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2019年福建省南平市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题： 本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{x|x﹣4＜0}，B＝{x|2＜1}，则A∪B＝（ ）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|x＞﹣2}
2x
2．（5分）若复数z满足（1﹣2i）z＝﹣2﹣i，则|z+1﹣i|＝（ ）
A．1
3．（5分）若直线
A．0
B． C． D．
与曲线y＝mx﹣ln（2x+1）相切于点O（0，0），则m＝（ ）
B． C． D．
4．（5分）如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
5．（5分）已知双曲线C：
为（ ）
A．y＝±2x
﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程
B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
，c•cosB＝（2a6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是
﹣b）•cosC，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．6 D．12
7．（ 5分）从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技
术科代表，要求这 3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有（ ）
A．810种 B．840种 C．1620种 D．1680种
8．（5分）刘徽（225﹣295），3世纪杰出的数学家，擅长 利用切割的方法求几何体的体积，
因此他定义了四种基本几何体，其中将底面是直角三角形的直三棱柱称 为“堑堵”，将底
面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”已知某“堵”与某“阳马”组合
第1页（共24页）

而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
＝

9．（5分）已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面 区域是由所有满足
（1≤λ≤2，1≤μ≤3）的点D（x，y）组成的区域，则区域E的面积是（ ）
A．8 B．12
264
C．16 D．20
10．（5分）已知（1﹣x+mx）的展开式中x的系数小于90，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）
B．（﹣5，1）
C．
D．
，AC＝8，AB⊥BC，平面PAB⊥

11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中， PA＝PB＝3，BC＝
平面ABC，若球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数的图象关于点O
1
（n，
0）中心对称，关于直线l：x＝m对称（直线l是与点O
1
距离最近的一条对称轴） ，过函
数y＝f（x）的图象上的任意一点A（x
0
，y
0
）作点O
1
、直线l的对称点分别为A
1
（x
1
，
y
1
）、A
2
（x
2
，y
2
），且
为y＝ f'（x），则当
A．﹣2 B．﹣1
，当时，记函数y＝f（x）的导函数
时，cos2α＝（ ）
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）已知函数y＝f（x）在R单调递 减，且为奇函数．若f（x﹣2）＞0，则x的取值
范围是 ；
第2页（共24页）

14．（5分）已知，则＝ ．
15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为 ．
16．（5分）已知点在离心率为的椭圆上，则该椭圆
的内接八边形面积的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知数列{ a
n
}的前n项和为S
n
，且1，a
n
，S
n成等差数列
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）数列{bn
}满足b
n
＝log
2
a
1
+log
2
a
2
+…+log
2
a
n
，记，求T
n

，18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD， AB＝2CD＝
AD＝，PC＝3，△PAB是正三角形，E为AB的中点，平面PAB⊥平面PCE
（1）求证：CE⊥平面PAB
（2）在棱PD上是否存在点F，使得二面角P﹣AB﹣F的 余弦值为
出的值；若不存在，说明理由．
？若存在，求

19．（12分） 从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，
由测量结果得如下频率分 布直方图：
（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s（同一组数据用该区间的
中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 N（μ，σ），
其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本方差s
（i）利用该正态分布，求P（127.6＜Z＜140）；
第3页（共24页）

22
2
2

（ii）某用户从该工厂购买了100件 这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于
区间（127.6，140）的产品件数，利用（ i）的结果，求EX．
附：．若Z～N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2
2
σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．

20．（12分）已知平面上动点P到点H（1，0）距离比它到直线x＝﹣2距离少1．
（1）求动点P的轨迹方程
（2）记动点P的轨迹为曲线Γ，过点H（1，0）作直线l与曲 线Γ交于A，B两点，点
M（4，0），延长AM，BM，与曲线Γ交于C，D两点，若直线AB，CD 的斜率分别为k
1
，
k
2
，试探究是否为定值？若为定值，请求出定 值，若不为定值，请说明理由．
21．（12分）（1）已知函数是（1，+∞）上的增函数，求实数a的取值范围；
（2）试比较两数与的大小，并证明你得出的结论．
请考生在第22、23二题中任选一题作 答．注意只能做所选定的题目．如果多做，则按所做
第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将 所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐
标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐 标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐
标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2
，射线θ＝（ρ≥0）交曲线C于点A，
倾斜角为α的直线l过线段OA的中点B且与曲 线C交于P、Q两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的参数方程；
第4页（共24页）

