奥运比赛项目-班主任工作经验

1．已知sinα＝
510
，sin(α－β)＝－，α、β均为锐角，则β等 于________．
510
ππ
310
解析：∵α、β均为锐角，∴－< α－β<，∴cos(α－β)＝1－sin
2
(α－β)＝.
2210
∵sinα＝
5
，∴cosα＝
5
1－(
525
)2＝.
55
2
.
2
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝< br>πππ
∵0<β<，∴β＝.答案：
244
sin(α＋β)
2．如 果tanα、tanβ是方程x
2
－3x－3＝0的两根，则＝________.
cos(α－β)
sin(α＋β)sinαcosβ＋cosαsinβ
解析：tanα＋t anβ＝3，tanαtanβ＝－3，则＝
cos(α－β)cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
333
＝＝＝－.答案：－
22
1＋tanα tanβ1－3
π
4
7π
3．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α －)＋sinα＝3，则sin(α＋)的值是___．
656
314134
解析： 由已知得cosα＋sinα＋sinα＝3，即cosα＋sinα＝，
225225
π< br>47
π
44
得sin(α＋)＝，sin(α＋
π)＝－sin(α＋
)＝－.答案：－
656655
παα
6
4．已知α∈(，π)，且sin＋cos＝. 2222
3
π
(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈(， π)，求cosβ的值．
52
αα
61
解：(1)因为sin＋cos＝， 两边同时平方得sinα＝.
2222
π
3
又<α<π.所以cosα＝－.
22
ππ πππ
(2)因为<α<π，<β<π，所以－π<－β<－，故－<α－β<.
22222
34
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
55< br>cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
43＋3
3413
＝－×＋×(－)＝－.
252510
cos2α
1＋tanα
5.·的值为________． < br>1＋sin2α1－tanα
22
cos2α
1＋tanαcos
α－ sinα
1＋tanα
解析：·＝·
1＋sin2α1－tanα(sinα＋co sα)
2
1－tanα
cosα－sinα1＋tanα1－tanα1＋tanα< br>＝·＝·＝1.
sinα＋cosα1－tanα1＋tanα1－tanα
sin2 x－2sin
2
x
π
3
6．已知cos(＋x)＝，则的值为___ _____．
45
1－tanx
π
33
解析：∵cos(＋x)＝ ，∴cosx－sinx＝2，
455
sin2x－2sin
2
x2sin x(cosx－sinx)
1877
∴1－sin2x＝，sin2x＝，∴＝＝sin2x＝ .
252525
1－tanxcosx－sinx
cosx

π3πππ
3
3π
5
7．设α∈(，)，β∈(0，)，cos(α－)＝， sin(＋β)＝，则sin(α＋β)＝________.
44445413
π3πππ π
3
π
4
解析：α∈(，)，α－∈(0，)，又cos(α－)＝，∴si n(α－)＝.
44424545
π3π3π3π
5
3π
12∵β∈(0，)，∴＋β∈(，π)．∵sin(＋β)＝，∴cos(＋β)＝－，
444413413
π3π
∴sin(α＋β)＝－cos[(α－)＋(＋β)]
44
π3ππ
3π3124556
＝－cos(α－)·cos(＋β)＋s in(α－)·sin(＋β)＝－×(－)＋×＝，
444451351365
56
即sin(α＋β)＝.
65
11
π
8．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)的 值等于________．
332
π
17
解析：∵α∈(0，)，∴2α∈ (0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos
2
α－1＝－
，∴sin2α＝
239
42
π
22
1－cos
2
2α＝，而α，β ∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos
2
(α＋β)＝，923
7142
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos( α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－)×(－)＋
939
2223
×＝.
327
π
2
π
9．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1, 2sinα－1)，α∈(，π)，若a·b＝，则tan(α＋)的值为________．
254
23
解析：a·b＝cos2α＋2sin
2
α－sinα＝1－2sin< br>2
α＋2sin
2
α－sinα＝1－sinα＝
，∴sinα＝，又
55
π
43
π
tanα＋1
1
α∈(
，π )，∴cosα＝－，tanα＝－，∴tan(α＋)＝＝.
2544
1－tanα
7
tan10°tan70°
10.的值为______．
tan70°－tan 10°＋tan120°
tan70°－tan10°
解析：由tan(70°－10°)＝＝ 3，
1＋tan70°·tan10°
故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70 °tan10°)，代入所求代数式得：
tan70°tan10°tan70°tan10°tan70°tan10°3
＝＝＝.
3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°3(1＋tan70°tan10°)－33t an70°tan10°
3
cos20°
11．求值：·cos10°＋3sin10 °tan70°－2cos40°.
sin20°
cos20°cos10°3sin10° sin70°
解：原式＝＋－2cos40°
sin20°cos70°
cos20 °cos10°＋3sin10°cos20°
＝－2cos40°
sin20°
cos20°(cos10°＋3sin10°)
＝－2cos40°
sin20°
2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)＝－2cos40°
sin20°
2cos20°sin40°－2sin20°cos40°
＝＝2.
sin20°
31111
12．已知π<θ<
π，则
＋ ＋cosθ＝________.
22222
3ππθ3ππθ3π
解析：∵π<θ<，∴<<，<<.
2224448

