13 π

，
因为0
，
6

66

π3π2π
所以2B＋＝，所以B＝.
623
因为BC＝3，即a＝3，因为sinB＝3sinA，
所以b＝3a＝3.
33
由正弦定理＝，
sinA
2π
sin
3
1
所以sinA＝.
2
ππ
因为036
π
所以C＝，c＝3，
6
3
→→
所以BA·BC＝cacosB＝－.
2

→→
设△ABC的面积为S，且2S＋3AB·AC＝0.
(1) 求角A的大小；
→
(2) 若|BC|＝3，且角B不是最小角，求S的取值范围．
→→
解析：(1) 设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由2S＋3AB·AC＝0，
1
得2×bcsinA＋3bccosA＝0，
2
即sinA＋3cosA＝0，tanA＝－3.
又因为A∈(0，π)，所以A＝
2π
.
3
5

3bc
(2) 因为a＝3， 由正弦定理得＝＝，所以b＝2sinB，c＝2sinC，
2π
sinBsinC
sin
3
1
从而S＝bcsinA＝3sinBsinC
2
π
＝3sinBsin


3
－B


＝3sinB

＝3

＝
31

cosB－si nB

2

2

1－cos2B

3

sin2B－
4

4

π
3

3
sin

2B＋
6

－

4
.
2
ππ

π
π5π
，
，2B＋∈

，
， 又B∈


63

6

26< br>
所以S∈

0，

3

.
4

【注】 本例突出训练平面向量数量积、三角函数与正余弦定理相结合在解三角形中的
综合应用．
自测反馈
1. 函数f(x)＝(sinx－cosx)
2
的最大值为__2__．
解析：f(x) ＝(sinx－cosx)
2
＝1－2sinxcosx＝1－sin2x.因为sin2x∈ [－1，1]，所以f(x)
max
＝2.
2. 在△ABC中，若a＝2，c＝3，tanB＝－15，则b＝__4__．
sinB1
解析 ：因为tanB＝－15＝，sin
2
B＋cos
2
B＝1，解得cosB＝ －.由余弦定理得b
2
cosB4
1
－

＝16，所以b＝ 4. ＝a
2
＋c
2
－2accosB＝4＋9－2×2×3×
< br>
4

π
7π
3. 若方程sinx＋3cosx＋a＝0在(0，2π)内有相异的两解α，β，则α＋β＝__或__．
33
解析：因为方程sinx＋3cosx＋a＝0在(0，2π)内有相异的两解α，β，所以si nα＋3cosα
＋a＝0，sinβ＋3cosβ＋a＝0，两式相减得(sinα－sinβ)＋3 (cosα－cosβ)＝0，sin

－sin(
α＋βα－β


2
＋
2

α＋βα－βα＋βα－βα＋βα－βα－β
－)＋3[cos(＋)－cos(－)]＝0，化简整理得2sin
2222222
α＋βα ＋βα－βα－βα＋βα＋β
3
π
cos－23sinsin＝0.又因为sin≠ 0，所以tan＝，所以＝kπ＋，
22222326
ππ7π
k∈Z，则α＋β＝2 kπ＋，k∈Z.因为α，β∈(0，2π)，所以α＋β＝或.
333
a＋b
π
4. 已知△ABC外接圆的半径是R，C＝，则的取值范围 是__
(
3，23
]
__．
3R
解析：由正弦定理得a＋b3（a＋b）3（sinA＋sinB）
c
＝2R，则＝＝＝2(sinA＋
sinCRcsinC
6

2π
33

A＋π

，又因为A∈

0，
2π

，所
－A

]＝2(sinA＋·sinB)＝2[sinA＋sin

cosA )＝23sin
6

3

3

22
π
a＋b
π
π
5π

，
，所以23sin

A＋

∈(3，23]，即以A＋∈

∈(3，23]．
6

6

66

R


1. 在三角形中研究三角函数，应与正余弦定理结合，注意角的范围，特别是锐角三角
形中角的范围．
2. 三角函数与向量的结合，向量的夹角问题或向量的坐标化可化为三角函数形式进行
处理．
3. 你还有哪些体悟，写下来：


7

8