（2）当直线l倾斜角α为何值时，|BP|•|BQ|取最小值，并求出|BP|•|BQ|最小值
[选修45：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x|+|x﹣2|
（1）解不等式：f（x）＜5；
（2）当x∈R时，f（x）＞ax+1，求实数a的取值范围；

第5页（共24页）

2019年福建省南平市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题 目要求的.
1．（5分）设集合A＝{x|x﹣4＜0}，B＝{x|2＜1}，则A∪B＝（ ）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|x＞﹣2}
2x
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的并集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x+2）＜0，
解得：﹣2＜x＜2，即A＝{x|﹣2＜x＜2}，
由B中不等式变形得：x＜0，即B＝{x|x＜0}，
则A∪B＝{x|x＜2}
故选：B．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2．（5分）若复数z满足（1﹣2i）z＝﹣2﹣i，则|z+1﹣i|＝（ ）
A．1
【分析】推导出z＝
B． C． D．
＝﹣i，从而|z+1﹣i|＝|1﹣2i|，由此能求出结果．
【解答】解：∵复数z满足（1﹣2i）z＝﹣2﹣i，
∴z＝＝＝﹣i，
＝． ∴|z+1﹣i|＝|1﹣2i|＝
故选：D．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数 的运算法则、复数的模等基础知识，考查
运算求解能力，是基础题．
3．（5分）若直线
A．0
与曲线y＝mx﹣ln（2x+1）相切于点O（0，0），则m＝（ ）
B． C． D．
【分析】利用导数的几何意义可得：f′（0）＝，求解即可．
【解答】解：y＝f（x）＝mx﹣ln（2x+1），f′（x）＝m﹣，
第6页（共24页）

由题意可得：f′（0）＝m﹣2＝，解得：m＝．
故选：D．
【点评】本题考查了导数的几何意义、切线方程，考查了计算能力，属于基础题．
4．（5分 ）如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半
径为3的扇形构成，向 该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
【分析】由几何概型中的面积型及扇形的面积公式得：三个半径为3的扇形可拼凑为一
个半径为 3的半圆，则S
阴
＝，又S
△
＝＝24，则该点落在阴影部分的概率
为：＝，得解．
【解答】解：由图可知，三个半径为3的扇形可拼凑为一个半径为3的半圆，
由圆的面积公式得：S
阴
＝
又S
△
＝＝24，
，
则向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为：
故选：A．
＝，
【点评】本题考查了几何概型中的面积型及扇形的面积公式，属中档题．
5．（5分）已知双曲线C：
为（ ）
A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程
【分 析】根据离心率公式e＝，求出a，b的关系，继而得到渐近线方程．
【解答】解：因为双曲线的离心率公式e＝＝＝，
第7页（共24页）

∴＝±2，
∵双曲线的渐近线方程为：﹣＝0．
∴y＝±
∴y＝±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，求得是关键，考查分析、运算能力，属于中档
题． 6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是
﹣b）•cosC，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．6 D．12
，c•cosB＝（2a
【分析】由正弦定理和 三角恒等变换求得cosC与C的值，利用三角形的面积公式即可得
解．
【解答】（本题满分为10分）
解：∵在△ABC中，由正弦定理知
又∵（2a﹣b）•cosC＝c•cosB，
∴2sinAcosC＝sinBcosC+cosBsinC，
即2sinAcosC＝sinA； ………………（4分）
∵0＜A＜π，
∴sinA＞0；
∴cosC＝； ………………（6分）
又0＜C＜π，
∴C＝； ………………（8分）
4×2×＝6． ………………（10分）
＝2R，
∴S
△
ABC
＝absinC＝
故选：C． < br>【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三
角形中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
第8页（共24页）