1111
＋ ＋cosθ＝
2222
11
θθ
＝ －cos＝sin.
2224
11
＋
22
θ
cos
2
2
cos10°＋3sin10°
13．(2010年南京市调研)计算：＝______ __.
1－cos80°
cos10°＋3sin10°2cos(10°－60°)
2cos50°
解析：＝＝＝2.
2sin
2
40°2sin40°1－cos80°
14．(2009年高考上海卷)函数y＝2cos
2
x＋si n2x的最小值是__________________．
解析：y＝2cos
2
x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1
π
＝2sin(2x＋)＋1≥1－2.
4
11
2
15． (原创题)函数f(x)＝(sin
2
x＋)的最小值是________．
2)(cosx＋
2010sinx2010cos
2
x
(2010sin
4
x＋1)(2010cos
4
x＋1)
解析：f(x)＝
2010
2
sin
2
xcos
2
x
20102
sin
4
xcos
4
x＋2010(sin
4
x＋cos
4
x)＋1
＝
2010
2
sin
2
xcos
2
x
201122
＝sin
2
xcos< br>2
x＋≥(2011－1)．
222
－
2010sinxcosx2 0102010
1
16．(2009年高考陕西卷改编)若3sinα＋cosα＝0，则2
的值为________．
cos
α＋sin2α
sin
2
α＋cos
2
α
1
解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝ －3sinα，则
2
＝＝
cos
α＋sin2α
cos
2< br>α＋2sinαcosα
9sin
2
α＋sin
2
α
10
＝.
9sin
2
α－6sin
2
α
3
6
17．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、 c的大小关系是
2
解析：a＝2sin59°，c＝2sin60°，b＝2sin61°，∴a13133
或a
2
＝1＋sin28°<1＋＝，b
2
＝1 ＋sin32°>1＋＝，c
2
＝，∴a22222
18.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．
解析：原式＝4cos
2
4＋2(sin4－cos4)
2
＝|2cos4 |＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.
110
πππ
19．若tanα＋ ＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为_________．
tanα3424
π22tanα3
解析：由题意知，tanα＝3，sin(2α＋)＝(sin2α＋cos2α) ，而sin2α＝cos2α
2
＝，
42
1＋tan
α
5< br>1－tan
2
α
4
π
2342
＝(－)＝－. 2
＝－.∴sin(2α＋)＝
5425510
1＋tan
α
2 0．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b|＝___ _____________.
解析：|a－2b|
2
＝(cos10°－2cos 70°)
2
＋(sin10°－2sin70°)
2
＝5－4cos10°c os70°－
4sin10°sin70°＝5－4cos60°＝3，∴|a－2b|＝3.
1－cos2α
1
21．(2010年江苏省南通市调研)已知＝1，tan(β－α)＝－ ，则tan(β－2α)＝________.
sinαcosα3
1－cos2α1－ta n
2
α
12tanα1
解析：因为＝1，即1－
2
＝×2
，所以2tanα＝1，即tanα＝，
sinαcosα2
1＋tan
α
2
1＋tan
α
11
－－
32
tan(β－α )－tanα
所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝＝＝－1.
1
1＋ tan(β－α)tanα
1－
6