7．（5分）从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信 息技术、通用技
术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有（ ）
A．810种 B．840种 C．1620种 D．1680种
【分析】根据条件分2男1女，或1男2女，利用排列组合公式进行计算即可．
【解答】解：若3位科代表中男、女学生都要有，则分2男1女，或1男2女，
若1男2女，则有
若2男1女，则有
共有450+360＝810，
故选：A．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据条件分2男1女，或1男2女是解决本题
的关键．
8．（5分）刘徽（225﹣295），3世纪杰出的数学家，擅长利用切割的方法求几何体的体积，< br>因此他定义了四种基本几何体，其中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底
面为矩形 且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”已知某“堵”与某“阳马”组合
而成的几何体的三视图如图 所示，则该几何体的体积是（ ）
＝450，
＝360，

A． B． C． D．
【分析】根据三视图得出三棱柱与四棱锥的几何特征，代入体积公式计算即可． < br>【解答】解：由三视图可知直三棱柱的底面直角三角形边长为1和
四棱锥的底面矩形为边长为1的 正方形，高为2，
故几何体的体积V＝
故选：A．
+＝．
，高为1，
第9页（共24页）

【点评】本题考查了棱柱与棱锥的三视图与体积计算，属于中档题．
9．（5分）已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域是由所有满足＝
（1≤λ≤2，1≤μ≤3）的点D（x，y）组成的区域，则区域E的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则，表示 出区域E．然后根据向量的数量积
运算，计算出∠BAC的余弦值，进而得到其正弦值，即可求出以AB ，AC为邻边的平行
四边形的面积，即可表示出区域E的面积．
【解答】解：如图，以AB， AC为邻边构造平行四边形，以2AB，2AC为邻边构造平行
四边形，以2AB，3AC为邻边构造平 行四边形，
则根据向量的平行四边形法则，所有满足＝ （1≤λ≤2，1≤μ≤3）的点
D （x，y）组成的区域，为图中的阴影区域．其面积为以AB，AC为邻边的平行四边形面
积S的二倍．
依题意，＝（3，1），＝（1，3），所以cos∠BAC＝＝
＝，
所以sin∠BAC＝
所以S＝
＝
×sin∠BAC＝
＝，
×＝8．
所以区域E的面积是2S＝16．
故选：C．
第10页（共24页）

【点评】本题通过求 区域面积，考查了平面向量的加法的平行四边形法则、向量的数量
积运算、向量模长公式、平行四边形的 面积等知识．属于中档题．
10．（5分）已知（1﹣x+mx）的展开式中x的系数小于90，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）
B．（﹣5，1）
C．
D．

264
【分析】根据乘方的意义，根据排列组合数公式计算求得结果．
【解答】解：∵（1﹣x+mx）表示6个因式（1﹣x+mx）的乘积，
故展开式中含x的项为：一个因式取mx，两个因式取﹣x，其余的3个因式都取1；
或者：有两个因式取mx，其余的4个因式都取1；
或者有4个因式取﹣x，其余的2个因式取1，
故x的系数为
4
2
42
262
•m•（﹣1）+•
2
•m+
2
＝15m+60 m+15＜90，即 m+4m﹣5＜0，
22
求得﹣5＜m＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．
11．（5分）在三棱锥 P﹣ABC中，PA＝PB＝3，BC＝，AC＝8，AB⊥BC，平面PAB⊥
平面ABC，若球O是 三棱锥P﹣ABC的外接球，则球O的半径为（ ）
A． B． C．
第11页（共24页）

D．

【分析】找到球心所在的位置，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图，D，E为边AC、AB的中点，过点D作平面ABC的垂线l，
因为三角形ABC为直角三角形，所以AD＝BD＝CD，
所以三棱锥P﹣ABC的外接球球心必在直线l上，设球心为O．
因为PA＝PB＝3，所以PE⊥AB，
AB＝
所以PE＝
＝
＝
＝4．
＝1．
又因为平面PAB⊥平面ABC，
所以PE⊥平面ABC，
所以PE∥OD，PE⊥DE，
过O作OF∥DE，交PE的延长线与F，则四边形ODEF为矩形
所以OF⊥PE，即三角形POF为直角三角形．
DE为三角形ABC的中位线，所以DE＝ BC＝2
设球的半径为r，OD＝x，则PF＝x+1，
则r＝OF+PF＝OD+AD，即
解得x＝，
所以r＝
故选：A．
＝＝．
22222
，
＝x+4，
22

【点 评】本题考查了三棱锥的外接球问题，找到球心的位置是解决此类问题的关键．本
题属于中档题．
第12页（共24页）

12．（5分）已知函数的图象 关于点O
1
（n，
0）中心对称，关于直线l：x＝m对称（直线l是与点O
1
距离最近的一条对称轴），过函
数y＝f（x）的图象上的任意一点A（x
0
，y
0
）作点O
1
、直线l的对称点分别为A
1
（x1
，
y
1
）、A
2
（x
2
，y
2
），且
为y＝f'（x），则当
A．﹣2 B．﹣1
，当时，记函数y＝f（x）的导函数
时，cos2α＝（ ）
C． D． 【分析】由已知可求x
2
﹣x
1
，结合已知可求周期T，进而可求ω，f （x），然后由
时，，可求φ，代入结合诱导公式可求
【解答】解：∵A（x
0，y
0
）关于O
1
（n，0）直线l：x＝m的对称点分别为A
1
（x
1
，y
1
）、
A
2
（x
2
，y
2
），
∴x
1
+x
0
＝2n，x< br>0
+x
2
＝2m，
∴x
2
﹣x
1
＝2（n﹣m）
∵
∴|n﹣m|＝
，
即＝，
∴T＝π，ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ），
当
∴
∵|φ|＜
∴φ＝﹣
，

），f'（x）＝2cos（2x﹣
，
）﹣2cos（2x﹣）＝﹣4cos2α＝2，
），
时，，
，
y＝f（x）＝sin（2x+
∵
∴2sin（2α﹣
∴cos2α＝﹣
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，属于中档试题
第13页（共24页）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）已知函数y＝f（x）在R单调递 减，且为奇函数．若f（x﹣2）＞0，则x的取值
范围是 （﹣∞，2） ；
【分析】根据 题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，结合函数的单调性可得f（x﹣2）
＞0⇒f（x﹣2）＞f （0）⇒x﹣2＜0，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）在R上为奇函数，则f（0）＝0，
又由函数y＝f（x）在R单调递减，则f（x﹣2）＞0⇒f（x﹣2）＞f（0）⇒x﹣2＜0，
解可得x＜2，
即x的取值范围为（﹣∞，2）；
故答案为：（﹣∞，2）．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（0）＝0，属于基础题．
14．（5分）已知，则＝ 3 ．
【分析】由题意利用两角差的正切公式求得tanα的值 ，再利用二倍角公式、同角三角函
数的基本关系求得要求式子的值．
【解答】解：已知＝，∴tanα＝，
则＝＝＝＝
3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查两角差的正切公式，二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属
于基础题 ．
15．（5分）若x，y满足约束条件
【分析】由约束条件作出可行域，再由
﹣3 ）连线的斜率求解．
【解答】解：由作出可行域如图，
，则的最小值为 ．
的几何意义，即可行域内动点与定点P（﹣2，
第14页（共24页）

联立，解得A（1，﹣1），
的几何意义为可行域内动点与定点P（﹣2，﹣3）连线的斜率，
则的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
16．（5分）已知点在离心率为的椭圆上，则该椭圆
的内接八边形面积的最大值为 ．
【分析】由已知求得a，b的值，结合椭圆内接n边形面积的最大值公式为
求解，是中档题．
【解答】解：由题意，b＝
222
，e＝，
又a＝b+c，解得a＝2，b＝
∴椭圆方程为．
，c＝1．
线面证明椭圆内接n边形面积的最大值为．
事实上，设椭圆上弧A
1
A2
所对的弧心角为α
1
，弧A
2
A
3
所对的弧 心角为α
2
，…，
弧A
n
A
1
所对的弧心角为α
n
，则α
1
+α
2
+…+α
n
＝2π，0 ＜α
1
，α
2
，…，α
n
＜π．
则．
考察函数y＝sinx（0＜x＜π）的凸性，求出二阶导数y″＝﹣sinx＜0，
则y＝sinx在（0，π）上为上凸函数，由琴生不等式可知：
第15页（共24页）