22．(2009年高考江西卷)△ ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝
sin(B－A)＝cosC.(1)求 角A，C.(2)若S
△
ABC
＝3＋3，求a，c.
sinA＋sinB
sinC
sinA＋sinB
解：(1)因为tanC＝，即＝，
cosC
cosA＋cosBcosA＋cosB
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosC sinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，
得sin(C－A)＝sin(B－C)，
所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，
π2π
即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.
33
1
π5π< br>又因为sin(B－A)＝cosC＝，则B－A＝或B－A＝(舍去)，
266
π5πππ
得A＝，B＝.故A＝，C＝.
41243
6＋ 2
1acac
(2)S
△
ABC
＝acsinB＝ac＝3＋3，又 ＝，即 ＝，
28sinAsinC
23
22
sinA＋sinB
，
cosA＋cosB
得a＝22，c＝23.
23.（2008·陕西理，3）△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=
2
，b=
6
，B=120°,则 a等于 （ ）

A.
6
B.2 C.
3
D.
2

答案 D

24.（2008·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的 对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=
3
ac，
则角B的值为( )
A.


6
222
B.


3
C.

5

2

或 D.或
63
63
答案 D
444222
25.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是
A.60°
答案 B
B.45°或135° C.120°


（ ）
D.30°
26. （2008·浙江 理，13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（
3
b-c）
cosA=acosC，则cosA= .
答案
3

3
27. 在△ABC中，已知a=
3
,b=
2
,B=45°,求A、C和c.
解 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.
由正弦定理得sinA=
asinB
3
3sin45
= =,
b
2
2
则A为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,

c=< br>bsinC
2sin75
==
sinB
sin45
2si n(4530)62
=.
sin452
②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,
c=< br>bsinC
2sin15
==
sinB
sin45
2si n(4530)62
=.
sin452
故在△ABC中，A=60°,C =75°,c=
62
62
或A=120°,C=15°,c=.
2
2
28. （2008·广东五校联考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知a+b=5，
c=
7
，且4sin
2
AB
7
-cos2C=.
2
2
(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.
解 （1）∵A+B +C=180°,由4sin
∴4·
2
AB
77
2
C-cos2C=,得4cos-cos2C=,
2
2
22
1cosC
71
22
-(2cosC-1)=,整理,得4cosC-4cosC+1=0,解得 cosC=,
2
22
∵0°＜C＜180°,∴C=60°.
22222 2
(2)由余弦定理得c=a+b-2abcosC,即7=a+b-ab,∴7=(a+b)-3ab ，
由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,∴S
△ABC
=absin C=×6×
1
2
1
2
3
33
=.
2
2
29. 为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，
测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是
（ ）
A.
20(1
33
)
m B.
20(1)
m C.
20(13)
m
32
D.30 m
答案 A
30．(2010年南京市高中 联考)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B
位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘 轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相
距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向 ，与B相距5海里的C处．则
两艘轮船之间的距离为________海里．
解析：连结AC .则AC＝5，在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余
弦定理得CD＝13. 答案：13


31.(2009年高考辽宁卷)如图，A、B、C、D都在同一个 与水平面垂直的平面内，B、D为两
岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分 别为75°、30°，于
水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中 B、D间距离与另外
哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6
≈2.449)．

解：在△ACD中，∠DAC＝30°，
∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
ABACACsin60°
32＋6
在△ABC中，＝，所以AB＝＝.
s in15°20
sin∠BCAsin∠ABC

32＋6
同理，BD＝ ≈0.33(km)，
20
故B、D的距离约为0.33 km.