＝
∴
当且仅当时，上式“＝”成立．
．
．
∴该椭圆的内接八边形面积的最大值为
故答案为：．
．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，熟记公式椭圆内
接n边形 面积的最大值为是关键，是中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且1，a
n
，S
n
成等差数列
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）数列{b
n
} 满足b
n
＝log
2
a
1
+log
2
a< br>2
+…+log
2
a
n
，记，求T
n
【分析】（1）由题意可得S
n
＝2a
n
﹣1，由数列的递推式：n＝1 时，a
1
＝S
1
，n≥2时，a
n
＝S
n
﹣S
n
﹣
1
，结合等比数列的定义和通项公式可得所求；
（2）求 得log
2
a
n
＝n﹣1，由等差数列的求和公式和裂项相消求和，化简可得 所求和．
【解答】解：（1）1，a
n
，S
n
成等差数列， 可得S
n
＝2a
n
﹣1，可得a
1
＝S
1＝2a
1
﹣1，
解得a
1
＝1，
n≥2时，an
＝S
n
﹣S
n
﹣
1
＝2a
n
﹣1﹣2a
n
﹣
1
+1，
即a
n
＝2a
n
﹣
1
，
可得数列{a
n
}为首项为1，公比为2的等比数列，
可得a
n
＝2
n
﹣
1
；
（2）log
2
a
n
＝n﹣1，
b
n
＝ log
2
a
1
+log
2
a
2
+…+lo g
2
a
n
＝0+1+…+（n﹣1）
＝n（n﹣1），
即有＝＝2（﹣），
）＝2（1﹣）＝． 可得T
n
＝2（1﹣+﹣+…+ ﹣
【点评】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和数列的求和方法：裂项相
第16 页（共24页）

消求和，考查化简运算能力，属于中档题． < br>18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB＝2CD＝< br>AD＝，PC＝3，△PAB是正三角形，E为AB的中点，平面PAB⊥平面PCE
，
（1）求证：CE⊥平面PAB
（2）在棱PD上是否存在点F，使得二面角P﹣ AB﹣F的余弦值为
出的值；若不存在，说明理由．
？若存在，求

【分析 】（1）推导出四边形AECD是平行四边形，AD∥CE，且AD＝CE＝
由此能证明CE⊥平面PA B．
（2）由PE⊥CE，且PE⊥AB，得PE⊥平面ABCD，AD⊥平面PAB，AD⊥AE， 以点E
为原点，分别以EC，EA，EP所在直线分别为x，y，z为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在棱PD上存在点F，使得二面角P﹣AB﹣F的余弦值为
＝．
【解答 】证明：（1）∵AE∥CD，且AE＝CD＝
∴AD∥CE，且AD＝CE＝
又在正△PAB 中，PE＝
22
，CE⊥PE，
，且
，∴四边形AECD是平行四边形，
，
AB＝
2
，
∴在△PCE中，PE+CE＝PC，∴CE⊥PE，
又平面PAB⊥平面PCE，平面PAB∩平面PCE，
∵CE⊂平面PCE，∴CE⊥平面PAB．
解：（2）由（1）知PE⊥CE，且PE⊥AB，CE∩AB＝E，
∴PE⊥平面ABCD，
∵AD⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴AD⊥AE，
∴以点E为原点，分别以EC，EA，EP所在直线分别为x，y，z为z轴，建立空间直角
第17页 （共24页）

坐标系，
P（0，0，），D（，0），A（0，，0），B（0，﹣，0），
假设在棱PD上存在点F满足题意，
设
＝
，则
＝（
＝λ（）＝（
），＝（0，2
），
，0），
设平面ABF的法向量＝（x，y，z），
则，
取z＝1，得＝（），
又平面PAB的一个法向量＝（0，0，1），
∵在棱PD上存在点F，使得二面角P﹣AB﹣F的余弦值为，
∴|cos＜＞|＝＝，即8λ+2λ﹣1＝0，
2
由λ＞0，得，
，且＝． ∴在棱PD上存在点F，使得二面角P﹣AB﹣F的余弦值为

【点评】本 题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求
法，考查利用空间向量解决线 面关系及空间角度问题，考查空间想象能力、推理论证能
力和运算求解能力，属于中档题．
1 9．（12分）从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，
由测量结 果得如下频率分布直方图：
第18页（共24页）

2
（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s（同一组数据用该区间的
中点 值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ） ，
其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本方差s
（i）利用该正态分布，求P（127.6＜Z＜140）；
（ii）某用户从该工厂购买了 100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于
区间（127.6，140）的产品件数 ，利用（i）的结果，求EX．
附：．若Z～N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.68 26，P（μ﹣2
2
22
2
σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．

【分析】（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（2（i）由（Ⅰ）知Z ～N（140，154），P（127.6＜Z＜140）＝
＝＝0.3413；
（ii）由（i）知X～B（100，0.3413），EX＝np即可求得．
【解答】解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s分别为：
＝110×0 .02+120×0.10+130×0.20+140×0.35+150×0.22+160×0.09+1 70×0.02＝140．
s＝（﹣30）×0.02+（﹣20）×0.10+（﹣10）×0.2 0+0×0.35+10×0.22+20×0.09+30
×0.02＝154．
（2）（i）由（1）知，Z～N（140，154），
从而P（127.6＜Z＜140）＝＝＝0.3413．
2222222
2
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标位于区间（127.6，140）的概率为0.3413，
第19页（共24页）

依题意X～B（100，0.3413）．
所以E（X）＝100×0.3413＝34.13．
【点评】本题主要考查离散型随机变量 的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，
二项分别的期望，考查运算能力．属于基础题．
20．（12分）已知平面上动点P到点H（1，0）距离比它到直线x＝﹣2距离少1．
（1）求动点P的轨迹方程
（2）记动点P的轨迹为曲线Γ，过点H（1，0）作直线l与曲 线Γ交于A，B两点，点
M（4，0），延长AM，BM，与曲线Γ交于C，D两点，若直线AB，CD 的斜率分别为k
1
，
k
2
，试探究是否为定值？若为定值，请求出定 值，若不为定值，请说明理由．
【分析】（1）利用抛物线定义可得方程；
（2）设A，B ，C，D各点坐标，利用直线AB与抛物线联立得A，B坐标关系，利用直
线AC与抛物线联立得A，C 坐标的关系，同样可得B，D坐标的关系，进而可以把k
2
与k
1
联系起来， 求出定值．
【解答】解：（1）由题意可知动点P到点H的距离等于到直线x＝﹣1的距离，
由抛物线的定义得动点P的轨迹方程为y＝4x；
（2）设A（x
1
，y< br>1
），B（x
2
，y
2
），C（x
3
，y< br>3
），D（x
4
，y
4
），
由题意可令直线AB的方程为
直线AC的方程为x＝ty+4，
将直线AB的方程代入抛物线方程消去x可得，
，
则，y
1
y
2
＝﹣4，
（k
1
≠0），
2
将直线AC 的方程代入抛物线方程消去x得
y﹣4ty﹣16＝0，
则y
1
y
3
＝﹣16，同理可得y
2
y
4
＝﹣16，
∴，，
2
第20页（共24页）

∴＝
＝＝
＝
＝＝，
故，即为定值．
【点评】此题考查了定义法求轨迹方程，直线与抛物线的综合，难度较大．
21．（12分）（1）已知函数是（1，+∞）上的增函数，求实数a的取值范围；
（2）试比较两数
【分析】（1）
+∞）恒成立．
令g（x）＝
与的大小，并证明你得出的结论．
，即x﹣a（lnx+1）≥0在（1，
，（x＞1）利用函数的最值求得实数a的取值范围．
（2）＞．
由（1）知h（x）是（1，+∞）上的增函数，
当m＞m＞1，∴
【解答】解：（1）
，则，取m＝23，n＝21，得
，
．
∵函数是（1，+∞）上的增函数，∴f′（x）≥0在（1，+∞）恒成立．
即x﹣a（lnx+1）≥0在（1，+∞）恒成立．
则a
令g（x）＝
在（1，+∞）恒成立．
，（x＞1）
第21页（共24页）

而
∴a≤g（1）＝1，
，∴g（x）是（1，+∞）上的增函数，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，1]；
（2）＞．
证明：先证明一个结论，m＞n＞1时，．
要证．
⇐ln
⇐
⇐
⇐
＞ln
，
，
，
由（1）知h（x）是（1，+∞）上的增函数，
∵m＞m＞1，∴，则，
取m＝23，n＝21，得．
【点评】本题考查了函数的单调性，不等式的证明，属于中档题．
请考生在第22、23二题 中任选一题作答．注意只能做所选定的题目．如果多做，则按所做
第一个题目计分，作答时请用2B铅笔 在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐
标系与参数方程]
22．（10分） 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐
标系，曲线C的极坐标方 程为ρ＝
2
，射线θ＝（ρ≥0）交曲线C于点A，
倾斜角为α的直线l过线段OA的 中点B且与曲线C交于P、Q两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的参数方程；
（2）当直线l倾斜角α为何值时，|BP|•|BQ|取最小值，并求出|BP|•|BQ|最小值
第22页（共24页）

222
【分析】（1） 把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝x+y代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C
的直角坐标方程 ，求出点A的极坐标，进一步得到直角坐标，再求出OA的中点B的坐
标，则倾斜角为α且过线段OA的 中点B的直线l的参数方程可求；
（2）将直线l的参数方程代入x+2y＝12，整理得到关于t的 一元二次方程，再由根与
系数的关系及t的几何意义求解．
【解答】解：（1）∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝x+y，
且ρ＝
2
222
22
，
∴曲线C的直角坐标方程为x+2y＝12，即
射线θ＝
22
．
，）， （ρ≥0）交曲线C于点A，故点A的极坐标为（
点A的直角坐标为（2，2），OA 的中点B（1，1）．
∴倾斜角为α且过线段OA的中点B的直线l的参数方程为
（2）将直 线l的参数方程代入x+2y＝12，
整理得：（cos
α+2sinα）t
+（2cosα+4sinα）t﹣9＝0．
设P，Q对应的参数分别为t
1
，t
2
，则
故|BP|•| BQ|＝|t
1
t
2
|＝
当sinα＝1，即时，|BP|•|BQ |取最小值为．
．
．
222
22
（t为参数）；
【 点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程中参数t的几何意义的应用，
是中档题．
[选修45：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x|+|x﹣2|
（1）解不等式：f（x）＜5；
（2）当x∈R时，f（x）＞ax+1，求实数a的取值范围；
【分析】（1）由题意利用 分段函数求化简函数f（x），利用分类讨论法求出不等式f（x）
＜5的解集；
（2）画出 函数f（x）的图象，当x∈R时f（x）＞ax+1等价于y＝f（x）的图象在直线y
＝ax+1的 上方，结合图象求出满足条件的a的取值范围．
第23页（共24页）

【解答】解：（1）由题意知f（x）＝，
当x≤0时，不等式f（x）＜5化为2﹣3x＜5，解得x＞﹣1，即﹣1＜x≤0；
当0＜x＜2时，不等式f（x）＜5化为x+2＜5，解得x＜3，即0＜x＜2；
当x≥2时，不等式f（x）＜5化为3x﹣2＜5，解得x＜，即2≤x＜；
综上所述，不等式f（x）＜5的解集为{x|﹣1＜x＜}；
（2）画出函数f（x）的图象，如图所示；

当x∈R时，f（x）＞ax+1等价于y＝f（x）的图象在直线y＝ax+1的上方，
直线y＝ax+1恒过点P（0，1），且点A（2，4），
计算直线PA的斜率为k
PA
＝
又x≤0时，f（x）＝﹣3x+2；
由图象可知，a的取值范围是﹣3≤a＜．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应 用问题，也考查了不等式恒成立问题，
是中档题．
＝，



第24页（共24页）